1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (Кочин 1965 - Векторное исчисление и начала тензорного исчисления), страница 2

ф 2. Сложение, вычитание н раэложвиве векторов. Умножение аептора ив ттлвр. Едмввчвые векторы 1. Чтобы подойти к понятию суммы двух векторов в и Ь, рассмотрим, что будет с некоторой точкой Р, совершающей последовательно одно эа другам два перемещении, представляемые векторами в и Ь. Первое перемощение переведет нашу то шу пэ начального положения А (фиг. 2) в положенве В (пря„ч молииейпый отреэок АВ есть вектор а, т. е.

,ь" Ь с' АВ ад второе перемещение переведет расе сматриваемую точку ие положепяя В в полов жанне С, такое, что ВС = Ь. В реэультате точка перейдет иэ А в С. Перемещение АС Фкг. 2 определяет ввптор с, которыв естественно назвать суммой векторов а и Ь. Отсюда вытекает слодующее определение: Чтобм нолучить вектор с, представллювсиб сеолвтрыческую сумму двух векторов а и Ь, надо от проаввольноа точки А пространства отлоасить вектор в, к копну еео приложить начало вектора Ь и соединить точку А с концом С вектора Ь, тогда АС гю величине и напуавленаю п реомквглвегк е Для обоэвачевия операции сложения менторов польеуются обыкновенным эваком алгебраического сложения: с = в+ Ь $ х сложвпяв.

Вычгггаппв и Ркэложвпнв Ввв'гогов н Векторыаи Ь кавываются слагаемыми векторами, вактор с— геометрической суммой плв реэу летн ру ющнм вектором. Ив фиг. 3 видно, что сумма двух в е к т о р о в а п Ь являетсв диагональю параллелограмма, построенного па слагаемых векторах а я Ь. Отсюда сраэу вытекает .формула о о а+Ь =Ь+а (2) выражающая ксммутатиекость (т.

ксрсмгститглькость) таигтричгского сложенил: егомстричсскол сумма ке мскжт- л о Ю сл от ксргстаногки сланыммк. Фиг. 3 Мы останавливаемся на этом простом свойстве геометрической суммы потому, что некоторые окерацпи вектор- кого исчисления таким свойством не обладают. Чтобы обравовать сумму трех векторов а, Ь и с, мы складываем сначала а с Ь п к рееультарующему вектору прибавляем с, окончательно получаем (фнг.

4) вектор лШ; нэ чертежа очевидно, что тот же самый реэультат получится, если к а прибавить сумму Ь+ с, таким образом имеем формулу (- Ь) + с = а + (Ь + с) = а + " + Р выражающую ассоциатиг косгкь) юаистричсского слотчкиги г ггакстричгской ~акис скобки можно раскригать и ггодита как г обмккогсккой алгебре.

Для сложения трех в болев векторов полу- чается талям образом правило многоугольника л к векторов: надо иослсдогатслько отлозсить г лю- бам коробке аекторм ам нг,..., а» амгмяргк Фвг. а начало каждого слефящлго с концом ирадидучцсго, и обрагогать ньимкаккцую линию иску»сякой. ломакой ликии, ггдл сс от качмла кгргоео гектора к юнцу гислгдягго. Ие поммутатпвкости и ассоциативности сложыпя вытекает, что мы можем складывать векторы в любом порядке, в частности можем ааменать любое количество ях соответствующем реэультпрующям вектором.

Отметим особо правило сложения трех векторов, не леясащнх в одной плоскости: геометрическая сумма таких трех векторов нэображается диагональю параллелепппеда, построенного на даннмх'трех векторах, как на ребрах. Так например, на фиг. 8 вектор ОЮ равен геометрической сумме векторов ОК, ОЕ, к Оаг.

2. Перейдем к вычптаняю векторов. Рассмотрим тот частный случай сложення двух векторов а н Ь, когда ревультнрующкй вентор сведется. в точку, т. е. обратятся в нуль (фнг. 5)г а+ Ь = О Ввктогнзя ьзгзкгь Очевидно, в этом случае вектор Ь равен по величине, но противоположен по направлению вектору а. Если бы с уравнением (4) можно было поступать по правилам обмчиой алгебры, то мы легко вывели бм, что (5) В соответствии с этим нод ееюнорак — в лм будем лонккоть вектор, нротквоноеожнын а, иь е. ровный но еееичвне, но иротивоноеожниз ко наврав ынзю ввкзюру в.

Вычвтаняе, квк действие, обратное сложению, Фт. З определяется следующим образом: вектор х = а — Ь называется разностью векторов а в Ь, если сумма х и Ь дает зо (6) Прибавляя к обеим частям этого уравнения вектор — Ь, мы получим: а — Ь к=а+( — Ь) Таким обравом, чтобы вмиеть ие вектора а вектор Ь, надо крибавить к веюкору а ееювор — Ь, нротивоноложный векто)не Ь. Иначе можно получить вектор а — Ь следующим образом: отложив оба вектора а и Ь ст общего начала О, проведем вектор нз ковда В вектора Ь к концу А вектора в Ю з Г (Ьиг.

6), зто и будет а — Ь. В самом деле: В.4 ВО+ 0.4 =- — Ъ+ в Таким образом, в параллелограмме, по о о А строенном на а н Ь (фкг. 6), одна диаго- Фкг. С валь представляет сумму векторов а и Ь, другая — их разность. 3. Нужно отметить, что правило параллелограмма для геометрического сложения векторов ограничивает область направленных величин, которые мы можем назвать векторами. Например, вращение твердого тела около некоторой оси на ковечньгй угол может быть представлено направленным отрезком, но зто ве будет вектор, ибо два последовательных вращения около разных осей складываются (как докэзывзетсв в кинематике) не по правилу параллелограмма, а по более сложному аакову.

Это объясняется тем, что направленная величина, представляющая поворот твердого тела ва конечный угол около некоторой оси, является тенэором, т. е. величиной более слоя'ного характера, нежели вектор. Напротив, бесконечно малые вращения могут быть представлены векторами, ибо для них правило параллелограмма справедливо, так же как для сил, скоростей и т.д. спожвиив. вычитании и гкепожвпив евктозов ы Таким образом, точнее бмяо бы опредеяить еетнор как еаеичину.

характеризузтиуюсв сзопн числензпьи значением, своим направлением е нространстзс и подчинлпнауюся проси.зу геометрического сложения. Действием, обратпым геометрическому сложению, явяяетсв, помимо геометрического вм озтапая, еще геометрическое разложение, состояогж е тан, что данный вектор зпненяют )нюней ему мьинвй нескозькия зекторое. Геометрически вто сводится к построению ломаной явиии, имеющей даппый вектор замыкающей стороной.

Очевидно, задача в таком виде имеет веопредеяеппый характер и надо пвпожать ка геометрические слагаемые ряд условий, чтобы сделать задачу опредеяеппой. Важнейшие скучая раахожепия мы сейчас и рассмотрим, ио предваритеяьпо остаповимсн па вопросе об умножении вектора па скаяяр. 4. Пусть мы имеем вектор а; умножить его па целое покожитеяьиое число т — екачкт сложить между собою т векторов, равных а; в ревуны тате, очвеидпо, получится вектор Ь, имеющий то же иаправяевие, что и а, ко по дяиие в т рав больший: Ь=та=ат, у=та (8) Отсюда мопгяо вывести, что при зсююм ноложитаеьнсм т .ет балясин принимать за сектор та вектор длины та, инаае(ий то же поправление, ояо и а.

Раньше мы уже опредеяипи умиожешю вектора а па — 1; вто есть вектор, противоположный а; поэтому при умножении а на отрицатазы нос число т мм получаем сектор длины ( т ) а, параллельный а, но имеюоЗий противоположное наврапзенпе. Ив етих опредеяеиий иепосредстввкио вытекает справедливость сяедующих формул: (т + и) а = та + на т (па) = (тн) а = я (та) (10) Если умножить два вектора а и Ь па т и потом скатить, то получится рееуяьтат, одинаковый с тем, который мы получили бы, если бы сначала сложили а и Ь, а потом умножили па т: тв + тЬ = т (а + Ь) В атом выражается дистрибутивный (распределизпзлмгмй) закон умно- женил вектора на своляр: свобки мовена раскрывать, «ак е обыкновенной алгебре.

Дяя доказательства достаточно представить себе геометрический смысл уравнения (11). которое вмражает, что есяи мы намекам па фиг. 2 стороиы з~АВС в отношении вз, то ие пояучеивых векторов составится новый треугояьпик, подобный данному. Формула (11), очевидно, справедяива и двя иескояьпих векторов та,+тп +...-(-тв, т(а,+аз+...+а„) (12) ВВКГОРНАЯ АЛГВБРА 5. Только что рассмотренные нами векторы а и Ь: Ь ша (1 5) д Фвг.

7 В формуле (14) разделены два элемента, характеризующие вектор: его длина а и его направление ам б. Если векторы в и Ь не коллинеарны, то вектор с =ша+яЬ (15) параллелен плоскости, определяемой векторами а и Ь, ибо геометра ческая сумма векторов, лежащих в одной плоскости, лежит в той же плоскости. Ветомслучаеговорят,что векторы а,Ьвс компланариы, т.е. параллельны одной плоскости. Обратно, всякий вектор с, компланарный двум неколлинеарным векторам а и Ь, может быть представлен формулой (15). Для доказательства отложим все три вектора а, Ь и с от общего начала О (фиг. 7) и проведем через конец С вектора с прямые СР и СК, параллельные векторам а и Ь; тогда с представится каи геометрическая сумма двух векторов, колликеарвых соответственно векторам а в Ь, т.

е. разных ша я аЬ. В результате получается разложение (15). Это разложение единственное. так как если бы иы имели два разложения: с ша+ яЬ е = ш'а + в'Ь то, вычитая нижнее равенство не верхнего, мы получилв бы О (ш — ш') а + (в — я') Ы Отсюда напр ем евно в1 — ш' О, в — в'=0 параллельны между собой; такие векторы называютса также коллинеарными, Обратно, всякий вектор Ь может быть выражен через коллввеарный вектор а по формуле (13), где ш — скалярный множитель, представляющвй отношение длвн векторов Ь и а, ввятое со знаком плюс или минус, смотря по тому, вмеют ли векторы а и Ь одинаковое напрезсгевие вли яак рзе противоположное. Особенно важен частный случай, когда один иа коллииеарпых векторов имеет длину, равную единице. Такие векторы называются е д и н в ч- С ными векторами или ортами.

,лЬ Орт вектора а часто обозначают через а„ / указывая значком 1, гго вектор а, есть с Ь единичный. Тогда для всякого вектора а е А будем иметь: Е м — — = —- а аа, (14) сложвннв. зычмтзнив в Разложвнйв Ввктогов гз т, е. т = щ', а = в'. В самом деле, если бы, например, щ — щ чь О, то, решая уравневве (16) относительно а, мы напшв бы з — в' а= — —,Ь УФ вЂ” Ш' т. е. а был бы коллинеарен с Ь, что противоречит предположению.