1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 68
Текст из файла (страница 68)
3 а и е ч а н и е. Предыдущее изложение следует заметке автора «Замечания об особенностях конечной коразмерности в комплексных динамических системах», Функциональный анализ и его приложения, 8, 1 (1969), 1 — 6. Результаты этой заметки были в дальнейшем обобщены Дж. Гукенхеймером, Н. Кейпером, Н. Н. Ладисом, Ю. С. Ильяшенко и др. Наиболее законченный характер имеют результаты о топологическом типе слсения, заданного в окрестностн особой точки в комплексном пространстве линейной системой. Рассмотрим, в частности, случай, когда фазовое пространство трехмерно и треугольник иэ собственных чисел содержит воль строго внутри. Оказывается, топологический тип слоения в комплексном пространстве определяется тройкой обратных величин собственных чисел, рассматриваемой как тройка векторов на вещественной плоскости (т.
е. рассматриваемой с точностью до вещественных линейных преобразований овеществленной плоскости одного комплексного переменного). В многомерном случае вещественный тип набора обратных величин собственных чисел взаимно однозначно определяет топологический тип комплексного слоення в окрестности особой точки линейной системы, если нуль принадлежит выпуклой оболочке собственных чисел, а их попарные отношениянееещественны(см.С. С а «пасв о, М.
Кп ! р ег, з. Ра!1з, С. Ц. Асаб. Бс!. Рапз, 282 (1976), 959 — 961; Н, Н. Л ад и с, Топологические инварианты комплексных линейных потоков, Дифференциальные уравнения, 12, 12 (1976), 2159 — 2169; Ю. С. Ильяшенко, Замечания о топологии особых точек дифференциальных уравнений в комплексной области и теорема Ладиса, Функциональный анализ и его приложении, 11, 2(1977), 28 — 88). В. Версальные деформацнн в случае Пуанкаре. Рассмотрим аналитическое (гладкое) векторное поле с особой точкой О. Предположим, что эта особая точка — типа Пуанкаре, т. е. что выпуклая Оболочка набора собственных чисел не содержит точку О. Т е о р е м а. Росток аналитического (соответственно, голоморфного, гладкого) векторного поля в особой точке типа Пуанкаре имеет конечно-параметрическую аналипшчески (соответственно, голоморфно, гладко) версальную деформацию, соспюягцую из полиномиальных векторных полей.
Иными словами: Локальное семейство аналитических (соответственно, голоморфных, гладких) векторных полей с особой точкой О типа Пуанкаре аналитически (соответственно, голоморфно, гладко) эквивалентно в окрестности точки О семейству, составленному из достаточно длинных отрезков рядов Тейлора этих полей в точке О. 4 По условию особая точка невырождена н,.следовательно, гладко зависит от параметров. Поэтому гладкой н гладко зависящей от параметров заменой переменных можно перенести особую точку в начало координат. Предположим, что собственные числа просты.
Тогда собственный базис можно выбрать гладко зависящим от параметров. В полученной системе координат семейство дифференциальных уравнений, отвечающее нашему семейству полей, принимает внд йа = Ла (е) ха+..., й = 1, ..., и. творе!я внии'нация !гл. е Применяя метод Пуанкаре (гл. 5), мы будем убивать только те члены, которые остаются нерезонанснымн прн в=О. Тогда замены гладко зависят от параметра. Поскольку собственные числа принадлежат области Пуанкаре, резонансов конечное число, н сходимость всей процедуры доказывается без труда.
Мы получаем сиСтему координат, в которой правые части всех уравнений семейства — многочлены. Ь Случай конечно (или бесконечно) дифференцируемых правых частей также ясследуется без труда. Подробности см. в статье Н. Н. Брушлинской (Н. Н. Брушлинска я, Теорема конечности для семейств векторных полей в окрестности особой точки типа Пуанкаре, Функц. анализ, б,з(!971), 1Π— 15), где рассмотрен также и случай кратных собственных чисел.
Г. Матерналнзацня резонансов. В области Знгеля прн приведении к нормальной форме возникают трудности, связанные с малыин знаменателями. В то же время топологнческая картина может быть простой. Например, обыкновенное седло устроено топологнческн одинаково как прн рациональном, так н прн иррациональном отношении собственных чисел.
Такое же явление бывает н в области Пуанкаре: резонансы могут не влиять на топологию фазового портрета. Естественно возникает вопрос, почему резонанс, не проявляющийся топологнческн, мешает аналитическому (даже конечно-гладкому) црнведенню к нормальной форме. Здесь полезно иметь в виду поведение резонансов в теории возмущений условно-периодических движений. Рассмотрим дифференциальное уравнение на а-мерном торе Те 6=со+в..., 6пюбб2я ен Т", шея(ч, в~1. (е) Резонансу (ш, й) =О отвечает (по меньшей мере в отсутствие возмущения, т. е.
прн е=О) изменение топологнческнх свойств снстемы: фазовые кривые заполняют всюду плотно не п-мерный тор, как в нерезонансном случае, а (и — 1)-мерный. Например, прн а = 2 прн резонансе обычно возникают грубые периодические режимы (устойчнвые н неустойчивые предельные циклы на торе). Ясно, что существование таких циклов препятствует приведению , уравнений к нормальной форме 6 = от, обычной для нерезонансного случая. Близкое соображение лежит в основе данного Пуанкаре доказательства несуществования первых интегралов в задаче трех тел. Можно предположить, что влияние резонансов на расходнмость в локальной задаче, которой мы занимались выше, также имеет аналогичную природу, но связано с изменениями топологии слоення, образованного фазовыми кривыми не в вещественной, а в комплексной области.
Такое изменение, даже если оно совершенно не сказывается на вещественной части фазового пространства, заве- ПЕРЕСТРОИКИ ТОПОЛОГИИ ПРИ РЕЗОНАНСАХ домо препятствует аналитическому приведению и может мешать С'-гладкому. Заметим, что система хА=ААхе+... заменой х=е'З приводится к виду (э) (вещественные еэ соответствуют чисто мнимым Х). Обычные методы разезскания предельных циклов для системы (э) приводят к рассмотрению первого интеграла р=е'~з м невозмущенной системы; в обозначениях исходной системы возникает величина р =хе. Уравнение первого приближения для инвариантного многообразия, соответствующего резонансу, получается из соотношения р=р[(й, х)+(й, с)р+...4. Мы находим формально (А, А (Е)) (А, с (е)) ' Однако наши ряды, вообще говоря, расходятся, н вывод нуждается в обосновании.
При а=2 наши рассуждения можно подкрепить строгим доказательством существования комплексного предельного цикла, котоый вблизи резонанса имеет указанную асимптотику (А. С. П я р тл и, ождение комплексных инвариантвых многообразий вблизи особой точки векторного поля, зависящего от параметров, Функц. анализ, 6, 4 (1972), 95 — 96).
В момент резонанса, когда (й, е,) = О, цикл (комплексная неодносвязная фазовая кривая) приближается к комплексным сепаратрисам особой точки. Нестягиваемый путь, который имеется на этом цикле, при резонансе исчезает, сливаясь с положением равновесия. Частным случаем является рождение (или гибель) цикла из положения равновесия при потере устойчивости (см.
9 33). В этом случае /г = (1, 1, О, ...), Х, +Ц = О, и все явление наблюдаемо в вещественной области (см. рис. 127). В других случаях (даже при том же резонансе, например, в случае седла) топология вещественных фазовых кривых может не изменяться при резонансе. Различие топологии комплексных фазовых кривых уравнения (или семейства) и его нормальной формы является препятствием к аналитическому приведению к нормальной форме. Более того, еслц это различие (как это обычно бывает) определяется по струе конечного порядка, то оно препятствует не только аналитическому приведению к нормальной форме, но и конечно-гладкому. Например, расходимость приводящих рядов в случае, когда отношение собственных чисел хорошо приближается рациональными числами, может объясняться существованием в любой окрестности стационарной точки комплексных предельных циклов, происшедших от близких резонансов высоких порядков: у системы в нормальной форме таких циклов нет, поэтому преобразование к нормальной форме обязано быть расходящимся.
ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИИ 1гл. а Исследование вопроса о расходимости рядов Пуанкаре далеко от завершенности. Предшествовавшие работе Пяртли доказательства расходимости (Пуанкаре, Зигель, Брюно) основаны на подсчете роста коэффициентов и не выясняют причины расходнмости в таком же смысле, в каком подсчет козффицнентов ряда агс16а доказывает расходимость при ~ з ( ~ 1, но не выявляет причины †особеннос при з= -+- Н А. С. Пяртли установил следующие результаты.
1'. При прохождении резонанса А,аз+А,А =О в (о* в общем случае происходит ответвление от сепаратрис особой точки инвариантного многообразия, уравнение которого имеет в первом приближении вид гага* = е, где е характеризует отклонение от резонанса, а гы гз — фазовые координаты. 2'.
Аналогичный результат для того же резонанса получен в С" при ограничительных условиях на остальные собственные числа. 3'. Для «ненормально соизмеримых» )г и Аз, общим случаем является существование бесконечного числа инвариантных многообразий, соответствующих равным резонансам, в любой окрестности особой точки, что влечет расходимость рядов Пуанкаре. Работа А. С. Пяртли основана на методе Э. Хопфа. 'Другие доказательства и обобщения первых двух результатов А.
С. Пяртли предложил А. Д. Брюно (А. Д. Брюно,. Нормальная форма дибференциальных уравнений с малым параметром„Математ. заметки, 16, 3 (1974), 407 — 414; Аналитические инвариантные многообразия, ДАН СССР, 216, 2 (1974), 253 — 256; Интегральные аналитические множества, ДАН СССР, 220, 6 (1975), 1255 — 1258), Д. Резонанс между тремя собственными числами. Следующий по сложности резонанс /г,йт+ А,йз+ йз)га = О, где треугольник с вершинами А„А„Ае содержит О, также исследовался А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
