1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Уравнение неограниченной кривой (9) можно записать в виде г = о~ (т), а~ ( т к рь где о, (т) -~ о при т-+ ()ь б~ — конечное число, Дзя опроделеввоств уравнение такой кривой будем записывать только в виде (9). 3. Области. Множество Р точек расширенной комплексной плоскости называется областью, если это множество открытое, т. е. для каждой точки, принадлежащей Р, существует окрестность этой точки, принадлежащая Р; связное, т. е. любые дзе точки, принадлежащие Р, можно соединить кривой, быть может, неограниченной, все точки которой принадлежат Р.
Граничной точкой области Р называется точка, в любой окрестности которой есть точки, принадлежащие Р, и точки, не прннадлежащие Р. Множество граничных точек области нааывается тЕ Рве. 18 Рве. 17 границей этой области. Область Р, дополненная всеми своими граничными точками, называется замыканием области Р и обозначается Р. Всюду в дальнейшем будем рассматривать только такие области, границы которых состоят из конечного числа кусочно гладких крив»»х и изолированных точек.
Кроме того, будем считать, что все граничные кривые области Р ориентированы так, что при двизсении точки вдоль граничной кривой в направлении этой ориентации область Р остается слева. Поясним это на примерах. Пример 9. Границей области О< Ь вЂ” а) Се, е>0, является точка в= а и окружность Ь вЂ” а~ =з, ориентированная против часовой стрелки и проходимая один раз (рис.
17). Эту область будем называть так: «круг Ь вЂ” а1 ( з с в»вколотой точкой а» или «проколотая окрестность точки а». ( ) Пример 10. Область Ь(~1, О~агут(2«т будем изобра- жать, как указано на рис. 18, и называть так: «круг ~г((1 с гл. т. вввдкнив разрезом по отрезку (О, 1)э. Граничная кривая Г этой области состоит из следующих частей: отрезок [О, 1$, проходимый от точки я =1 до точки в =0 — нижний берег разреза; отрезок (О, 1), проходимый от точки х 0 до точки я=1 — верхний берег разреза; окружность Ь! =1, проходимая против часовой стрелки один раз. Отметим, что каждой точке полуинтервала (О, 11 со- ответствуют две различные точки граФ пичной кривой Г.
~~1 Пример 11. Граница Г области 1 < Ь! < 2 состоит из двух кривых: Г = Г, О Гм где Г, — окружность Ь( Л -У = 2, ориентированная против часовой стрелки, Г„ — окружность Ь! 1, ориентированная по часовой стрелке ~/ (рис. 19). Д Область П называется ограниченРис. 19 ной, если существует такой круг К: Ь( <В, что В с К.
Примерами ограниченных областей являются области на рис. 17 — 19. Пример 12. Следующие области являются неограниченными (рис. 20): а) !Ы )1; б) верхняя полуплоскость 1шх)0 с разрезом по отрезку (О, 4; в) полоса Пшг~ < 1; Ряс. 20 з 3. кривын и ОБлАсти г) полуполоса (1ш Ы (1, Вез ) 0 с разрезом по отрезку (1,2).
0 Область Р на комплескной плоскости называется односвявной, если любую замкнутую кривую, лежащую в Р, можно непрерывно деформировать в точку, оставаясь в области Р. Непрерывную деформацию кривой достаточно понимать наглядно геометрически (рис. 21), но можно дать и строгое аналитическое определелие (см. и. 4 у 3). Примерами односвязных областей являются области на рис. 18 и 20,б, в; неодносвязными являются области на рис.
17, 19, 20,г. Определение односвязной области на расширенной комплексной плоскости такое же, как и на нерасширенной комплексной плоскости, только непрерывную деформацию кривой в точку г = оо нужно рассматривать на сфере Римана. П р имер 13. Следующие области расширенной комплекслой плоскости являются односвязными: а) Ы ) 1 (рис. 20,а); б) вся расширенная комплексная плоскость; в) з Ф а — вся расширелная комплексная плоскость с выколотой точкой а.
П Пример 14. Следующие области являются неодносвязными: а) гФ1, р — вся расширенная комплексная плоскость с выколотыми точками 1 и г; б) вся расширелная комплексная плоскость с разрезами по отрезкам (О, 1) и (р, 24); в) 1 ( (з ( ( оо. Д Для областей с кусочно гладкими границами имеет место следующее свойство: граница односвязной области на расширенной комплексной плоскости состоит только из одной замкнутой кривой, может быть неограниченной, или только из одной точки, или не имеет ни одной точки — вся расширенная комплексная плоскость.
Имеет место Т е о р е м а Ж о р д а н а, Простая замкнутая непрерывная кривая разбивает расширенную комплексную плоскость на двв односвязные области. Для ограниченной простой замкнутой кривой зги области будем называть так: внутренность кривой — та из двух областей, которая не содержит бесконечно удаленную точку, и внешность кривой — вторая область. Будем говорить, что простая замкнутая кривая 7 ориентирована положительно, если при движении точки вдоль 7 в направлении атой ориентации влутренность 7 остается слева. Ясно, что область Р ла комплексной плоскости является односвязлой тогда и только тогда, когда внутренность любой про- 3 Ю.
В. Сидоров и др. ГЛ. Ь ВВЕДЕНИИ стой замкнутой кривой, лежащей в В, целиком принадлежит области Р. Образно односвязную область можно представлять как лист бумаги произвольной формы, может быть, с разрезамн по краям,но без «дырокв внутри. 4. Гомотопкые кривые.
Непрерывную деформацию кривой можно представить наглядно геометрически (рис. 21, 22). Строгое аналитическое понятие етого определения вводится следующим образом. Рис«21 Рнс. 22 ПУСТЬ КРИВЫЕ (а. г аг (г), 0<1<1, И ТК г = а| (г), 0< 1 <1, лежат в области Р и имеют общее начало в точке а= аг(0) = а~(0) н общий конец в точке Ь а, (1) = а1 (1). Будем говорить, что кривую тг можно непрерывно деформировать в кривую уь оставаясь в области Р, если существует функция а (г, г), непрерывная в квадрате 0 < г < 1, 0 < г < 1 и удовлетворяющая следующим условиям: 1) при каждом фиксированном гж [О, 1) кривая у,: г а (д г), О < < г я; 1, лежит в области Р; 2) а (г, 0) аг (г), а (г, 1) а, (г), о < г < 1„. 3) а (О, г) аа а, а (1, г) ав Ь, 0 < г я, 1.
В частности, если кривая уг замкнутая (е = Ь) н а (г, 1) ю с, 0 < г < < 1, то будем говорить, что кривую тг можно непрерывно деформировать в точиу, оставаясь в области Р. Кривые уг и т1 называются гсмстоанггми г области Р (обозначение: '(а = "(~ в Р), если кривую )г можно непрерывно деформировать в кривую '(ь оставаясь в области Р (рис. 22). Замкнутая кривая у называется гсмсгоимой нулю г области Р (обозначение: т яг 0 в Р), если зту кривую можно непрерывно деформировать в точку, оставаясь в области Р (рис. 21). Имеют место следующие свойства: 1.
В о дн оса я си ой области любые две кривые с общим началом и общим концом гомотопны между собой, а любая замкнутая кривая гомотопна нулю. 2. Пусть крквые т = уг(г и "( = т1'(г Лвжат В Области Р. 'Гогда, если Ъ=Ъ Р Ъ=,т Р т=т Р, 3. Кривая т( ' гомотопна нулю в любой области, содержащей кривую т. 35 г я. непРКРывнык Функции В 4. Непрерывные функции комплексного переменного Пусть на множестве Е комплексной плоскости г определена комплекснозначная функция яо = ~(г), т. е. каждой точке г = =х+ яуыЕ поставлено в соответствие комплексное число ю = = и+го. Эту функцию можно представить в виде ~(г) = и(х, у)+ + Яо(х, у), где и(х, у)=Не~(х+ту), о(х, у)=1ш~(х+ Яу).
Таким образом, комплекснозначную функцию комплексного переменного можно рассматривать как пару действительных функций двух действительных переменных. 1. Предел функции. Пусть точка а является предельной точкой множества Е, т. е. любая окрестность точки а содержит бесконечное число точек множества Е.
Число А называется пределом функции Дг) при г- а по юяолеестеу Е, если для любого е >О существует такое 6= 6(з)>О, что для всех гакЕ, удовлетворяющих условиЯо Ос!г — а! ( б, выполняется неравенство !)(г) — А~ ( з. При этом пишут Иш 1(г) = А х-аа, озЕ нли Дг)- А при г- а, гяяЕ. Данное определение предела функции эквивалентно следующему: 1пп ~(г) = А, если для любой последовательности (г„), а"~а,хик г ш Е, г„Ф а (и 1, 2, ...), сходящейся к а, последовательность (/(г„)) сходится к А, т. е. Иш ~(г„) = А.
В дальнейшем для краткости вместо Иш 1(г) часто будем х-~а,аив писать Иш1(г). а-~а Из теоремы 1 $2 вытекает, что существование предела Иш)(г), где )(г)=и(х, у)+яо(х, у), а-и+яр, равносильно х а существованию двух пределов Иш и(х, у) и Ишо(х, у), причем х-~а х-+а у ~з У- а 1(ш 1(г) = 1пв и (х, у) + Я 11ш о(х, у). х-а а х-аа х а т-з т-'з Пределы функций комплексного переменного обладают такими же свойствами, как и пределы функций действительного переменного: если существуют пределы Иш)(г) = А и Ишу(г) = а-~а $ а =- В, то 1(ш[/(г) Я. у(г)) = А.Я- В, Иш(1(г) д(г)) = АВ, Иш ~ а а а-аа а-~а г (О = — (В~О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
