1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В точке (х, у, р) пространства струй рассмотрим плоскость,. составленную из векторов 9, для которых т(у=рдх. Инымн словами, вектор $, приложенный в точке (х, р, р), попадает в указанную плоскость (рис. 19), если его проекция на евклидову плоскость (х, у) имеет направление м с тангенсом угла наклона к оси х, рав- У ным р. Построенная плоскость называется контактной плоскоапью. Таким образом, в каждой точке пространства 1-струй при- з ложена контактная плоскость; все выесте Рис. 19.
они образуют контактное поле плоскостей (или, как еше говорят, контактную структуру) в пространстве- 1-струй. Зада ча*. Существуют ли поверхности в пространстве 1-струй, касающиеся в каждой своей точке приложенной в этой точке контактной плоскости?. Ответ. Нет. Предположим, что поверхность в пространстве 1-струй, заданная уравнением (1), гладкая.
!Это — не очень большое ограничение, так как для гладкой (= бесконечно дифференцируемой) функции Р" общего положения значение 0 не критическое и множество уровня 0 гладкое; если для данной функции это не так, то при почти всяком сколь угодно малом изменении функции Р множество уровня 0 становится гладким: например, достаточно прибавить к Р малую константу (см. теорему Сарда, 9 10 п.Е).] Рассмотрим какую-либо точку на гладкой поверхности М, заданной уравнением (1), и предположим, что в этой точке касательная плоскость к поверхности не совпадает с контактной плоскостью.
Тогда эти две плоскости пересекаются по прямой. Более. того, касательные и контактные плоскости во всех близких точках поверхности пересекаются по прямым, так что в окрестности рассматриваемой точки возникает поле направлений на М. Интегральными кривыми уравнения (1) называются интегральные кривые полученного поля направлений на поверхности М Решить (или исследовать) уравнение (!) — значит найти (или исследовать) эти кривые. Связь интегральных кривых на М с графиками решений уравнения (1) на плоскости (х, у) обсуждается ниже; подчеркнем, что интегральные кривые на М определяютсщ не в терминах решений уравнения (1), а в терминах контактных плоскостей. Б. Регулярные точки и дискрнминантная кривая. Направление оси р в пространстве струй будем называть.
иеРтпикальным направлением. Пусть М вЂ” гладкая поверхность спнцилльныв кнлвннния 1гл. 1 в пространстве струй, заданная уравнением (1). Рассмотрим отображение проектирования вдоль вертикального направления и; М-ь'ка, п(х,. у, р) =(х, у). Определение. Точка поверхности М называется регулярной, если она не является критической точкой отображения и. Иными словами, точка поверхности М регулярна, если касательная плоскость в этой точке не вертикальна, или еще †ес отображение проектирования на плоскость (х, у) в окрестности этой точки — диффеоморфизм.
Множество критических значений отображения и (т. е. проекция множества критических точек) называется дискриминантной .кривой уравнения (1). Пр и мер. для уравнения ре=х дискриминаитной кривой является ось у, а для уравнения ра=у — ось х (рис. 20).
Рис. 20., Рис. 21. Рассмотрим регулярную точку поверхности М. По теореме о неявной функции в окрестности этой точки М является графиком гладкой функции р=о(х, у). Теор ем а. Проектирование на плоскость (х, у) переводит интегральные кривые уравнения (1) на М в окрестности регулярной точки в точности в интееральные кривые уравнения вх (2) в окрестности проекиии этой точки (рис.
21). 4 По определению контактной плоскости, ее проекция на плоскость (х, у) есть прямая поля направлений (2). Поэтому поле направлений уравнения (1) в окрестности рассматриваемой регу.лярной точки на М переходит при локальном диффеоморфизме и в поле направлений уравнения (2); значит переходят друг в друга и интегральные кривые. Ь Замечание. В целом проекции интегральных кривых уравне.ния (1) на плоскость (х, у) не являются, вообще говоря, инте- УРАВНЕНИЯ Р(х,В,У') О а з1 гральными кривыми никакого поля направлений.
Проекции интегральных кривых уравнения (1) на плоскость (х, у) имеют на днскриминантной кривой в общем случае точки возврата, но для некоторых уравнений (1) эти проекции остаются гладкими и в точках дискриминантиой кривой. В. Примеры. П р и м е р 1. рз = х (рис. 22). Поверхность М вЂ” параболический нвлиндр. Лискриминантная кривая— ось у. Чтобы найти интегральные кривые, удобно взять за координаты на М не х и у, а р н у (тем более, что последняя система координат-глобальная). Рис. 22. Рис.
2о3. Запишем условия, наложенные на компоненты г(х, бу, Лр вектора $, приложенного в точке (х, у, р) поверхности М и принадлежащего нашему полю направлений: < рз х (условие принадлежности М); 2ззбр = г(х (условие касания М); бу рдх (условие принадлежности контактной плоскости).
Следовательно, в коордииатая (р, у) интегральные кривые определяютсв из уравнения Фу.=2рзбр. 2 Итак, интегральные кривые на М даются соотношениями у+С= — рз, 3 х рз. Ик проекции на плоскость (х, у) — полукубические параболы. П р и м е р 2. рз = у (рис. 23). Поступая как в предыдущем примере, получаем < рз у 2рбр = Ыу, бу рух. Выбярая в качестве координат на поверхности М на зтот раз х и р, получаем р(бх — 2г(р)=О, откуда либо р=о, у=о, либо х 2р+С, у= рз. Проекпии зтих крнвык ва плоскость (х, у) — параболы, касающиеся дискри- нантиой кривой у =О.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Пример 3. (Уравнение Клеро.) у=рх+г(р) (рис. 24). Поверхность М вЂ” линейчатая (ее пересечения с плоскостями р=сопз( — прямые). За координаты на М удобно взять х и р. Интегральные кривые ищем из соотно~ен~й Е у= рх+~(р), г(у = р е(х+ х е(р-)- )' г(р, ду = р е(х. Находим (х+г') г(р = О.
Точки, где х+ ~' =0 — критические, а остальные— регулярные. На плоскости с коордиу натами (х, р) интегральные кривыев Рис. 24. прямые р = сопз( = С; эти прямые, вообще говоря, пересекают линию критических точек (х+~'=О). Проекции интегральных кривых на плоскость (х, у) — прямые у = Сх+ ~ (С), касающиеся дискриминантной кривой. (Строго говоря, точки пересечения с критической линией не входят в интегральные кривые на М, так как для данного уравнения в этих точках поле направлений не определено: контактная плоскость касается М .~ Дискриминантная кривая находится из условий у=рх+)(р), х+~'=О. Например, если ~(р) = — рз~2, то дискриминантная кривая— парабола у=ха!2, а проекции интегральных кривых — ее касательные.
Теория уравнения Клеро связана с важными общематематическими понятиями: преобразованием Лежандра и проективной двойственностью. Г. Преобразование Лежандра, Пусть дана функция ) переменной х. Преобразованием Лежандра" ) этой функции называется новая функция д новой переменной р, которая определяется следующим образом. Рассмотрим график ) на плоскости (х, у). Проведем прямую у=рх с тангенсом угла наклона к оси х, равным р.
Найдем точку, где график всего дальше от прямой по направлению оси ординат. Рассмотрим разность ординат точек прямой и графика. Эта разность и есть ') В литературе преобразованиями Лежандра называют несколько разных объектов„ связываемых также с именами Минковского и Юнга, но мы не будем стремиться к полной педантичности терминологии. 2Т уелвнеНР!Я Ргх,у а'! О а а1 качение функции д в точке Р (Рис. 25): а (р) = зпр (рх — / (х)). к П р н мер 1.
Пусть /(х)=х'/2. Вычисляя преобрааованне Лежандра, получаем Е (р) ра/2„ Прнмер 2. Пусть /(х)=хо/а. Тогда л(р)=ра/(), где а- +й- =1 -г -г— (злесь х, р, а н Р неотрнпательны). Рнс. 25. Если функция / строго выпуклая (~")0), и ее производная задает диффеоморфизм прямой на прямую, то функция д также строго выпуклая; при атом верхняя грань достигается в единственной точке х, где /' (х) =р.
Такие точки х и р называются соответствующими друг другу при преобразовании Лежандра. Тео рема. Имеет место неравенство ~(х)+д(р)= рх. Если /' строго выпукла и /" — диффеоморфизм на, то равенств достигается если и только если точки х и р соответственные. 4 Функция рх — / (х) не превосходит своей верхней грани д(р).
Ь П р и м е р. При любых неотрицательных х, р имеет место неравенство рх -=- х /ос+ р~/(). В формулируемых ниже следствиях предполагается, что рассматриваемые функции / и д строго выпуклы и их производные задают днффеоморфизмы прямой на прямую. След ст в не. Преобразование Лежандра инволютивно: преобразованием Лежандра функции у(р) является (при подходим(ем обозначении координаты) функция /(х). < Действительно, неравенство предыдущей теоремы симметрично относительно / и й ~ Следствие. Переход от строго выпуклой функции а, задави(ей уравнение Клеро у=рх — а(р), к функции /', задающей огибающую решений по формуле у=/(х), есть преобразование Лежандра, 4 График функции / является огибающей своих касательных. ~ СПЕЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гл. 1 Замечание.
Преобразование Лежандра для функций и переменных определяется совершенно аналогично и обладает теми же свойствами. Если х — точка Й", то р — точка двойственного линей.ного пространства (пространства Й" линейных функций на Й"). Д. Проективная двойственность. П реобразование Лежандра является частным случаем одной общей конструкции проективной геометрии. Рассмотрим проективное пространство размерности п. Это пространство обозначается через ЙР".
Точка проективного пространства задается ненулевым векто ом о+1 р х из аффинного пространства Р, определенным с точностью до умножения на число, отличное от нуля. Зто определение записывается кратко так: (1Р" = (Р~'~,0)/(Й',О), Гиперплоскость в проективном пространстве состоит из всех точек проективного пространства, для которых соответствующие гочки аффинного пространства принадлежат одной гиперплоскости, проходящей через нуль. Рассмотрим множество всех гиперплоскостей в и-мерном проективном пространстве. Зто множество само естественно является л-мерным проективным пространством. Действительно, гиперплоскость в проективном пространстве задается однородным уравнением (а, х) =О, х вил""', а ен Р"~'*~,0, Г1ЛН* а+1 где Р— пространство линейных функций в Р (это пространство само линейно, имеет размерность н+'1 и называется двойственным или дуальиым к исходному линейному пространству яй+1) Таким образом, гиперплоскости в проективном пространстве соответствует ненулевой вектор в И"+, определенный с точностью до умножения на отличное от нуля число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
