1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (Арнольд 1978 - Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений), страница 2

Боголюбов, Ю, А. Митропольский и др.). Несмотря на обилие исследований по усреднению, в вопросе об эволюции даже для простейших многочастотных систем далеко не все ясно. В книге дается обзор работ о прохождении резонансов и о захвате в резонанс, направленных к выяснению этого'вопроса.

Основой метода усреднения является идея уничтожения возмущений посредством подходящего выбора системы координат. Эта же идея лежит в основе теории нормальных форм Пуанкаре. Метод нормальных форм является основным методом локальной теории дифференциальных уравнений, описывающей поведение фазовых кривых в окрестности особой точки или замкнутой фазовой кривой. В книге изложены основы метода нормальных форм Пуанкаре, включая доказательство фундаментальной теоремы Зигеля о линеаризации голоморфного отображения.

Важные применения метод нормальных форм Пуанкаре находит не только при исследовании отдельного дифференциального прпдисловив уравнения, но и н теории бифуркаций, когда предметом изучения является семейство уравнений, зависящих от параметров. Теория бифуркаций изучает изменения качественной картины при изменении параметров, от которых зависит система. При общих значениях параметров обычно приходится иметь дело с системами общего положения (все особые точки простые и т.

д.). Однако, если система зависит от параметров, то при некоторых значениях параметров неизбежно встречаются вырождения (например, слияние двух особых точек векторного поля). В однопараметрическом семействе общего положения встречаются лишь простейшие вырождении (те, от которых нельзя избавиться малым шевелением семейства).

Таким образом возникает иерархия вырождений по коразмерностям соответствующих поверхностей в функциональном пространстве всех изучаемых систем: в однопараметрических семействах общего положения встречаются лишь вырождения, соответствующие поверхностям коразмерности один, и т. д. В последние годы в теории бифуркаций наблюдается значительный прогресс, связанный с применением идей и методов общей теории особенностей дифференцируемых отображений Х. Уитни.

Книга заканчивается главой о теории бифуркаций, в которой применяются развитые в предыдущих главах методы и описаны результаты, полученные в этой области, начиная с основополагающих работ А, Пуанкаре и А. А. Андронова. Прн изложении всех вопросов автор стремился избежать аксиоматически-дедуктивного стиля, характерным признаком которого являются-немотивированные определения, скрывающие фундаментальные идеи и методы; подобно притчам, нх разъясняют лишь ученикам наедине. Продолжающаяся, как утверждают, уже более 50 лет аксиоматизация и алгебраизация математики привела к неудобочитаемости столь большого числа математических текстов, что стала реальностью всегда угрожающая математике угроза полной утраты контакта с физикой н естественными науками. Автор старался вести изложение таким образом, чтобы книгой могли пользоваться не только математики, но все потребители теории дифференциальных уравнений, У читателя настоящей книги предполагается лишь очень небольшие общематематические представления в объеме примерно первых двух курсов университетской программы; достаточно (но не необходимо), например, знакомство с учебником В.

И. Арнольда «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М., 1974 *). *) При изложении нескольких отдельных вопросон используются или упоминаются также самые первоначальные сведения о дифференциальных формах, группах Ли и функциях комплексного переменного. для понимания большей части книги знакомство с этими сведениями не обязательно.

ПРЕДИСЛОВИЕ Изложение построено таким образом, чтобы читатель мог пропускать места, оказавшиеся для него трудными, без большого ущерба для понимания дальнейшего: были приняты меры к тому, чтобы по возможности избегать ссылок из главы в главу и даже из параграфа в параграф. Содержание настоящей книги составил материал ряда обязательных и специальных курсов, читавшихся автором на механико- математическом факультете МГУ в 1970 †19 годах для студентов- математиков 11 — 1И курсов, для слушателей факультета повышения квалификации и на экспериментальном потоке математиков естественно-научного профиля.

Автор выражает благодарность студентам О. Е. Хаднну„ А. К. Ковальджи, Е. М. Кагановой и доц. Ю. С. Ильяшенко, чьн конспекты были очень полезными при подготовке этой книги. Составленный Ю. С. Ильяшенко конспект специального курса, а также конспекты лекций на экспериментальном потоке, в течение ряда лет находились в библиотеке факультета. Автор благодарен многочисленным читателям и слушателям этих курсов за ряд ценных замечаний, использованных при подготовке книги. Автор благодарен рецензентам Д.

В. Аносову и В. А. Плиссу за тщательное рецензирование рукописи, способствовавшее ее улучшению. В. Арнольд Июнь Г977 г. Некоторые- используемые обозначения Й вЂ” множество всех вещественных чисел. С вЂ” множество всех комплексных чисел. Š— множество всех целых чисел. ьс" — и-мерное вещественное линейное пространство. и — существует. ту — для всякого.

а щ А — элемент а множества А. А г=  — подмножество А множества В. АП — пересечение (общая часть) множеств А и В. А Ц В вЂ” обьединение множеств А и В. А ~ †разнос множеств А и В (часть А вне В). Ах †прям произведение множеств А и В (множество пар (а, Ь), а ев чмА, ЬяВ).

А ®  †прям сумма линейных пространств. /: А-ь — отображение ( из А в В. к ь — ь у или у=((х) — отображение / переводит злемент л в элемент у. !тг" или /(А) — образ отображения У (но (щз — мнимая часть з). (-г(у) — полный прообраз точки у при отображении у (множество всех х для которых ((х)=у). Кег( — ядро линейного оператора ( (полный прообраз нуля). ) †скорос изменения функции у (производная по времени Г). )', 1ь, Щах, Р//Рл †производн отображения (.

Т„М вЂ” хасательное пространство к многообразию М в точке х. А =:Ь В вЂ” из утверждения А следует В. А <:-р  †утвержден А и В равносильны. сздЦыз — внешнее произведение дифференциальных форм ыт и ыз. (у — суперпозиция отображений (Д у)(х)=)(у(х))). 4, $ †нача и конец доказательства. Х, / †производн функцав ( по направлению векторного поля о, Рд НЕКОТОРЫЕ ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Пусть (х,,, х„) — координатнье функции. Вектор о задается тогда своими компонентами оы „., о„.

Производная по направлению поля о задается формулой Е )=от д()дх,+...+он д()дхл. При фиксированной системе координат (хы ..., х„) используются следующие обозначения: йхь — функция от вектора, равная его й-й компоненте. д — — векторное пале, й-я компонента которого равна 1, а остальные хь компоненты равны нулю. Для дифференциального уравнения х=э(х) область определения правой части называется фазовым пространством, точка х называется фазовой тгмкой, вектор о(х) называется вектором фаэовой скорости, о называется векторным полем фазовой скорости.

Если х=~р(Г) — решение уравнения, то образ отображения <р называется фаэовой кривой, а график отображения ф — интегральной кривой. Для дифференциального уравнения х=о(х, г) область определения правой части называется рааииргнным фаэовым пространспиом; о задает в расширенном фазовом пространстве лоле направлений; если х=ф (Г) — решение, то график отображения ф называется интегральной кривой. Глава ! Специальные уравнения При исследовании дифференциальных уравнений применяются методы всех отделов математики.

В настоящей главе обсуждаются — отдельные специальные уравнения и типы уравнений. Особое внимание обращается с одной стороны на значение рассматриваемых уравнений для приложений и с другой — на связи методов исследования с различными общематематическими вопросами (разрешение особенностей, диаграммы Ньютона, группы Ли симметрий и т.

д.). Глава заканчивается элементарной теорией стационарного одномерного уравнения Шредингера и геометрической теорией нелинейного уравнения второго порядка. $ 1. Дифференциальные уравнения, инвариантные относительно групп симметрий В этом параграфе изложены общие соображения, на которых «тснованы методы интегрирования дифференциальных уравнений в явном виде. В качестве примера обсуждается теория подобия, т.

е. теория однородных и квазиоднородных уравнений. А. Группы симметрий дифференциальных уравнений. Рассмотрим векторное поле о в фазовом пространстве У. Определение. Диффеоморфизм у: У-ьУ называется симметрией поля о, если он переводит поле о в себя: У о(дх) =па„о(х). Поле о называется тогда инвариантным относительно диффеоморфизма д. Пример 1, Векторное поле с не Рис. 1.

вависягдими от х компонентами на плоскости с коордннатамн (х, у) инвариантно относительно сдвигов вдоль оси х (рис .1). П р имер 2. Векторное поле хдх+удх на евклидовой плоскости (х, у) инвариантно относительно растяжений у (х, у) =()ьх, лу) и относительно поворотов. 12 спнцнлльныи крдвннння (гл. » Все симметрии данного поля образуют группу, Зада ч а. Найти группу симметрии поля хд«+ удя на плоскости с координатами (х, у).

Рассмотрим поле направлений в расширенном фазовом пространстве. О и р е д е л е н н е. Днффеоморфнзм расширенного фазового пространства называется симметрией поля направлений, если он переводит поле в себя. Поле направлений называется тогда инвариантным относительно этого днффеоморфнзма. Пример 1.

Поле направлений уравнения я=о(«) инвариантно относительно сдвигов вдоль оси г (рис. 2 о). й) Рис. 2. а) Пример 2. Поле направлений уравнения Л о(Г) инвариантно относительно сдвигов вдоль осв х (рис. 2 б). Определение. Дифференциальное уравнение Я=о(х) (соответственно, х о(х, 1)) называется инвариантным относительно днффеоморфнэма д фазового пространства (соответственно, расшнренного фазового пространства), еслн векторное поле п (соответственно, поле направлений о) инвариантно относительно этого днффеоморфнзма у; днффеоморфнзм д называется тогда симметрией данного уравнения.

Т е о р е м а. Симметрия уравнения переводит (разовые (интегральные) кривые уравнения в фазоаме (итапегральные) кривые того же уравнения. ~ Пусть х р (1) - решенне уравнення 2 = о (х) н у- снмметрня. Тогда х=д(р(г)) — тоже решение, поэтому симметрия переводит фазовую кривую в фазовую кривую.

Для интегральных кривых доказательство аналогично. Ь П р и м е р. Семейство интегральных кривых уравнения я=о(б переходит в себя при сдвигах вдоль оси х а уравнения «=о(х)-при сдвигах вдоль оси С Следующие примеры часто встречаются в приложениях под названием «теорнн подобня», «теорнн размерностей» нлн «соображеннй автомодельностн».