1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Так будет, например, в случае, когда нормальное расслоение Г в Х аналитически нетривиально. Положительные результаты о строении г, приведены в 5 27. Л. Нелииеаризуемость отображения в области, содержащей резонансный цилиндр. Т е о р е м а. Если эллиптическая кривая Г недеформируема в своей окрестности л, то отображение А не линеаризуется биео- ПЕРЕСТРОИКИ ТОПОЛОГИИ ПРИ РЕЗОНАНСАХ 2зз эбб! ломорфной заменой переменных в окрестности пючки О, содержащей часть голоморфного инвариантного цилиндра, нужную для построения кривой Г. 4 Действительно, голоморфный инвариантный цилиндр линейного отображения всегда можно продеформировать посредством малой гомотетии.
Р Таким образом, мы получаем оценку радиуса сходимостн рядов Пуанкаре — Зигеля сверху через голоморфный инвариантный цилиндр с нетривиальным нормальным расслоением соответствующей эллиптической кривой. Т е о р е м а ((О. С. И л ь я ш е н к о). Если линейное отображение имеет голоморфный инвариантный цилиндр, направляющая окружность которого цмеет с собственными осями коэффициенты зацепления (т„тб), а соответствующая эллиптическая кривая есть С/(2пл,+ььь) (причем 2п соответствует направляющей цилиндра), то собственные числа равны Аб=е'" *, Х, =е-'", и, следовательно, имеет место резонанс Х, *3~",' = 1.
~ Пусть - (гп г,) — собственныг координаты. Дифференциальные формы йгь/гь на цилиндре голоморфны и инвариантны относительно отображения, следовательно, определяют голоморфные формы на эллиптической кривой. Вычислим интегралы этих форм по образующим группы гомологий тора. Одна из образующих соответствует направляющей окружности у на цилиндре. Для нее ч/ йг,/г, = 2П!т„ф йгб/гб = — 2пип,, так как коэффициент зацепления у с осью г,=О равен т„а с осью г = О равен т,. Вторая образующая соответствует отрезку б, соединяющему точку г с ее образом Аг на поверхности цилиндра.
Для нее ~йг,/г,=!ПХ„~йгб/ге=!ПХ, (эти соотношения определяют ветви логарифмов). Но все голоморфные формы на эллиптической кривой пропорциональны. Итак, бь/2п = 1ПХ,/2п/тб = — !плб/2п/т,. Ь Следствие. Пусть А — локальный диффеоморфизм с неподвижной точкой О, )ч,б — собственные числа. Предположим, что в некоторой окрестности У неподвижной точки имеется голоморфный цилиндр. Пусть А — голоморфный сдвиг вдоль этого цилиндра и пусть а — период соответствующей эллиптической кривой. Тогда, если Х и ьб не связаны соотношением )ч=е'" *,Х,=е — ' " (гдет„ т, — коэффициенты зацепления с сепаратрисами особой точки), то диффеоморфизм А в области (/ аналитически не эквивалентен линейному.
теОРия вивурклции . (Гл. е М. Расходимость рядов Пуанкаре. Из полученных результатов вытекаег Теорема. Если в сколь угодно малой окрестности нерезонансной неподвижной точки О локальрого диффеоморфизма Сз — ь Сз имеются голоморфные цилиндры, на которых диффеоморфизм действует как локальный сдвиг, то эпют диффеоморфизм аналитически не эквивалентен линейному ни в какой окрестности неподвижнои точки О (и, следовшпельно, ряды Пуанкаре всюду расходятся). А. С. Пяртли установил, что такое накопление иивариантных цилиндров к особой точке является общим случаем для отображений, собственные числа которых «ненормально хорошо аппроксимируются резонансными>.
Следовательно, для таких собственных чисел расходимость рядов Пуанкаре всюду также является общим случаем. Результаты этого 'параграфа легко переносятся на векторные поля в Сз вблизи особой точки типа Зигеля. Материализацией резонанса тзлз +тз)з+тзлз =О является эллиптическая кривая. Точки этой кривой †фазов кривые поля, лежащие на инвариеь м, эч антнои резонансной поверхности г, г, г, — св+... Н. Бифуркации эллиптических кривых иа комплексных поверхностях. Изложенная выше теория бифуркаций инвврнантных многообразий днфференцнзльных уравнений нмеет близким аналогом теорию бифуркаций эллиптических кривых с нулевым индексом самопересечеиия на комплехсных поверхностях.
Эллиптическая кривая и ее нормальное расслоение на поверхности задаются парой комплексных чисел (еь )г) (см. й 27): они получаются из комплексной оси ф и из плоскости авух комплексных переменных (г, ф) прн склейках (г, в) (г, <р+2п) ()гг, ~р+в). Расслоение называется резонансным, если оио становится аналитически тривиальным после перехода к некоторому конечнолистному циклическому накрытию. Резонансные расслоения соответствуют в пространстве пар (Х, ю) гиперповерхностям Х"=егэв. Оивзывается, при общем непрерывном изменении пары (зллиптическзя кривая, поверхность), в момент прохождения через резонанс к эллиптической кривой приближается другая эллиптическая кривая, топо- логически ее накрывающая.
Таким образом материализацией резонанса является бифуркация кратной эллиптической кривой. Рассмотрим однопараметрическое семейство пар Г(е)<=Е(з). Предположим, что'е = О отвечает резонанс йн=е'эв, Оказывается, уравнение ответвляющейся кривой имеет зид гне!эв е (после выбора подходящего параметра семействе з и после подходящей замены координат (г, ф), зависящей от з; мы считаем, что резонанс соответствует е = О и что отсутствуют резонансы меньшего порядка: Уеич~ ! при 0<и< л).
Приведем, здесь вывод уравнения ответвляющейся кривой на уровне фор. мальиых рядов. Рассуждая, как в $27, мы приведем склейку к виду г ( гХ(!+аз+аж+А), ~р ~ ~р+ю+ре+ьв+В, ПЕРЕСТРОЙКИ ТОПОЛОГИИ ПРИ РЕЗОИЛИСДХ где и, (), а, Ь вЂ” константы, ю=г"е!"«'. А н  — ряды по степенвм е н ю, начинающиеся с членов степени 2. Такая подстановка переводит ю в ю (1+уе+сю-)аС). где у=ла+Мй, «=па+!ЬЬ, С вЂ” члены второй н более высоких степеней поены. Уравнение уе+сю+С=О определщт ответвляющуюся кривую.
Для семейства общего положеняя у чь О, с чь О. После подходящей замены координат е и г это уравнение принимает вид г"е'эе=е. Сходимость исследуется так же, как в цитированных работах Пяртли н Брюно. Замечая не. Нетрудно проверить, что условие лязга"=1 означает 'в точности, что нормальное расслоение аналитически тривиально над некоторым конечнолистным циклическим накрытием эллиптической кривой. Топологически все рассматривавшиеся расслоения тривиальны.
В частности, ответвявшаяся при резонансе эллиптическая кривая проектируется (неголоморфно) на кривую Г (з) «вдоль г-направления». Эта проекция является топологнческим конечнолнстным циклическим накрытием тора. Это — то самое накрытие, над которым нормальное расслоение становится тривиальным в момент прохождения резонанса. и не В случае, когда (и, й)=б) ! (но нет резонансов меньших порядков, Х,е ~1 прн 0(лв(л) отзетзляющаяся кривая несвязна. В этом случае оиа состоит из д компонент, каждая нз иоторых (и/д)-листве топологическн накрывает исходный тор. О. Расходимость лннеаризацнн. Для некоторых нерезонансных расслоений (т. е. пар уь ю) ряды, приводящие склейиу к нормальной форме, расходятся. Ответвление материализующих резонанс кривых позволяет «объяснитьэ расходнмость линеаризующих склейку рядов следующим образом.
Предположим, что пара ()ь ю) нерезонансная, но очень близка к резонансу. Тогда в малой окрестности исходной эллиптической кривой имеется, вообще говоря, еще одна эллиптическая кривая, а именно, кривая, материализукицая резонанс. Если пара ()ь ю) достаточно близка к бесконечному числу резонансов, то в произвольно малой окрестности исходной эллиптической кривой есть бесконечное число кривыя, материализующях различные резонансы и циклически накрывающих исходную кривую. Между тем нормальное расслоение исходной кривой нерезонансное. Нерезонансные нормальные расслоения степени О не имеют сечений ни над каким циклическим конечнолистным накрытием эллиптической кривой. Поэтому з нормальном расслоении исходной эллиптической кривой нет эллиптических кривых, циклически накрывающих исходную' кривую. Следовательно никакая окрестность исходной кривой на поверхности не отображается бнголоморфно на окрестность нулевого сечения нормального расслоения; поэтому ряды расходятся для склеек общего положения, если пара (Х, ю) слишком хорошо аппроисимнруется резонансными парами.
Э а меч ание. Существуег аналогия между компактными комплексными подьшогообразиями аналитических многообразий и предельными циклами дифференциальных уравнений: подобно-тому, как предельный цикл может исчезнуть при малой деформашш поля, лишь если оператор монодромии имеет собственное число !. эллиптическая кривая иа поверхности, именхцзя килевой индекс . самопересечения, не исчезает прв малых деформациях объемлющей поверхности, если нормальное расслоение аналитически нетривиально.
Ф. А. Богомолов указал следующую общую формулировку: иомпактное подмногообразие комплексного многообразия ье исчезает при малой деформации объемлющего многоебраэня, если тривиальны одномерные когомологии нормального пучка. (Определение когомологий см., например, в кинге: Р, Уэллс, Дифференциальное ис. чвсление на комплексных многообразиях, М., «Мир», 1976, стр, 76.) 298 .ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ [ГЛ. Б $37. Классификация особых точек В этом параграфе мы отказываемся от «универсальной» точки зрения и рассматриваем не семейства, а индивидуальные системы дифференциальных уравнений в окрестности особой точки векторного поля, причем допускаем вырождения сколь угодно большой коразмерности.
Исследование таких сложных особенностей с общей точки зрения имеет весьма ограниченную ценность, так как сложные вырождения имеют большую коразмерность и встречаются редко. Однако, знание общих, принципиальных черт произвольных особенностей представляет интерес даже и в тех сложных случаях, добраться до которых не позволяют наши сегодняшние вычислительные возможности. В частности, знать, какого рода патология может встретиться в случаях большой коразмериости, полезно ' хотя бы для того, чтобы не тратить сил на поиски несуществующих вещей. Такими несуществующими обьектами, на поиск которых потрачено много усилий, оказались, например, алгебраические критерии устойчивости по Ляпунову или асимптотической, а также алгебраические критерии в проблеме центр-фокус (при нулевых корнях характеристи'ческого уравнения). Чтобы показать, о каких принципиальных вопросах идет речь, мы рассмотрим вначале очень простой и легко исследуемый до конца пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
