1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (Арнольд 1978 - Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений), страница 8

бесконечно диффереицируемой иа всей оси. Возможность такого представления означает воэможность гладкого.продолжеиия ва отрицательную полуось. Ояа гараитируется теоремой (Э. Бореля) о существоаакии бесконечно дифферекцируемых фуикцяй иа прямой с любым Ривом Тейлора в нуле. На доказательстве этой теоремы (впрочем, весложиом) мы ве останавливаемся, 2» СПНЦНАЛЬНЫН УРАВНЕНИЯ $ 5.

Стационарное уравнение Шредингера (гл, з В этом параграфе изложены простейшие математические основы элементарной квантовой механики. Мы не останавливаемся на физических мотивировках вводимых определений, но используем физическую терминологию- для описания свойств решений уравнения.

А. Определения н обозначения, В физике уравненне Фчг — +(Е-и(х)) Р-0 называется стационарным уравнением Шрединеера. Независимая переменная х называется декартовой координатой частицы. Неизвестная функция Ч", вообще говоря комплексная, называется волновой Функцией частицы; решения уравнения Шре. дингера называются состояниями частицы. Спектральный параметр Е называется внереией частицы. Известная функция У называется потенциалом или потенциальной энергией частицы.

Квантовая .механика занимается в основном исследованием свойств уравнения (1) и обобщающих его уравнений и систем уравнений с частными производными. Пример. Пусть (Г О. Тогда частица нззывзстся шободлоа. Урзвнснно «11рсдннгерз для свободной частицы с энергией Е=дз имеет внд Ч .+азу-о. (к) Это урэвяскне нмсст двз лннсйно независимых решения у зм Ч' з гзл. Зтн двз решения нззывзются частик«а, движущейся зараза (с импульсом й) ) О) я «а«шин«а, дви®ущлеся влево соответственно. Тзкям образом, прострзнство состояннй свободной частицы с знергней Š— двумерное комплексное прострзнство. Квадрат модуля волновой функции физики называют плотностью 'вероятности того, что частица находится в данном .месте.

Таким образом, свободная частица с импульсом й «с одинаковой вероятностью находится в любой точкез (этой терминологией можно пользоваться, не заботясь о том, что означают зти слова и как все это связано с теорией вероятностей). Б. Потенциальные барьеры, Предложим, что потенциал финитен (отличен от нуля лишь в некоторой области).

Если У)0, то говорят, что задан потенциальный барьер, а если 0~0 — потенциальная яма. Область, где потенциал отлнчен от нуля, называется носителем потенциала (рнс. 29). стАционлпное уРАВнение шРединГБРА уаес аумйа таз оамйя йрл Уха Рнс. -29. слева и частицей, уходящей влево соответственно, Заметим, что решения эти определены при всех х, но совпадают с ега и в-'" лишь левее носителя. Точно так же существуют два решения, которые совпадают с е'аа и в 'аа правее носителя.

Эти решения называются частицей, уходящей вправо и частицей, приходящей справа соответственно. Задача. Может лв часткца, пришедшая савва, целиком отравиться влево (т. е. может лк волновая функцяя справа от барьера быть нулем, а слева яет)? Целиком уйти вправо? Ошесш., Нет, да. В. Оператор монодромии. Оп р е дел е н и е. Оператором монодрсмии уравнения Шредингера (1) с финитным потенциалом называется линейный оператор, действующий нз пространства состояний свободной частицы с энергией Е='на в себя, определенный следующим образом. Решению уравнения свободной частицы (2) сопоставляется решение уравнения Шредингера, совпадающее с ннм левее носителя, а этому решению — его значение правее носителя.

Оказывается, оператор монодромии обладает замечательными свойствами (1,1)-унитарности. Чтобы их сформулировать, введем следующие Обо з н а ч е н и я. Обозначим через )ч' пространство вшцестввннои решений уравнения Шрсдинсвра (1). Пространспмо состояний частицы (т. е. пространство комплексных решений уравнения), является комплексификацией Йа; мы его обозначим через С*=%'. Этому пространству принадлежат все четыре состояния приходяацей и уходящей влево и вправо частицы, Пространство вещественных решений уравнения свободной частицы (2) обозначим через Ц (так как для свободной частицы У=О). В этом пространстве имеется естественный базис за=сов йх, вв=зшйх. Предположим, что энергия частицы Е йа положительна. Тогда левее носителя уравнение Шредингера (1) совпадает с уравнением свободной частицы (2).

Следовательно, уравнение Шредингера имеет дна решения, которые лвввв носителя совпадают с выл и в-"'*, соответствеиио. Эти два решения называются частицей, приходяи(вй зв СПЕЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1гл. Р Пространство состояний свободно)1 частицы мы обозначим через С3; это комплексификация пространства К3. Естественный базис образуют состояния частиц, движущихся вправо и влево соответственно. Мы обозначим их через Еа» ):, Е-1»» Заметим, что ем е, коже определяют базис в пространстве состояний. Эти два базиса связаны соотношениями ~, = е, + (е„1, = е, — 1е,.

О п р е дел е н и е: Группа Я) (1,1) (1, 1)-унитарных унимодулярных матриц состоит из всех комплексных матриц второпР порядка с определителем 1, сохраняющих эрмитову форму (г, ~'— — ~г,] . Иными словами, это матрицы 1,1, для которых 2 ~е Ь1 1а1' — )Ь!'=~с~' — (д('=1, ас — ЬЙ=О ай — Ьс=1.

Теорема. Матрица оператора монодромии 'в базисе ф, Ц принадлежит группе Я1(1, 1). Причина, по которой оператор монодромии принадлежит Я) (1,1), состоит в том, что фазовый поток уравнения (1) сохраняет площади. Для доказательства я напомню некоторые сведении о группе Я)(1, 1). Г. Алгебраическое отступление: группа 80(1, 1). Рассмотрим вещественное линейное пространство И' и его ', комплексификацию С'. Выберем в ЙА элемент площади и будем обозначать через [$, »11 ориентированную площадь параллелограмма, натянутого на векторы $ и 11. Кососкалярное произведение [Д называется симплектической структурой. Если в Р фиксирован базис (е„е,), на котором [ем еД=1, то [$, тД равно определителю, составленному из компонент векторов $, »1 в базисе е„е,. Комплексификация билинейной формы [,1 задает симплекти- ческую структуру в С'1 мы будем и ее обозначать теми же скобками. Заметим, что форма [,1 невырождена: если Д, тих=О для всех $, то т1=0.

Рассмотрим в С' врмитову форму (5, Ч) = — [$, т1). Это действи- тельно эрмитова форма: (Л$, »1)=Л($, Ч), (5, Ч)=(тЬ,В) Для дальнейшего полезно вычислить эрмитовы произведения векторов Г, = е, + (е, и )В = ет — (е,. Легко проверйется Лемма. Имеют место соотношения Чг )т>=1 Чз 1В>= — 1 ([т [В>=О. 4 Например, 111 11 Дм ~1) й РР»~ 6] Р [[м Я з ]1 1] 1' СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 39 Таким образом, эрмитова форма (,) имеет «тип (1,1)» (один положительный и один отрицательный квадрат в каноническом виде (г, г) = ) г, )э — ) г, (»).

Рассмотрим теперь линейные преобразования плоскости Же, сохраняющие эрмитову, симплектическую и вещественную'структуры. Ойределение. Группа линейных преобразований плоскости Сэ, сохраняющих эрмитову форму (,), называется (1 1)унитарной группой и обозначается через (1 (1,1). Группа линейных преобразований плоскости «'», сохраняющих симплектическую структуру [,], называется специальной (или унимодулярной) линейной группой второго порядка и обозначается через Я. (2, $).

Группа всех вещественных линейных преобразований плоскости Р' (т. е. группа, элементы которой — комплексификации линейных преобразований в (х») называется вещественной линейной группой второго порядка и обозначается через О(. (2, (ч). Таким образом мы определили в группе О(.

(2, ч') всех линейных преобразований в ч'» три подгруппы: (1,1)-унитарную 13(1,1), унимодулярную Я. (2, 1Г) и вещественную О1. (2, Р). При этом эрмитова форма (,), определяющая унитарную груп.пу, симплектическая структура [,], определяющая унимодулярную, группу, и комплексное сопряжение, определяющее вещественную группу, связаны соотношением (а, Ь) = — [а, Ь1.

Теорема. Пересечение любых двух "(1 ~) 99(п) из этих трех подгрупп совпадает с пересечением всех трех (рис. 30). Это пересечение называется специаль- 9 ((р) зцдр .ной (1, 1)-унитарной 'группой* ) и обозначается через Я) (1, 1). (Оио также называется вещественной унимодулярной оь(г,й) группой и обозначается через О1(2, Й), Оно называется также вещественной симплектической группой второго по,рядка и обозначается через Зр(1, Й).) ~ Если преобразование А вещественно и унимодулярио, то ~А$, АЧ]=[5, Ч] и А$=А$. Поэтому (А$, 4Ч) = — '[А$, АЧ1=. = о [А$, АЧ]= ~ [ь Ч]=(Ь Ч) Если А вещественно и (1, 1)-унитарно, го (А$, А»1)=($, Ч) н А$=А$.

Поэтому [А$, Ат)]= — 21(А$, АЧ)= — 21(А$, АЧ)= = -21 ($, Ч) = [9, Ч]. ') Подчеркнем, что речь идет о группе онератороа, а не матриц. Матрицы этих операторов принадлежат группе матриц ЗЦ(1, 1) прн специальном выборе базиса, указанном выше. специ«льныя игьвнвния 1гл. з Если А (1, 1)-унитарно и унимодулярно, то 1А$, Ац1 = =1$, гД и 1А$, Ац]=(с, п1. Поэтому 1А$, А~]=[А$, Ат)1 для всех $ и ц. Следовательно ]$, Ап — Ат~]=0 для всех $ и значит Ац=А~) для всех ть т.