1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (Арнольд 1978 - Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений), страница 6

Следовательно, мноокество всех гилерллоскостей в 11Р" имеет естественную структуру проективного пространства размерности и: ЙР"* = (Р~ " О) / (И' О). Проективное пространство гиперплоскостей в данном проективном пространстве ЙР" называется свойственным к РР" пространством и обозначается через РР" . Например, пространство всех прямых на проективной плоскости само является проективной плоскостью, двойственной исходной. 29 УРАВНЕНИЯ РГка а') О 4 з! Заметим что двойственность является взаимным понятием, т е. арр"ее =БР". Эта СЛЕдуЕт ИЗ СИММЕтрИИ а И Х В ураВНЕНИИ ГИПЕрплоскости (а, х) =О.

Примеры. Все прямые, проходящие через одну точку проекгивной плоскости, образуют, как нетрудно сообразить, прямую на двойственной плоскости. Все прямые, проходящие через одну точку проективной плоскости внутри угла с вершиной в этой точке абразуют, как нетрудно видеть, отрезок на двойственной плоскости. Все касательные к невырожденной кривой второго порядка на проективной плоскости образуют невырожденную кривую второго порядка на двойственной плоскости. Вообще, все касательные к любой гладкой кривой образуют (не обязательно гладкую) кривую на двойственной плоскости.

Эта кривая называется двойственной к исходной. Теорема. Графики строго выпуклой функции и ее преобразования Лежандра проективно двойственны друг другу. 4 Рассмотрим всевозможные прямые на аффинной плоскости с координатами (х, у), не параллельные оси у. Эти прямые сами образуют плоскость: можно задать прямую уравнением у=рх — г и рассматривать (р, г) как афинные координаты на новой плоскости.

В таком случае преобразование Лежандра сводится к переходу от графика функции ) к семейству касательных к этому графику: когда точка на плоскости (х, у) пробегает график функции Т, касательная к графику функции Т пробегает на плоскости (р, г) кривую, являющуюся графиком преобразования Лежандра, г=д(р). Ь Таким образом, преобразование Лежандра есть не что иное, как переход от кривой к прсастивно двойственной кривой, записанный в аффинных координатах.

П р и м е р. Пусть график à — выпуклая (вниз) ломаная. Опорной прямой называется прямая, от которой график лежит вверх, но с которой он имеет общую точку *), Рассмотрим все опорные прямые к выпуклой ломаной. Легко проверить, что они сами образуют выпуклую ломаную на двойственной плоскости. Действительно, опорные прямые в каждой вершине Исходной ломаной заполняют угол, н, следовательно, образуют отрезок на двойственной плоскости. Точно также вершины на двойственной плоскости получаются из отрезков исходнпй ломаной. Проективная двойственность позволяет рассматривать более общие случаи, чем преобразование Лежандра.

Задача. Построить кривую, проективно двойственную кривой рис. 26. У к а з а н и е. Двойным касательным исходной кривой отвечают точки самопересечения двойственной кривой — следовательно, двойственная кривая имеет 4 точки самопересечения. Точкам перегиба исходной кривой соответствуют точки возврата двойственной кривой, действительно, если )=хз, то касательная к графику в точке ") Вообще, олорнал гпперллоскссть к выпуклому телу есть плоскость, имеющая с телом общую точку и такая, что тело лежит в одном из полупространств, на которые плоскость делит пространство. СПЕЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. ) х=! задается координатами р=йгз, х=2Р. Эти соотношения определяют на плоскости с координатами (р, г) кривую с точкой возврата.

Итак, двойственная кривая имеет 8 точек возврата, по две между каждыми последовательными самопересечениями. Рис. 27. Рис. 26. Далее, рассмотрим исходную кривую как пару пересекающихся эллипсов, слегка сглаженных вблизи точек пересечения (части каждого эллипса внутри другого выкинуты). Двойственная кривая также связана с парой эллипсов.

Точкам пересечения исходных эллипсов соответствуют двойные касательные двойственных. Отсюда уже легко сообрааить, какой перестройкой двойственная кривая получается из пары пересекающихся эллипсов с их двойными касательными (рис. 27). Е. Преобразование Лежандра и сопряженные нормм. Определение. Нормой в )к~ называется вещественная неотрицательная выпуклая положительно однородная четная функция первой степени, равная нулю лишь в начале координат: 1~0, 7(х)=ОС=„>к=О, /(Хх)=))к(/(х), ((х+У) (7(х)+7(У).

Пусть 7 — норма в (чэ. Функция / задается множеством, где она раним единице. Это множество является выпуклой центрально-симметричной относительно нуля гиперповерхностью в (кк. Обратно, каждое компактное выпуклое. центрально симметричное относительно нуля тело, содержащее нуль в (кк определяет единственную норму, равную ! на его границе. Эта гиперповерхность 7=1 называется единичной прелой нормы /.

Задача 1. Найти единичные сферы следующих норм в !к": а) (=ук(х, х), б) )=шах !х! !, в) /=~(хг (. Рассмотрим пространство (к"*, сопряженное к (кэ. О п р е де лен не, Сопряженная норма в (к" э определяется как Е(р)= шах !(р, х) 1. ! (к) ш 3 Легко проверить, что я действительно норма. Отношение сопряженности взаимно, так квк определяющее неравенство можно переписать в симметричном виде ) (р, х) ~ ~ ! (х) й(р). Сопоставим каждой точке л сопряженного пространства гиперплоскосты р= 1 в исходном пространстве. УРАВНЕНИЯ РГК.ЗЗ'1-0 Теорема. Единичная сфера сопряженной нормы ссшь иножгспмо опорных гипсрплоскоспмй единичной сферы исходной норнм «( Условие й(р)=1 означает, что (р, х) на исходном шаре имеет максимум, равный 1, т.

е. что плоскость р=) опорная для исходной сферы. ~ Множество всех гиперплоскостей, опорных к данной выпуклой гиперповерхиостн, называется двойственной выпуклой гипсрпоггрхнсстью Таким образом, единичные сферы двойственных норм двойственны. 3 ада ч а 2. Найти поверхности в (с~, двойственные а) сфере, б) тетраздру в) кубу, г) октаэдру. Задач а 3. Найти нормы, сопряженные нормам задачи 1. Из всего сказанного выше видно, что переход от выпуклой гиперповерхности к двойственной ей локально задается преобразованием Лежандра.

)К. Задача об огибающих семейства плоских кривых. Две гладкие функции двух переменных х=х(з, Г). у=у(з Г) задают семейство кривых на плоскости, параметризованных параметром Г (указывающим точку на кривой) и занумерованных параметром з (указывающим номер кривой).

3 ад ач а. Нарисовать семейства кривых, заданных функциями а) х=(з+Г)з, у К б) х э+а(+!э, у В (з и Г малы) В) х=(5+В)э, у=К Ответ. См. рис. 28. а) д) д) Рис. 28. Можно показать, что для семейства общего положения огибающая — кривая, единственные особенности которой точки возврата (как у полукубической параболы) а точки самопересечения; при этом в окрестности каждой точки гладкости огибающей семейство приводится к одной из нормальных форм а), б), в) гладкими заменами координат Х(х, у). )г(х, у) и параметров 5(з), Т(з, Г).

В то же время в онрестности обшей точки дискриминантной кривой уравнение, неразрешенное относительно производной приводится, вообще говоря, к нормальной форме ( — ) л гладкой заменой координат Х (х, у), 1' (х, у) (см. $4). В этих координатах проекции интегральных кривых на плоскость (Х, )г)— полукубические параболы. Таким образом, дискриминантная кривая является огибающей проекций интегральных кривых лишь для исключительных уравнений (например, для уравнения Клеро). В частности, при небольшом общем изменении уравнения Клеро дискриминантная кривая из огибающей превра. антея в геомегрическое место точек возврата проекций интегральных кривых.

СПЕЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (гл. 1 5 4. Нормальная форма уравнения, неразрешенного относительно производной, в окрестности регулярной особой точки Здесь исследуются особенности семейства интегральных кривых для дифференциального уравнения общего положения, не разрешенного относительно производной. А. Особые точки. Рассмотрим уравнение Р (х, у„р) = О, где р = йу/йх, (1) заданное гладкой функцией Р в некоторой области. Мы предположим, что уравнение (1) задает гладкую поверхность в трехмерном пространстве струй с координатами (х, у, р).

По теореме о неявной функции для этого достаточно, чтобы в точиах, где Р=О, не обращался в нуль полный дифференциал функции Р, что мы и будем предполагать. Рассмотрим проекцию поверхности Р=О на координатную плоскость (х, у) параллельно р-направлению. О пределе н я е. Точка поверхности Р=О называется особой для уравнения (!), если проектирование (х, у, р)»-»(х, у) поверхности на плоскость в окрестности втой точки не является локальным диффеоморфизмом поверхности на плоскость. По теореме о неявной функции, особые точки — это те точки поверхности Р О, в которых дР/др=о. Б.