1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (Кочин 1965 - Векторное исчисление и начала тензорного исчисления), страница 6

проектируя на оси х, у, х, ваходям х= ж хххы + сс и и аь+мгфмг ' ' аи+ ем+ ем з+ +ав 8 а д а ч а (9. Рассмотрвм х) АВС (фнг. 21) а выведем аекоторые формуды прямолввейной трвгонометрвн. Спроектвруем яомавую ливию АСВ а ее аамыкающую ва АВ, по теореме о сумме проекпнй мы получим: Ь а асоиВ+Ьсоед с (18] Ю с цвклвческой перестановкой повучвм отсюда еще две формульп ЬсоеС+ ссоеВ а, ссоэА+асоеС Ь Спроектвруем теперь ту же ломаную линию и ее иамыкакядую на перпевдвкуляр ВС к АВ. Проекдвя аамыкаивцей ва перпендикулярное направленно будет О, проекцня АС есть Ь и)п А цроекцвя СВ есть — а мп В, схедоиатедьно Ьа(пА ампВ точно так же вайдам двг другве формулы смвВ ЬмпС, аыпС' мпА в результате получаем теорему аннусов: Мвя Мид Мвп Ъ а г Гл. 1 Ввктовнся слгввгс 3 а д а ч а 20.

Впишем в круг единичного радиуса (фкг. 22) правивьный в-утопании Р Р,... Р„т и пусть сторона Р Р, составляет с осью Ох Угол Фс, ' кажДаЯ свеДУюшаа сторона будет составлять с осью Ох угон ва 2 я)я больше, чем предыдущая, так что 2ю Р Рт ссстсеат Ггса Ф +— с 4ю РтРт вмтсавт Утса Фс + — „ наконец, 2 (» — 1) я Р -~Рс составит ттсл Фс+ Спроектируем теперь замкнутую ломаную линию Р,Р,...

Р„Р, иа ось х; так как все стороны ее равны маншу собой, го получим тригонометрическое тождество: сов%4+сов(йс+ — )+сов(Рс+ — „)+... +севере+ ) =О Например, будет: пРи Фс=О 1 + соь — +сов — +... + сос ьч г(е-1)х =0 с с с к при Фс = —, вв — + е!в — „+... + мп „= 0 Ы . 4ю..

2(л — 1)я Задача 31. Тяжелая точка веса Р находится в равновесии на гладкой наклонной плоскости под действием двух сил ф и 1)т (фаг. 22)1 величина каждой из стих спл равна — Р, сила ф 1 т в горивонтакьна, сила ()т иаправвена вдова каклояной а, плоскости вверх. Требуется определять Уток а наклона плоскости к гориаонту. Я Если мы введем в рассмотрение еще реакцию плоскости В, нвправленве которой перпендикулярно а на- Р ивонной плоскости, четыре силы Р.

(З. ()з и В будут на- а ходвться в равновесии, так что Фвг. 22 (20) Р+ ф+ф+ К=О Величина реакции К нам неиввестна, она пас пе интересует, поатому Уравнещю (20) надо проектировать на такое направление, чтобы проекция К пропала, т. е. нужно проектировать на направление силы 1)ч. Так как угол между ф и (14 есть а,меятду Р и (1с есть 90' -(-а, то проев пэконгьэовьнив коогциньт 33 цией ()1 будет служить фР сое а, проекцией Р будет служить Р сое (90 + а) = — Р э)п а, наконец, проекцией Яв будет — , 'Р: — 'Раааа+ — 'Р— Раца 0 з » Отсюда — 'соа а + — ' — ип а = О, ила сое а + 1 — 2 Мп а = 0 » » Но 1 + соса = 2 соьл †, в!и а = 2 с)п ь савв »й й й 2 ' 2 2 Следовательно 2 сое ь — 4 ап — сое — 2 сое — (сое — — 2 жо — ) = 0 вй . й а йг й йч 2 2 2( 2 2,)— Отсюда, сокращая па сое — (так как а ~ 90*, то сой — ~ 0), имеем 2~ 2 соа — — 2 а(п — = О, Сб-ь« = —, а = 53 Т48* й й й ! 2 2 ' 2 2' 3 а д а ч е ЗЗ.

Точка М (г) притягивается иеаодяижными точками М, (г,),..., М„(г„) с массами шд,..., ш„, причем силы притяжения пропорциональны расстояниям до этях точек а массам их. Найти ре. эультирующую силу и положение равновесия точки М. Сила притяжения точки М точкою М, равна, очвэядно, дш1 (г~ — г), где )с — коэффициент пропорциональности, ибо этот сектор направлен .от М к Мд и пропорционален расстоянию ММ,. Точно так же ~айдутся я другие силы. Поэтому реаультирующая сила будет К дш (г — г) + )гшь (гй — г) + .

° ° + Лш (г — г) Преобраауем его еыражеиие К lг (ш|гг + яхгг» +... + ш„г„] — )3 (ш +... + ш„) г Введем центр тяжести масс ш,, шх,..., ш, обоаначив его раднусвактор череэ р: «йг~ + тзгч+ . + т»г» «1 +та+ +й Тогда К 4(ш, +... +ш„)(р — г) т. е. результирующая сила есть сила притяжения точки М й центру тюкести масс ш„,..., ш„, а котором сосредоточена масса ш, +... + ш„.

Отсюда сразу вытекает, что точка М будет в равновесии, если р г т. е. осли точка М нахсдатся в центре тяжести масс ш„шт,..., ш,. 3 н. и к«чйй впктогнья Алгввг* Гл. 1 Если мы введем прямоугольные координаты х, у, з, то для положения равновесия точна М аолучвм: х- ''', у Уа1аЪ+...+ л м ечю+ .. -~- е дм 3 ткч +... + т„й с1+...+ ем ИФ1+.

+лв„ ел+ ... -(-т В общем случае для проекций результирующей силы получим: Х 4(т1х,+...+т„х„) — й(т, +...+т)х У 4(т,у1+... +т„у) — й(т, +... +зз„)у 2 4(т,з, -ь... + т з„) — 4(т, ~-... + т„) з 3 а д а ч а 22. К вершине 0 прямоугольного параллелепипеда ОАВСРЕЕС приложены трв силы. изображаемые векторамв ОВ, ОЕ, 00, найти зелвчвву в направление равнодействующей К (фиг, 24). Очевидно.

Ю Е К = ОЗ + ОЕ + ОС Обозначим ОА =а, ОС= Ь, ОР— с; тогда ОВ= а+ Ь, ОЕ = а+ с, ОО=Ь+е Откуда К = а + Ь + а + с + Ь + с 2(а+Ь+е) =207 т. е. искомая равнодействующая взображаетсв удвоенной диагональю параллелепиледа ОР. 3 а д а ч о 24. На точку действуют трв силы, проекции которых ла првмоугольные осв равны: Х, = (, У, = 2, 2, = 3; Х, — 2, У, 3, 2з — 4; Хз = 3, У, — 4, Яз = бт найти величину и направление равводействующей. О та от.

В =У2Т, сов(К, х) — *, сов(К, у) = — *, сов (К, з) = — ' 3 а да ч а 24. Пусть в Е~ АВС угол А прямой и пусть АР есть высота, опущзннзз на гипотенузу ВС. Доказать, что равнодействующей двух сил, првложевных к точке А, вз которых з одна направлена ао АВ и равна— 1 другая направлена по АС и равна —, АС' валяется сила —, направленная по АР. 1 3 о д а ч а 26. Пусть АВСРЕЕ есть правильный шестиугольник.

Найти равнодействующую свл АВ, АС, Ж, АЕ, Аг", приложенных к точке А. Ответ. 3А)Х 1 5 скялягпои плв Впутгвннвв пгоиэявпивии двух эвктогоз 35 й б. Свалярное плн внутремяее яроваведевке двух векторов. Его свойства 1. В $2 дано было определение геометрической суммы двух векторов к было показано, какие соображения геометрического в физического характера привели к установлению этого понятая. Окааывается, что если мы хотим соответствующим образом ввести понатве пронаведепвя двух векторов, то мы должны определить два различных действия умножения: умножение скалярное и умножение векторное.

Остановимся сначала на скалярном ироваведевпв двух векторов. Вспомнвм простейжее определение работы А, иронзводнмой постоянной силой (г на прямолинейном перемещении в пря условии, что сила составляет с перемещенном иостовнный угол а А = ресоэп Выра>канва, построенные аналогично выражению (1), встречаются очень часто в математике п физике. Поэтому представляется целесообраэньпи ввести операцию составления яэ двух векторов а в Ь выражения, аналогвчного (1). Введем поэтому следующее определение: Скалярным ияи внутренним кроиеведениаи двух векторов а и Ь навывается произведение длин обоих векторое, умноженное на косинус увял между обоими векторе.ии. Будем обозначать скалярное пронэведепке векторов а и Ь точкой, т. е.

а.Ь; итак а-Ь аЬ соз (а, Ь) Среди другнх обозначеннй скалярного произведения отметим, эак наиболее употребляемые, еще такие '. аЬ в (а, Ы) В результате скалярного умпол«ения получается скаляр, что к объясняет яазванне скалярного нроваведевия. Так, в эышеукаванном примере у нас получилось зыраженяе для работы — скалярной величины, в виде скалярного произведения вектора силы г и вектора перемещеппя э. Скалярное проваведенве векторов а а Ь положительно, эсля этв векторы составляют между собой острый угол, и отрицательно, если угол между а в Ь вЂ” тупой.

В частности а.Ь = О, если Ь перпввдякулярво а (так как тогда соз (а, Ь) = соэ фл = 0). Еслв а в Ь ямэихг одинаковое «Псвасхиее иэ укээызээиых обовээ «спиб яла скэлараого прсаэээпээия было ярэиято и првпыдущах ээвэзэпх аякса Н. К. Кочина. Одкэ««о з настоящее время сбоэаэчсээп «тс«хз« лля сиелэриыгс проиэвэпсэея векторов, т. с. з Ь, к «посол краст« ээя эсхторксгс арсэзэваэааэ зэк«орсэ, т. с.

з х Ь (опрэпвлээаэ эсаюрясго ароаээ«асима; си, слэпующэл 1 бд псхучэлв более ыироисэ рэспрострэзээае з вэщеб вэучзсб литературе, ии рва«с прапятыв сэи. волы (а, Ы лхэ «запаркою посаээвхэзэп и (э, Ь) длз зсэтсрпого прсаээехсаяэ. б* эвктознля лпгввгл гл. с направление, то соэ (а, Ь) = сов О 1, поэтому а.Ь =а6, произведению длнв обоих вектороз (отсюда ясно каименованпе всея операции умвожевкем).

В частностз а.а = а*; еелк а кан раз противоположно Ь, то сов (а, Ь) = — 1 в а Ь = — ад. 2.Посамому определению скалярное провзведеяэе ко м и у тата з по, т. е. пе меняется от перестановки множителей: а*Ь Ь.а с"руппнрув э формуле (2) разнымк способамк множителв, состазляюпже а.Ь, мы получим: а. Ь = а соэ (а, Ь) 6 авд а.Ь 6 сов(а. Ь).а 6 с (4) т. е.

скалярное нроэвведенив деря веюлоров ровно лреллеедению длины одново иввелторов на нроенвлю дррвово вектора на ноиревсение нервого. Отсссда сразу выводится д в с т р в б у т в з в о с т ь скалярного прокззедевняс а.(Ь + с) = а.Ь + а-с (5) т. е. мы имеем право перемножать почленно, как в обыкновенной алгебре. В самом деле, по теореме о проекция геометрической суммы кмеем (Ь+«)а ' де+ее (б) Очевидно далее, что склларный множитель можно змпоскть ва-под знака скалярного пропззедевпя та.нЬ = тн(а.Ь) т. е. скалярное пронаведевие а с сопя а т и в н о по отноженвю к скалярному множителю.

Составляя скалярное прокзведепне основных ортов, получим с ) = ) ° 1 Ь.Ь = 1, с ° ) ) ° 3с = Ь.с О (з) При поможи этвх бюрмул легко найти выражение а*Ь чарва координаты: а Ь = (а„с + ал) + а,)с) ° (6„$ + 6в) + 6вй) = а„6„(с ° 1) + а„д„(с,9 + а„д, (1 ° )с) + ав6» (3 1)+а„дв Ц 3 + ав6, (д ° (с) + + а,6„((с ° с) + а„6„()с Я + а,д, ()с.(с) а„д„+ о: 6„+ а,Ь, (10) умножая обе части атого уразвенкя ва о, аолучнм формулу (5), что н требовалось доказать. Таким образом, мы кмеем право раскрывать скобки. кзк в обмкковевком умножевнв, вапрамерс (а+ Ь) ° (с + д) а.с+ Ь.с+ а.д + Ь.д 1 5 ОклляРИОВ илв зпттгвиикв ЯРОиззкдзиии лвтх ВвитОРОВ 37 Так как зыражеиве а.

Ь ве зависит от координатвой системы, то выражевие а,6„+ а„6„+ а,6, иивариаятио по отяошепию но всем прямоугольным прамолквейвым коордияатвым системам. т. е, а„-6В + а;,6Р + а;6; = а„6„+ а 6„+ а,6, Эту ипвариавтвость можно проверить непосредственно по формулам (8) в (б) 1 4. Из формулы (10) легко вывести, далее, условие перпеидикуляриоств двум векторов, задаввмх своимв составляющими, а Виеиво: а,бл+а6„+и,6, О (в ) Ь) (12) получилась проекция вектора а ва ВаираВЛЕВис орта Ь Если вектор а сам есть едииичкый вектор, то скалярное произзеиевие а.! дает косинус угла между направлением вектора а в осью х. Так, вапример, выбирав за нектар а орт 1 (фиг.

20), мы вайдам, что 1 ° )и сов(х, у) = аз. Таким образом, Все девятькосияусозтаблицы44 могут быть представлекм скалариыии проиаведеииами соотзетствующих ортов. Далее, пря помощи скалярвых произведеиий очень просто зывеств формулы перехода от одпой коордвватвой системы к другой, вапример: а„= а.) (а„( + а„) + О,Ь).) = а„(1 О + ат Ц Т) + а, (Ь.Ц = а а1 -<- агб1 + а,у, <14) Аиалогвчво выводятся асе остальпые формулы преобразования составляющих вектора $4.