1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (Арнольд 1978 - Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений)

В, И. АРНОЛЬД Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений Дояуаьено Министерством енсшего и среднего снеянального образования СССР в иачестав учебного нособия для студентов бгизиио-математичесяих снеяиольностей енсших учебнмх заведений МОСКВА сНАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОИ ЛИТЕРАТУРЫ 1978 817.2 А 84 УДК 5!7.9 Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. А р н ол ьд В. Ие Главная редакция физико-математической литературы издательства еНаукав, Ми 1978, 304 стр. В книге изложен ряд основных идей и методов, применяемых для исследования обыкновенных дифференциальных уравнений н в их естественно-научных приложениях.

Элементарные методы интегрированна рассматриваются с точки зрения общематематичесних понятий (разрешение особенностей, группы Ли симметрий, диаграммы Ньютона и т. д.). Теория уравнений с частными производными первого порядка изложена иа основе геометрии контактной структуры. Главы книги посвяшены качественной теории дифференциальных уравнений (структурная устойчивость, У-системы), асимптотическим методам (усред.

нению, адиабатическим инвариантам), аналитическим методам локальной теории в окрестности особой точки или периодического решения (нормальные формы Пуанкаре), а также теории бифуркаций фазовых портретов при изменении параметров (мягкое н жесткое возбуждение автоколебаний при потере устойчивости). Кинга рассчитана на широкие круги математиков — от студентов, внакомых лишь с простейшими понвтиямн анализа и алгебры, до преподавателей, научных работников в всех читателей, применяюших дифференциальные уравнения в физике и естественных науках.

Илл. — 153. Владимир Игоревич Аряалвд ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТВОРИМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНИИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ А 1-78 20203-068 053(02) -78 Главная редакция фи»яка-мвтеметеческай литературы издательства «Науке», 1970 Мь 197эу., лддлтр. с илл. Редактор М,:М, !Горячая ТеВ!. рер(м(тор.,!Е! Й! !ууилавевд Корректор И. Д. Доралоеа !! Самца в кебцР 12.!2.77. Г(вдццсвио к Печетк Оэдпуз.

ФоРмат ООХООУи. ВУм. тки. М 3, Лете уурявв. геряитуре. Выеьцэя вечерю условя! цэч. л. 19. уч.-квд. л. 21,07. тярвж27000 вкв. авиве АюЮа! Пеке бяягя 90 кав. :,уггэд~тельстве «еукв» Глввяея редекц)ш Фввжюъмвтейвтяческай литературы Н7071, Москва. В-у!, Леввяйкей проспект, 1б. Отпечвтецо в ордеве Трудового 1(рвпяяго эг(дмеев Леякягрвдской ткпогрефия щ кмевгпюеяяк Соколовой союзполиграфпрома црк Государственном комитете совете министров СССР во делам ввдвтельств, иолигрефея я кккжвой торговля, 196002, Лекявград, Л-52, Ивмвйловский проспект, 29 с матриц ордена Октябрьской Революции, ордеяе Трудового Крвсвого Зявмеев Леевягредского ирояеводствекяо.текеяческаго объединения «Печеткмй двор» имени А.

М. Горького Соювяолвгрефироме пря Госудврствеякам комитете Совета Министров СССР цо делам яедвтельсгв. полиграфии я кяяжеай торговли. 197!%, Ленякгрвд, П-120, Гатчинская ул., 20 Оглавление Предисловие Некоторые используемые обозначения Глаза 1. Специальнме уравнения.

$1. Дифференциальные уравнения, инвариантные относительно групп симметрий . 4 2. Разрешение особенностей дифференциальных уравнений ..... 9 3. Уравнения, не разрешенные относительно производных ..... 9 4. Нормальная форма уравнения, не разрешенного относительно производной, в окрестности регулярной особой точки, ..... $5. Стационарное уравнение Шредингера 4 6, Геометрия дифференциального уравнения второго порядка и геометрия пары полей направлений в трехмерном пространстве ....

11 17 22 32 36 Глава 2. Уравнения с частиымн производными первого порядка ... 58 9 7. Линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка $8, Нелинейное уравнение с частными производными первого по- рядна 6 9. Теорема Фробениуса 66 81 'Глава 3. Структурная устойчивость 84 85 91 диффео- !06 !12 117 130 Глава 4. Теория возмущений 4 1О. Понятие структурной устойчивости ......, ..., 9 11. Лифференциальные уравнения на торе, ..., ..., 6 12. Лналитическое приведение к повороту аналитических морфизмов окружности . 6 13. Введение в гиперболическую теорию ....,, ....

и 14. У-системы з 15. Структурно устойчивые системы не всюду плотны,, 3 16. Метод усреднения и 17. Усреднение в одночастотных системах 9 18. Усреднение в многочастотных системах, з 19. Усреднение в гамильтоновых системах . 1ь 133 !ЗЗ 137 !4! 150 Оглаплннин 4 М. Адиабатические инварианты 4 2!. Усреднение в опоении Зейферта . Глава б. Нормальные формы . й 22, Формальное приведение к линейной нормальной форме...., 4 23.

Резонансный случай $ 24. Области Пуанкаре и Зигеля 4 25, Нормальная форма отображения в окрестности неподвижной точки . 9 26. Нормальная форма уравнения с периодическими коэффициентами 4 27. Нормальная форма окрестности эллиптической кривой ...,, 9 28. Доказательство теоремы Зигеля ........,, ..., .... Глаза б. Лональная теория бифуркаций $29. Семейства и деформации . 9 30.

Матрицы, зависящие от параметров, и особенности декрементдиаграмм .. $31. Бифуркации особых точек векторного поли 9 32. Версальные деформапни фазовых портретов $ 33. Потеря устойчивости положений равновесия .........., 9 34, Потеря устойчивости автоколебзний $ 35. Версальные деформации эквивариантных векторных полей на плоскости $ 36. Перестройки топологии при резонансах 4 37. Классификация особых точек Образцы экзаменационных задач 154 158 164 167 170 174 177 184 194 215 234 238 243 257 267 284 298 303 Предисловие Основное открытие Ньютона, то, которое он счел нужным засекретить и опубликовал лишь в виде анаграммы, состоит в следующем: «Ра1а ае«1иа11апе «1ио1еипдие 11иеп1ез г1иапШае 1пио1иеп1е 11их1опез 1пиеп1ге е1 о1се оегеа.» В переводе на современный математический язык, это означает: «Полезно решать дифференциальные уравнения».

х В настоящее время теория дифференциальных уравнений представляет собой трудно обозримый конгломерат большого количества разнообразных идей и методов, в высшей степени полезный для всевозможных приложений и постоянно стимулирующий теоретические исследования во всех отделах математики. Большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории с естественно-научными приложениями проходит через дифференциальные уравнения. Многие разделы теории дифференциальных уравнений настолько разрослись, что стали самостоятельными науками; проблемы теории дифференциальных уравнений имели большое значение для возникновения таких наук, как линейная алгебра, теория групп Ли, функциональный анализ, квантовая механика и т.

д. Таким образом, дифференциальные уравнения лежат в основе естественно-научного математического мировоззрения, При отборе материала для настоящей книги автор старался изложить- основные идеи и методы, применяемые для изучения дифференциальных уравнений. Особые усилия были приложены к тому, чтобы основные идеи, как правило простые и наглядные, не загромождались техническими деталями.

С наибольшей подробностью рассматриваются наиболее фундаментальные и простые вопросы, в то время как изложение более специальных и трудных частей теории носит характер обзора. Книга начинается с исследования некоторых специальных дифференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах. При этом основное внимание уделяется не формально-рецептурной стороне элементарной теории интегрирования, а ее связям с общематема'гическими идеями, методами и понятиями (разрешение особенностей, группы Ли, диаграммы Ньютона) с одной стороны и естественно-научным приложениям — с другой.

пэедисловие Теория уравнений с частными производными первого порядка рассматривается при помощи естественной контактной структуры в многообразии 1-струй функций. Попутно излагаются необходимые элементы геометрии контактных структур, делающие всю теорию независимой от других источников, Значительную часть книги занимают методы, обычно назыв. емые качественными.

Современное развитие основанной А. Пуанкаре качественной теории дифференциальных уравнений привело к пониманию того, что, подобно тому как явное интегрирование дифференциальных уравнений, вообще говоря, невозможно, невозможным оказывается и качественное исследование сколько-нибудь общих дифференциальных уравнений с многомерным фазовым пространством. В книге обсуждается анализ дифференциальных уравнений с точки зрения структурной устойчивости, то есть устойчивости качественной картины по отношению к малым изменениям дифференциальных уравнений. Изложены основные результаты, полученные после первых работ А.

А. Андронова и Л. С, Понтрягина в этой области: начала теории структурно устойчивых У-систем Аносова, все 'траектории которых экспоненциально неустойчивы и теорема Смейла о не плотности множества структурно устойчивых систем. Обсуждается также вопрос о значении этих математических открытий для приложений (речь идет об описании устойчивых хаотических режимов движения, вроде турбулентных). К наиболее мощным и часто применяемым методам исследования дифференциальных уравнений относятся различные асимптотические методы. В книге изложены основные идеи метода усреднения, восходящего к работам основоположников небесной механики и широко используемого во всех областях приложений, где нужно отделить медленную эволюцию от быстрых осцилляций (Н. Н.