1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (Кочин 1965 - Векторное исчисление и начала тензорного исчисления), страница 8

Возьмем теперь произвольную точку М (г) иа сфере, так что г.г = аз Составим зыражеиия для МР' в МО'. МР" = (г — Ха)*(г — Ха) = г.г — 2да.г + Ь'а.а = а' — 2йа.г+ ьзаз МОз = (г — — а) ° (г — —. а) = г г — 2 — а-с+Па.а = Х = а — 2 — а.г -)- — аз з ьз Очевидно. МР' = ХзМ0з, так что МР = ХМД, что и требовалось доказать. 3 а д а ч а 41. Какой угол составляют между собой два вектора: а = 1 + ) — 4Ь, Ь = 1 — 21 + 2Ь Ответ. 135'. 3 а д а ч а 43.

Какой угол составляют между собой два вектора а и Ь, если известка, что вектор а+ ЗЬ перпевдикуляреи вектору Та — 5Ь, а зактор а — 4Ь перпевдикулярев вектору 7а — 2Ь? Ответ. 60'. 3 а д а за 48. Пусть г есть радиус-вектор точки з плоскости. Канав кривая выражается ураввевием г. (г — 2а) = 07 Какое свойство атой кривой вытекает иепосредствеико яз только что ваписавиого ураввеииа крввойр О т в е т. Окружиостта вписавиый в окружиость угол, опирающийся на диаметр, есть прямой. 3 а д а ч а 44. Доказать, что если Л, В, С вЂ” зершииы треугольника, Р— точка пересечевия его медкам, а Π— какая-либо точка, то имеет место тождество АВз + ВС' + САз + 90Рз = 3 (ОАз — ОВ' + ОСз) 3 а д а за 45.

Доказать, что если А, В, С вЂ” вершины треугольника, А', В', С' — середины противоположных старом (фиг, 10) и Π— какая- либо точка, то имеет место тождество АВ' з- ВСз + СА' + 4 ((ОА')з + (ОВ')з -(- (ОС')г) 4 (ОАз-3-ОВз + ОСз). зпктогн*я Аэггпегэ гл. г й 6. Векторное влв вмешкее провзведенве двул. векторов. Изображювне плопщдей векторамн. Вектор замкнутой поверхности. Свойства векторного произведения.

Полярные в акспваьвые векторы. Прппожемпя и статщю и юввемвтике $. В предыдущем параграфе мы рассмотрели скалярное умножение двух векторов. Теперь мы рассмотрим эакторное умножевие двух гекторов, э рвэулътате которого получается новый вектор, К необходимости рассматривать такую операцию приводят требование геометрического в физического характера. Например, вспомним определанна момента относительно качала координат О силы г, прнложенвой к точке Р, характеризуемой радиусомеектороч г,это есть вектор, разный по величине площади параллелограмма, построенного на векторах г и г', к направленный по перпендикуляру к этой площади. Вектор, таким образом составленный из г а Р, а пазы застоя векторным произведением г и Р. Дадим более точное определение.

Векторнмэа или внеюнвн нроигвсдениен двух векторое а и Ь нагмваетск веюнор, но величине равный клоитди кароллелогрельиа, настроенного на веюкорох а и Ь, кернендикуларнмй клоскости этих векторов и навравленнмй в такую сторону, чтобм вращение огк а к Ь на кратчейвмн лущи вокруг колу миноге вектора нроисходи«ю е ту хсе сторону, как сражение от оси х к оси у вокруг оси э. Если выбрать левую систему координат, то нужно вращать ось х вокруг оси г по часовой стрелке, чтобы с--,т соамествть ее с осъю у.

Поэтому эакторное произведение векторов а а Ь нужно направлять в такую сторону, чтоь бы, глядя оттуда, видеть вектор а слева от Ь, т. е. переход от а к Ь видеть сосершаюпшмсв по часовой стрелка (фвг. 27). Если же полъэозатъса правой системой коорди- Ю г Ст Наг, Е КОтОРОй ЭРаимпнг От ОСП Х К ОСВ У На КРатЧай- шем путе вокруг оси с происходит против часовой стрелки, то эекторное произведение ввктороз е и Ь прилетов направить з противоположную сторону, как покааывает фиг.

27. Будем обозначать векторное провэведавие а в Ь косым крестом. т. е. е ахЬ Из других обозначений наиболее употребитвльиы [аЬ), (а, Ь). Длина вектора е по определению раева с = одг(п(а, Ь) (2) Отсюда сразу же можно вывести, что при параллелъиости а н Ь векторное произведение а ва Ь равно нулю; ахЬ О (а (( Ь) екитогпок илп кпащиак огопзакпкпик пати акптогоз 4$ В частвоста всегда аха =О (4) Напротив, если а парпевдикулярво Ь. то е аб 2. От перестановки еанножитеяеи векторное провождение меняет оюл знак.

Ьха = — ахЬ (е) ибо зеличипа параллалограмма и его плоскость ве меняются, щщразлевяе же произведения мы должвы измевить ва прямо протваополощиое. Таким .образам. векторное произведение некаимутатиено. Далев, зекторвоа произзедевие а с с о ц и а т в з и о по отвошепвю к свалярвому мпожателю, т. е. сиалярвый множитель можво выносить аз-под зваиа аекторвого пропзаадевия: (ах Ь) Ь 17) при положительном т зта формула очевидна, пбо ова выражает, тго вра уиалпчевип одной егоровы параллелограмма з т раз площадь параллалограмма тоже увеличится з т раз.

Чтобы убедиться к спразадлазоств формулы (7) для случая отрпцательпого т, достаточно обратить квимавие ва то, что пра изменении апапа одного яз мвожгггелей велвчвва аакториою произзедевиа остаегся веизмеввой, вапраалевие же этого произзедеппя мавяетса ва прямо протпкоположвое. Тепарь мы докажем д петр и бутик- Ь пасть ззкторвого произаедев и я, т. а. формулу: ах(Ь+ о) ахЬ+ ахс (й) щаг.

28 Для доказательстза разложим векторы Ь и с па дка состааляющва, параллельво и перпепдппулярво аептору а: Ь = та + Ь' (Ь' ( а) с = па + о' (с' ) а) (9) тогда Ь + с тоща разложится ва дке состакляютцие; Ь + е = (т + п) а + (Ь' + с') (Ь' + е' ( а) (19) Заметим тепарь, что ахЬ = ахЬ' (11) ибо площадь параллелограмма, построеввого иа а и Ь, рааиа площади иряиоугольвика, построенного иа а и Ь' (фпг. 28).

Точво так же ахс = ах с', ах(Ь + с) = ах(Ь' + с') (12) Вкитаэнля Алгкегк Гл. 1 Но нетрудно покааать, что ах(Ь' + с') = вхЬ'+ ахс' (13) вбо, если выбрать, например, левую систему координат в если вектор а. перпендикулярный к фиг. 29, выполненной в плоскости векторов Ь' в с', направлен от черюжа вперед к нам, то векторное произведение а х Ь' будет представляться отрезком длины аЬ', повернутым ва 90' по часовой стрелке. Таким образом, весь параллелограмм, построенный ва Ь' н е', поворачивается ва 90' в удлиняется в отношении а, а тав как при этом диагональ продолжает оставаться геометрической суммой сторон параллелограмма,тополучается соот Ь' ношение (13). В силу равенств (11) в (12) это со- отношение равносильно (8).

ос 3. Приведем другое доказательство формулы ь (8), для чего покажем сначала, как можно прн с помощи векторов изображать ве только направленные отрезки, во к направленные площади. Такая площадь только что встретилась нам в аиде параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, причем был существен порядок, Фвг 25 в, котором следовали векторы а в Ь. Отклады- вая сначала вектор а, а потом Ь, мы получаем определенное направление. контура параллелограмма (фиг. 27); этот парзллалограмм мы иаобразнли вектором с.

Мм будем всякую клоиргдку о, на контуре которой задано нанравлснвв обхода, изображать ввктораи, длина которого равна ялов(ади нлои1адка, а наяравлвнив совладает с наиравлвниаи яоложитгльной нормами к илогяадкс. При атом положительной нормалью к площадке называется перпендккулнр, восставленный к площадке и направленный в ту сторону, откуда обход по контуру кажется совершающимся по часовой стрелке, если выбрана левая систама координат, и против часовой стрелки, если шгбрана правая систеиа. Иначе зто можно выскааать следующим образом: бу- 4 деэг ввинчивать з площадку винт, вращан его в направлении обхода контура, тогда ок будет перемещатъся и поступательно в направлении положительной нормали к плоиждке, если только полъзоватъся при левой системе ко- 5 ординат винтом с левой нарезкой, а в правой скстегю винтом с правой нарезкой вла буравчиком.

Фиг. 50 Ь(ы будем обоаначать вектор, изображающий площадку Ю, через 3 или Яв, понимая под и — единичный вектор, направленный по положительной нормали (фиг. 30). Далъпю мы несколько остановимся на свойствах векторов такого рода. вкктогнои илв внвшнвв пгоизввдвнив датх ввктогов Докажем теперь сведующую теорему; провизия неоиязди Я, изображаемая сектором Б, на какую;еибо плоскость Р может быть аеоброскена сектором, леелюсакися проекяиея вектора 8 на перпендикуляр ни юсносгпи Р. Пусть плоскоств Ю в Р составляют между собой угол а (фпг.

31); обозначим линию вх пересеченвя через КК'. Рассмотрим прямоугольник АВСР, две стороны которого АВ п СР параллельны прямой КХ', а две другие стороны АР в ВС перпендикулярны КХ'. Этот прямоугольник спроектируется з прямоугольник А' В' С' Р', дае стороны которого А'В'=С'Р' будут равны АВ = СР, две же другие стороны, очевидно, уьмньшатся, а именно: А'Р' = В'С' =. АР соз а = ВС соз а Фзг.

Зь Позтому площадь сЖ четырехугольника АВСР спроактируется з площадь Ю' = Ы соз а. Л отсюда следует, что проекция 8' асей площади Л равна 8' = Ю соз а, так как площадь Я можно составить из большого числа прямоугольников вида АВСР со сторонами, параллельными и иерпендикулярнымк к КХ', каждый из которых будет при проеитировавии уменьшаться в отношении соса. Спроектируем с другой стороны вектор Б (на фиг. 31 принята левая система координат) на перпендивуляр к плоскости Р. Так кан угол между перпендикулярами, к плоскостям д и Р равен углу между самими плоскостямн, т. е, а, то проекпдя Б ва перпендикуляр к плоскости Р равна Л соз а, т.

е. величине площади Я'. С другой стороны, из чертежа видно, что проекция 8 на перпендикуляр к Р, рассматриваемая наи вектор, является положительной нормалью для К'. Поэтому Ю' может быть представлена проекцией 8 на нормаль к Р, что в требовалось доказать. Возьмем теперь какую-нибудь многогранную поверхность 8, на контуре которой задано определенное направление обхода. Приведем з соответствие каждой грана Яи Юь, ..., Кк атой поверхности изображающий ее вектор Б„ Б„ ..., 8„, причем направление ноложительного обхода кендой грани определяем иа направления обхода всей поверхности. Сумму еекторое 81 + Бс + ....+ Б„мы будем 'считать ееюнором, предстаеаюосоим нату мкогогранную ноеерзность. Если поверхность аамкнута, то аа положительное направление нормали к каждой грани мы будем принимать направление внешней нормали.

Если мы имеем дело с кривой поверхностью, на контуре которой задано какое-нибудь направление, то мы можем определить предстаз- гл 1 ВкктоРнья элгзвРл лз ляюшнй зту поверхность вектор следующим обрааом. Впишем в дакную поверхность многогранную поверхность с очень малыми гранями, определим для нее представляющий ее вектор и перейдем к пределу, устремляя зсе грани к нулю; полученный вектор и называется вектором данной поверхности. 4. Докажем теперь важную теорему: Векглср аьвкнутсп иоеерхнсстп всегда разек нулю.

Докажем теорему сначала длв тетраэдра. У л Достаточно доказать, что любая проекции века) тора поверхности тетравдра равна нулю. Спроектируем его на какую-нибудь плоскость, например, плоскость ху, в проекции мы получим треугольный (фиг. 32, с) яли четырехугольный контур (фиг. 32, Ь). В Каждый треугольник проекции представляется вектором, заправленвтил по положительной ялв Ю отрицательной осв ь смотря по тому, составляет ф .зт Фвг. ли внешняя нормаль к той грани, проекпня которой рассматрнваетсв, с осью г острый илв тупой угол.