1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (Кочин 1965 - Векторное исчисление и начала тензорного исчисления), страница 7

Составим таблицу важвейшах свойств скалярвого цроазведеиия: а.Ь = О6 соз (а. Ь) (определеаие) И.Ь = Ь.а И.Ь О, если а О или Ь = О, или а < Ь 2) 3) 4) а Ь <-а6, если а и Ь коллкиеарвы, в частвоста а а = аз (ф а~) * Д~ Ь,) = ~ ~~ а,*Ь7 та.аЬ тл (а Ь) а.Ь а„6, + атбз + а,6, 5) б) 7) Разберем иескоаько примеров. Прв помопщ символа скаляряого произведение можно легко представать ряд зажвых величии. Составим.

Иапример, скалариое проиаведевие вектора а.( а (1 3) Га. 1 Вввтогнья элгяягэ 3 а д а ч а 27. Дав прямоликейкый треугольник АВС (фиг. 21). Вывегав осиовиую формулу прямоливейвой тряговометрии сэ = аэ + Ьэ — 2аЬ соэ С Для доказательства достаточно помвожить обе части тождества с = а+ Ь скалярво сема ва себя сз = (а + й) (а + й) = а е + 2а Ь + Ь.Ь = а' 4 2аЬ соэ (а,Ы 4- Ьэ Но угоэ (в, й)=180' — С; следовательно, сов(а, й) = сов(180' — С) = — сов С.

Ото юда сэ = аэ — 2аЬ соэ С + Ьэ что в требовалось доказать. 3 а д а ч а 28. Выведем весколько соотвошевий между сторонами в дваговалямя параллелограмма. Пусть егоровы параллелограмма ОАВС (фиг. 8) представляют векторы а и Ь, так что ОА = ВС = а, .4С ОВ Ь, тогда дваговали его представят векторы а + Ь бС в а — Ь ВА. Составим, тождества. (а + Ь) ° (а + Ь) = сэ -+ 2а. Ь + Ь' (а — й)*(а — й) аэ — 2а Ь + Ьэ (1 б) выкладывая вх, получим: (а + Ь)' + (а — й)' = 2 (а' + Ь') (17) т. с. сумма явадрэтоэ диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сто ров. Вычитав пижпее тождество (18) яэ верхнего, найдем: (а + Ь)* — (а — Ь)' = 4а Ь (18) т е. скалярное проиэвэдеяве яэ егоров параллелограмма раева четверти развоств квадратов диагоналей.

Отметки, между прочим, что вз этого результата моева сразу вывести выражевие а.Ь через составлиющие векторов а н йл (а + Ь)* = (а„+ Ь„)' + (а„+ Ь„)' + (а, + 6,)' = = с„Р + 2е„Ь„+ Ь„' + а э + 2а,йг + Ь„* + а,' + 2а,Ь, + Ь,' (а — Ь]э (а„— Ь„)' + (а„— Ь„)э + (а„— Ь„)' = = а„' — 2а„Ь„+ Ь„' + а„' — 2а„Ь„+ Ь„' + а,' — 2а,Ь, + Ь,' 4 (а.Ь) = (а + Ь)' — (а — Ь)' = 4 (а,Ь„+ а„Ьэ + а,Ь,) Отсюда а-Ь = а„Ь„+ а„Ь„+ а,Ь, 1 б скалярная или внттгкпввк птоняввдвннк пвгх викторов яя Составим, наконац, (а + Ь)-(а — Ь) = а а — Ь.Ь = ар — Ь' (19) Сладовательно, скалярное пронявадевие диагоналай параллелограмма равно равности квадратов сторон, поэтому диагонали параллелограмма тогда и только тогда вяакмио перпендикулярны, когда а Ь, т.

а. когда параллакс грамм есть ромб. 3 а д а ч а 23, Докаяать, что работа равнодайствующсй В наскол ьких сил ÄÄ..., Г„, приложенных к одной и тов жс точке, на пароме. щения я этой точки, равна алгябраичссксй сумме работ составляющих сил. В самом деле, умножая скалярво ва я обо части равянства получим Я.я Г .я .(- Г .я + , .. + Г„.а (20) Фкг. 25 т. е. работа равнодействующей равна сумме работ составляющих. 3 а д а ч а 30. Выяаств формулу для кооикуса суммы двух углов, Восьмом в плоскости ху (фиг.

25) два единичных вектора а в Ь, составляющих с осью х соответстванно углы а и — б (отсчитываем углы от оси и к оси у) н составим а.Ь. С одной стороны ято есть косинус угла мажду вакторами, т. е. соя (а + б), с другой сторогы ато есть арЬ„+ а„Ьр + а,Ь;, во а„соса, ар я1па, а, 0 (21) Ьр = соя б, Ьр — — — мп 3, Ь, = 0 Слядоватсльво соя(а+ ()) соя асов 3 — я$ва ып 3 (22р 3 а д а ч а 31. Векторы а и Ь авданы косоугольными составляющими а„, а, а, в Ь, Ь„, Ь,; найти аналнтическоа выражение для а.Ь. Ответ вытекает ия формулы (10), в которой надо подставить вмвсто ) ° ) его яначенве соа (х, у), далсс 1ЧЬ соя (у, я), Ь.( = соя (я, х) а*Ь = а„Ь„+ а.Ь:„+ а,Ь, + (а„Ь„+ а„Ь„) соя (х, у) + + (а„Ь, + а,Ь„) соя (х, я) + (а,д, + а,Ь„) соя (у, я) ДЗ) В частности длина вектора а, яадавного оковки косоугольными координатами а„, а„, а„выражается сладующей формулой: а' = а„'+ а,'+ а,'+ 2а„а„соя(х, у) + 2а„а„соя (у, я) + 2а,а„соя(я, х) (24) 3 а д а ч а 32.

Доказать, что вектор х = Ь (а*о) — а (Ь.с) перпепди- кулярек вектору о. Ввктогиая алгввгз 3 а д а ч а 83. Доказать. что трк высоты треугольшпш аересекаются в одной точке. Обозначим точку пересечения высот, опущенных из верпшн А и В, через 0 (фиг. И). Введем зекторм ОА = х, ОВ = у, ОС = з, тогда, как видно нз чертежа: а=а — у, Ь=х — х, о=у — х Условие перпендикулярности ОА к ВС в ОВ к АС дает: С х.а = х.(з — у) х з — х у = О 4 у.Ь = у.(х — з) = у.х — у.х О С а Складывая этя двз равенства, найдем х.з — у*з = (х — у)*х — с х = О В с а следовательно ОС перпевдикулярев к АВ, Фег.

Ш так что О лежит и на вьгсоте, опущенной иа точки С. Другое доказательство основывается ка решении задачи 12. Легко видеть, что в рассматрнваемом случае АМ ЬсозА, МВ асозВ, ВК =ссозВ КС=ЬсозС, СВ асозС, 1.А =ссоеА и, следовательно, условие пересечения трех высот ВК СЬ АМ КС Ь,А МВ выполнено. 3 а д а ч а 34. Если радиусы-векторы вершин треугольника АВС суть г„з„г„то найти радиус-вектор г точки пересечепяя высот этого треугольвнка. Согласно решению задачи 12 мы имеем г а,г, + а,г, + азгз где а„а„а, должны определать из равенств ае ВЛ а~ СЬ аа АМ а В' а+аз+аз =1 а1 ЬС' аа ЬВ ' а~ МВ' Но з нашем случае имеем, например ВК =ссозВ, КС =ЬсозС Поэтому сь сссвВ ае Ь сов С Но по теореме синусов с зшС Ь з1еВ Следовательно окзлягнов илк епгтгвннвк пгоизввдкниз двгх зиктогоз Ы И аналогично — — а, +а, +аз=( а, зуВ а, ФдА' а1 фА з вгс' Отсюда легко получить Звл Зв В с ЗВА ФЗЗВ~-ЗВС ' ЗВА+ЗВВ+Зус' Вз ЗВА+ЗВВ+1ЛС Оледозательво, для точки пересечения высот треугольника получаем выражеюге Г Г1 ЗЗ А + ЗК В+ гз 1 С ф А + ЗВ В + зз Зад а ч а Зб.

Найти уравнение плоскости, перпендикулярной к заданному вектору а и проходящей через данную точку М, (г,). Возьмем любую точку М (г) влоскост~~, тогда, при перпендикулярности плоскостн н зевтора а, вектор М,М = з — г, будет перпендикулярен к вектору а и обратно, если вектор МзМ перпендикулярен к а, то точка М лежит в плоскооти; вырааим зто условие перпеицикулярвости векторно: (г — г1) а = О, г.а — г,.а = О г а = г„а нредставляет уразианае искомоа плоскости. Вводя координаты х„ у„ з, точки М, и составляющие а„, а„, а, вектора а, вейдем авааитвчаское ,уравнение плоскости а„(х — хд) + в (у — у,) + а, (з — з,) = О или а„х+ а„у + а„з о„х, + а„у, + а,з, 3 а д а ч а 56.

Найти расстояние от точки М, (г,) до плоскости г.а=а (25) Плоскость (25) перпендвкулярва к а; в самом деле, пусть две точки М' (г') и М' (г') лежат в плоскости, тогда г' а =а, г'.а а г г,+ай (26) где Х вЂ” переменный параметр, пробегаюпщй все значения. Найдем точку пересечения этого перпендикуляра с плоскостью, для чего надо сов. местно решить уравнения (25) и (26). следовательно (г' — г~) а = О, т. е. М'М перпендикулярво к а, так что всякая прямая плоскости аерпавдикулярна к а, что может быть только при условии перпендикулярности плоскости и вектора а, Легко написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точка М, (гз) иа плоскость (25): Га ! ввктогвая ьлгввта 42 Подставляя выражение длв г ие уравнения (25) в (25), найдем: (г, + аь]-а а, г.а+ а*А а, а~ Самый парпевдякуляр представляется вектором Ха, длина же его (27) В частности расстояняа И, от качала координат до плоскости (25) выражается формулой: (а( Ф' '..„' т (28) 3 а дача 37.

Точка М (г) движется с постоянной скоростью т; в начальный момент ова ваходнлась в точке Мц (г,); узнать, в какой момент сна встретвт плоскость, аадавную уравненном г.а а Очевидно, точка М пробегает прямую г= г„+тг я надо определять момент д ствечающвй пересечению етой прямой с пло сностью; вставляем выражение дхя г в уравнение плоскости (г + тг).а — а, г„а + (г а) г = а Отсюда ° — ~(-'. г„а + и„е„+ г,а, Зада ча 28.

Найти ураввенве плоскости, проходящей через середину отреака, соедввяющего две точки М, (г,) в М„(ге), н перпендикулярнов к этому отрееку. О т в е т. г. (г, гг) (г1 гее) 3 а д а ч а ЗР, Найтв уравнение сферы радиуса а с центром в начале коорднват, а также уравнение касательной плоскости к сфере а точке сфары М, (г,). Уравнение сферы, как геометрвюокого места точек, удаленных от начала координат на расстоянне а, имеет, очевидно, следующий ввд: г-з - ее влв в координатной форме: хе+у + еа — сг Касательная плоскость проходит черве точку М, (г,) и перпендикулярна к вектору гм следовательно, ее уравнение можко написать е таком анде: г.г, = г, ° гд —— а', вли хх, + уу, + хх, = е' 1 з оньлягвов или впттгвпнвв пгоизвкпвник пзтх взктогов зз 3 а д а ч а 40.

рассмотрим сферу радиуса а с цантром в качала коордиват. Две точки, лежащие иа одиом луче, проходящем через начало коордииат, и иаходящиеся иа таких расстоявиях Я и В' от последиего, что произведение ВЯ' = аз, иазываются гармоиическими. Доказать следующее свойство гармоикческих точек: отиошевие расстояний любой точки сферы до двух гармонических точек есть зеличииа постояввая. В самом деле, если радиус-вектор одиой гармоиической точки Р есть Ьа, причем ) а ) а, то радиус-вектор другой гармовической точки 1 будет — „а.