1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (Кочин 1965 - Векторное исчисление и начала тензорного исчисления)

Нветомсгее деемтое издание кисти акад. Н. Б. Ночиив сВвкторисв мсчислеике к качала теивориого исчислвикмв иеросечвтвко с матриц восьмого квдвким. Ответстввккмй рвдвитор вивдвммм П. Я. КО ЧИНА ПРЕДИСЛОВИЕ К СЕДЬМОМУ ИЗДАНИЮ Настоящее надавив является перепечаткой шестого издания с той разницей,.что нами иаменены обозначении скалярного н векторного проназедеввй, упрощена система знаков препинания и устранены аамеченвые ошибки и опечатки. Н. Кочина.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Настоящее пособие имеет своей целью дать изучшшцим его, главным образом студентам вузов и втуаоа, необходимые сведения по векторному исчислению для того, чтобы можно было з дальнейшем изучать векторным способом другие дисциплины, как, например, теоретвческую механику, гвдромехавику, теорию алектрячестаа. Курс снабжен болыпвм количеством задач геометрического и элементарно-механического характера, помогающих лучшему усвоению понятий п методов векторного исчисления. ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ Настоящее издашге значительно расширено по сравненвю с предьгдущвмв. В частности, в целях иллюстрации понятий векторного анализа, введен ряд примеров фиаического характера.

Основу курса составляют главы о зепториой алгебре и векторном аналиае. В третьей и четвертой главах даны основы теории аффвнных ортогональных тевзоров с првмененяем век теории упругости и основные алемевты общей теории тензоров. Н. Кочив. ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ И ШЕСТОМУ ИЗДАНИЯМ Настоящее издание почти не отличается от предыдущего; в текст внесены некоторые исправления и устранен ряд аамеченвых опечаток. П. Кочин. ГЛАВА ВЕКТОРНАЯ АЛРЕБРА ф $. Определеяве сваляра и вектора. Равеяство векторов (.

В математике и физике (в частности, в мехакике) приходится иметь дело с величипами двух родов: одни из вели шн связаны с понятием о направлении в пространстве, дру~ие же имеют чисто числовой характер и не связаны с понятием о направлении. Рассмотрим, например, температуру, массу, плотность, энергию, перемещение точки, скорость, ускорение, силу, Резкое отличие последних четырех величаи от первых четырех состоит з том, что с кими должно быть связано понятие о направлении: напрнмвр, точка может перемещаться вверх кли вниз, вперед или назад и т. д. Первые четыре величины, не свяааниые с понятием о направлении, принадлежат к классу величин, называемых с к а л я р а и и.

Остальные четыре величины, имеющие опраделенное направление, относятся к классу величин, называемых в е к т о р а м и. Рассмотрим один из скаляров — температуру, Чтобы охарактеризовать температуру воздуха в данном месте в некоторый момент, мы должны измерить температуру, например, в градусах Цельсия, полученное число (положительное или отрицательное) даст величину температуры. Точно так же мы можем измерить в соответствующих единицах массу тела, его плотность и т. д. Поэтому мы можем дать следующее определение скал яра: Скаллром наеккаеюсл ееличвна, харакюериеуюксалсл лри ембранкоа единице меры одним числом. Наиболее типичным скалярам является отвлеченное число.

Другие примеры скаляров мы уже указывали: температура, масса, плотность, энергия. Остановимся несколько на вопросе о сравнении и равенстве скаляров. Очевидно, нельзя сравнивать температуру и массу или температуру и плотность и т. д. Обе сравниваемые величнны непременно должны обладать одинаковой размерностью, т. е. единицы их меры должны быть одинаковым образом связаны с основными единицами.

В механике за основные единицы принимают единицу длины (символ Е,), едиинцу массы (символ М) и единицу времени (символ У) (вместо единицы массы в технической системе мер вводят в качестве основной единицу силь|). Тогда, Гл. Ь злктогпая ллгпнгл например, плотность будетнметь размериостьМЕ. э, ибо единица плотности есть плотность однородного тела, имеющего объем, разный единице, прн условии, что масса атого тсиа также равна единице. Поэтому, прн увеличении единицы массы, шшример, з дза раза, единица плотности также узелнчизается а даа раза; прн увеличении же единицы длины э дза раза единица плотности уменьшается э восемь раэ. Символ ЛН, ь выражает только что укаэанную вакпсимость единицы плотноста ог оспозных единиц. Два скаляра одной и яюй те ревмерности равны, если нри авмерекии их одной и той нее единицей меры лолучаютсэ одинаковьм числа.

Рассмотрим теперь один иэ векторов — скорость точки. оказания величины скорости, измеренной, скажек, з сантиметрах з секунду, недостаточно для характеристики скорости. Нужно еще задать напразлепяе дкижения точки. Точно так же имеют определенное направление и ускоренна точки и сила, дейстзуюшаа на накоторую материальную точку. Дадим поэтому следующее определение: Векторам наэьмается величина, хароктериеукчцаяся, номкио ивиерлюи)ево ее е онределеннмх единицах мери числа, мцв своим нанраелениач е пространстве. Как простейшим скалярам яяляется отвлеченное число.

так простейшим зентором является прямолинейный отрезок АВ, имеющий определенную зеличпну — длину АВ н определенное напразление — от начальной точки А к конечной точке В. Мы уже укааызали другие примеры векторов: перемещение точки, ускорение, сила. Каждому такому вектору можно сопоставить прямолинейный отрезок, имеющий направление рассматризаемого авктора н длину, разную численному значению нектара (отложенному з некотором масштабе). Численное значение веюкора навмеается величиной, моду.мм или длиной вектора. На чертежах зекторы обозначаютск стрелкамн (фиг. $). Напраэлепие Г стрелки укааызает па напразлепие эектора, длина стрелки даат длину вектора.

с Обычно векторы обозначаются жирными готнческима или латинскими буквами. Иногда мы будам обоФэг. 1 значать вектор, начальная точка которого есть А, а конечная — В, симзолом АВ. Длину вектора, т. е. его чисиенную величину, мы будем обозначать теми же курснзными буквами: а, А, АВ пли же будем пользоваться эааком модуля: )а) = а, )А) = А, )АВ~ = АВ 2. Перейдем к запросу о сравнении и разепстзе зекторое. Сразкнзаемые секторы должаы обладать одной и той же размерностью, например, нельзя сразпнзать силу со скоростью, и т.

и. опгвдщхвкнв смаляга и Вммгога Два вектора а и Ь. обеадаюи)ив одной и вюй нее раанврностью, ми будаи считать равнььии, если они клеют одно и то лес направление и одну и ту же длину. Равенство двух векторов а н Ь мы будем обозначать следуюпшм образом: а Ь Таким образом, если два вектора имеют неодинаковую длину кли неодинаковое направленно, они не могут быть равными. Возымев какой-нибудь параллелограмм н снабдим две протнвополож вые стороны его одним и тем же направлением; полученные векторы будут, Ьо вашему определению, равнымн; таким образом, положение начальной точки вектора для нас роли не играет.

Легко видеть, что для численного аадання вектора нужно указать три числа. В самом деле, одным числом нужно задать величину вектора к двумя числами его направление (например в астрономии направленые ка небесное светило определяют, указывая: 1) азимут и высоту нлв 2) прямое восхождение н скломенне кли 3) долготу и широту светила). Равенство двух векторов сзоднтся к равенству попарно трех чисел, зтя векторы определяющих. Таким образом, одно векторное равенство равносильно трек скалярным.

3, Отметим, что различают векторы трех родов: с в о б о д н ы е, передвижные и определеннме векторы. Введенные нами векторы относнтся м типу свободных, там как точку нх првложенкя можно выбирать по произволу. У передвнжных векторов точку приложения вектора можно перемещать произвольно вдоль самого вектора, так что последний может лежать на любой части определенной прямой.

Примером передвижного вектора является свла, приложенная к твердому телу, там как за точку пркложення силы можно взять любую точку на линии действия силы. Наконец. у определенных векторов точка приложеввя вектора должна быль эафвкснрована. Так, например, при рассмотренкк движения жидкости за точку пряложения силы, действующей на какую либо частяпу жкдкостк, првнимается некоторая точка самой частицы. Изучение передвижных и определенювх векторов сводится к нэучещпо свободных зектороэ, почему достаточно ограничиться рассмотрением только последних.

В фнзнке приходится рассматривать еще велнчкны тоже направлекного характера, но более сложного, чем векторы, строения. Этн велнчины называются т е и з о р а и к. Определенна нх будет дано в главе 1П. Сейчас укажем только нескольмо примеров: распределение моментов инерции относительно разлкчкых осей, проходящих через некоторую точку твердого тела, првводкт к понвткю тензора моментов инерции; распределение напряжений на раалнчно направленные злементм в некоторой точке упругого тела прнводкт к поняткю тензора упругих напряжений к т. д.. Наконец, в главе )т будет дано еще более общее определенна.

' Ввктогпья Алгввгл 4. Скаляры, векторы и тенэоры являются объектами, иэучаемыми в векторном исчислении. Как всякое исчисление, векторное исчисление должно ввести ряд операций с векторами в тенэорами, как например сложение, умножение, дифференцирование, и изучить эти операции. Эти операция сяределвются таким абрагом, чтобы при их помощи легко было ннтерпретнровать те комбинации векторов, которме приходитсв научать в математике, механике и финике.

Хак, например, в физике очень часто встречается правило параллелограмма: параллелограмм скоростей, сил и т. д. Этому правилу отвечает операция сложения векторов, которая будет рассмотрена в следующем параграфе. В результате как основные элементы векторного исчислвпив — вектор и тенэор, так и операции с этими элемеитами, окаэыааются хороэю присаособленвымв для научения тех геометрических, механпческих и фвэичаских явлений, в котормх большую роль играет направление величин; понтону применение векторного всчислевпя для научения таких явлений, с одной стороны, упрощает исследование, в с другой стороны, ведет его более естественным и наглядным обраэом, ве требуя введения посторонних элементов, как это имеет место в обычном методе координат.