1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 71
Текст из файла (страница 71)
А. Особые точки функций на прямой. Пусть ! — вещественная гладкая в окрестности точки х= О ен Й функция. Если точка 0 не критическая, то функция гладко эквивалентна в ее окрестности линейной (!(х) =х+с). Как обстоит дело в критическом случае, тоже хорошо известно: если !'(0) =О, то поведение функции определяется знаком Г(0) и т.
д. Рассмотрим для определенности задачу об условиях минимума функции в точке О. Ответ можно представить в следующем виде: пространство Р й-струй функций в 0 разбивается на три части, .Р = 1 () П () П1; 1 — струи, гарантирующие минимум, П вЂ” струи, гарантирующие отсутствие минимума, П1 — струи, по которым нельзя решить„есть ли минимум.
Струи типов 1 и П называют достаточными, а типа П1 — восприимчиаыми. Множества !, П, П1 в нашей задаче обладают следующими двумя свойствами. КЛАССИФИКАЦИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК 1' Полуалгебраичность. Каждое из множеств 1, П; ГП является полуалгебраическим подмногообразием пространства струй )ь. Полуалгебраическое множество в (х~ определяется как конечное объединение подмножеств, каждое из которых задается конечной системой полиномиальных уравнений и неравенств. Если неравенства не нужны, то множество называется алгебраическим.
Полезным свойством полуалгебраических множеств является следующая теорема (доказательства см. в А. Зе!депЬегд, А петр бес!Б(оп ше!Ьоб 1ог е!егпеп!агу а!йеЬга, Апп. о! Ма!Ь., Бег. 2, 60 (1954), 356 — 374; Е. А. Горин, Об асимптотических свойствах многочленов и алгебраических функций, УМН, 16,1 (1961),. 91 — 118). П ринцип Тарского — Зайденберга. Образ полуалгебраического множества при полиномиальном отображении полуалгебраичен. Более слабая по форме, но эквивалентная формулировка: Проекция полуалгебраического множества на надпространство является полуалгебраическим множеством.
Заметим, что уже проекция алгебраического множества может быть не алгебраическим, а лишь полуалгебраическим множеством (пример — проекция сферы на плоскость). 2' Почти конечная определенность. При й-ь.со коразмерность множества восприимчивых струй П1 с: .)а стремится к бесконечности. Иными словами, восприимчивые струи в )ь определяются растущим вместе с й числом условий. В результате оказывается, по множество функций, для которых задача о выяснении того, есть ли 0 точка локального минимума, неразрешима ни при каком числе членов ряда Тейлора, очень тощее: оно имеет коразмерность бесконечность в функциональном пространстве. Б. Другие примеры.
Аналогичная задача для функций нескольких переменных уже не имеет простого алгоритма: если второй дифференциал вырождается, то к исследованию приходится привлекать следующие, и мы приходим к задачам типа классификации алгебраических кривых, поверхностей и т. и.
Тем не менее и здесь разбиения )ь =1 0 11() П1 пространства й-струй функций в Р" обладают свойствами полуалгебраичности и почти конечной определенности, хотя явно выписать уравнения и неравенства на коэффициенты Тейлора при сколько- нибудь больших и и й безнадежно. Существование этих уравнений и неравенств можно вывести из теоремы Тарского — Зайденберга, доказательство которой содержит также и алгоритм для выписывания этих уравнений и неравенств (обобщающий теорию Штурма). Начальный отрезок классификации вычислен явно и оказалсн связанным (довольно таинственным образом) с классификацией правильных многогранников, с грувпамн Коксетера, Нейли и Ли серий Ам !)а, Еа, с автоморфными ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИИ (Гл. з функциями, треугольниками на олосхости Лобачевского, с особенностями каустнк, волновых фронтов н осцнллирующих интегралов метода стационарной фазы (см.
обзор: В. Н. Ар ноль д, Особые тонки гладких функций н их нормальные формы, УМН, 39, 5 (1975), 3 — 65 и снисок литературы в нем; В а си л ь ее В.'А., Аснмототнка зксооненциальвых интегралов, диаграмма Ньютона и классификация точек мвнямума, Функциональный анализ и его приложения, 11, 3 (1977), 1 — 11. Следующий пример — задача о топологической классификации ростков гладких отображений. В 1964 году Р. Том анонсировал теорему о полуалгебраичности и почти конечной определенности в этой задаче; доказательство дал А.
Н. Варченко (А. Н. В а рчеико, Локальные топологические свойства дифференцируемых отображений, Известия АН СССР, сер. матем., 38, 6 (1974), 1037' — 1090). В. Особые точки векторных полей. Вернемся к задаче о топологической классификации особых точек векторных полей. Вначале ситуация кажется столь же простой, как и в случае функций. Невырожденные особые точки классифицируются по количеству собственных чисел в левой полуплоскости. Пространство,!-струй разбивается на конечное число частей, соответственно числу корней в левой полуплоскости. Каждая из этих, частей — полуалгебраическое множество в пространстве струй; задающие его полиномиальиые неравенства можно выписать даже явно (условия Рауса — Гурвица, см., например, Ф.
Р. Гантмахер, Теория матриц, М., «Наука», 1967). Восприимчивые 1-струи образуют полуалгебраическое подмногообразие коразмерности 1, разделяющее области, соответствующие разному числу корней в левой полуплоскости. В предыдущих параграфах мы рассмотрели ряд примеров исследования того, что происходит в этих вырожденных случаях при переходе к 2-струям, и т.
д. Таким образом, возникает впечатление, что и здесь можно идти сколь угодно далеко, и только сложность вычислений и обилие вариантов не позволяют дать алгебраическую классификацию в случаях произвольно большбй коразмерности. Оказывается, однако, что дело обстоит не так (В. И. Арнольд, Алгебраическая неразрешимость проблемы устойчивости по Ляпунову и проблемы топологической классификации особых точек аналитической системы дифференциальных-уравнений, Функциональный анализ, 4, 3 (1970), 1 — 9). Свойство полуалгебраичностн теряется уже в такой простой задаче, как задача различения центра и фокуса при нулевых корнях характеристического уравнения (А. Д.
Брюгю и Ю. С. Ильяшенко, см. Ю. С. Ильяшенко. Алгебраическая неразрешимость и почти алгебраическая разрешимость проблемы центр-фокус, Функц. анализ, 6, 3 (1972), 30 — 37). Таким образом, для проблем устойчивости классификация осопых точнк и топологической классификации не может существовать алгебраический алгоритм *). Остается еще некоторая надежда на существование неалгебраического алгоритма, т. е. на то, что свойство почти конечной определенности все же имеет место: множество ростков, топологический тип (или устойчивость) которых не определяется ни по 'какому конечному отрезку ряда Тейлора, имеет, быть может, коразмерность бесконечность. Вопрос, так ли это, представляется весьма трудным; постановку его следует еще уточнить, указав точный смысл слова коразмерностьк множества в пространстве й-струй, коразмерность' которых нужно определить, неалгебраические, и возможны теоретико- множественные затруднения.
Р. Том высказал гипотезу, что ответ на поставленный вопрос отрицателен. Г. Строение множеств восприямчивости. Вопрос о почти 'конечной определенности относится к поведению множеств восприимчивых струй в пространстве й-струй /ь при А, стремящемся к бесконечности. Вопросы о строении множеств восприимчивости при фиксированном Ф кажутся более поддающимися исследованию. Зафиксируем восприимчивую (А — 1)-струю векторного поля в О и рассмотрим пространство ! всевозможных Ф-струй с данной (й — 1)-струей: Для определенности будем рассматривать задачу об асимптотической устойчивости. Тогда пространство ? делится на две (быть может, пустые) части: 1 (устойчивые по А-струе) и ' И (неустойчивые по й-струе) и остаток И! из восприимчивых струй (в случае задачи о топологической классификации частей больше).
Разумная постановка вопроса о критерии устойчивости состоит в том, чтобы выяснить, какими свойствами обладают части 1, И и граница между ними. Например, трансцендентность границы означает несуществование алгебраического критерия устойчивости. Спрашивается, насколько сложно может быть устроена указанная граница? Например, может ли у нее (и у открытых частей областей 1, И) быть бесконечное число компонент связности? И могут ли точки частей 1 и И перемежаться подобно рациональным и иррациональным числам? Примеры такого рода не известны, однако можно опасаться, что именно так будет обстоять дело в особых случаях достаточно большой коразмерности в многомерном пространстве.
Существует тесная связь между локальной задачей о поведении фазовых кривых вблизи особой точки в )ч" и глобальной задачей о дифференциальных уравнениях, заданных полиномиальной системой в проективном пространстве 1чР" на единицу меньшей размерности. '! В самое последнее время Л. Хазин и Э. Шнель установилн алтебраичесхую неразрешимость проблемы устойчивости в случае двух пар чисто мнимых собственных чисел с резонансом 3:1. Этот случай соответствует подмнотообразию норазмерностн 3 в функциональном пространстве. ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИИ (гл.
6 В цитированной выше работе об алгебраической неразрешимости зта связь использовалась для того, чтобы вывести трансцендентность границы устойчивости в пространстве струй локальной задачи из трансцендентности поверхности рождения предельных' циклов в пространстве козффициентов полиномиальной системы на проективной плоскости. Но в многомерной глобальной ситуации возможны гораздо более сложные явления„ чем предельные циклы; например, системы на торе с перемежающейся соизмеримостью и несоизмеримостью чисел вращения или области в функциональном пространстве, свободные от структурно устойчивых систем.
Все зти явления реализуются в полиномиальиых системах в проективном пространстве, и каждое из них может давать свой вклад в запутывание границы устойчивости в пространстве У. Образцы экзаменационных задач На письменном экзамене ~йюдолжительностью 4 часа дается 15 связанных друг с другом вопросов. В квадратных скобках указано число очков за каждый вопрос. Зги числа заранее сообщаются экзаменуемым.
Вариант 1. Х= — яп х+ е соз д (1) !. Пусть е= О. 1) Линеаризовать в точке х=и, х=0 [Ц. 2) Устойчиво ли это положение равновесия [Ц? 3) Найти матрицу Якобы преобразования фазового потока за время 1=2и в точке х=п, х=О [3]. 4) Найти производную решения с начальным условием х=и, х 0 по параметру е при е=О [5). 5) Нарисовать графикя решения и его производной по Г при начальном условии х=О, х=2 [3]. 6) Найти зто решение [3). !!. Пусть (2) — уравнение в вариациях вдоль указанного в и. 5 решения. 7) Имеет ли уравнение Д) неограниченные решения [8]? 8) Имеет ли уравнение (2) ненулеиые ограниченные решения [8]? 9) Найти определитель Вронского фундаментальной системы решений уравнения !з), зная, что Му (0)=1 [5]. 10) Выписать явно уравнение (2) и решить его [10].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
