1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (Кочин 1965 - Векторное исчисление и начала тензорного исчисления), страница 10

Зто и нызывает то различие в поведении состапляющвх вектора, которое было выше укааапо. Значение различия между аксиальиыми а полярника векторамв состоит в том, что, подобно тому кан складывать, вычитать в прирагпивать можпо только величины одинаковой разыерпости, так точно векторы равного рода ке могут быть складынаеыы или »развиваемы. В самом деле, виаче при переходе от левой системы координат к правой составляющие пеиотормх членов суммы плв равенства язмеимаи бы свой апак иа обратпый, а тгг времн как другие члены сохранили бы его, при этом значение суммы изменилось бы, а равенство нарушилось.

Оказывается, что и скаляры, подобно гюатораы, задо делить па две группы: скаляры первого рода, пли просто сналяры, и сиаляры второго рода плв псевдоскаляры. Все величины скалярного характера, получающиеся в реаультате измереиие какого-либо физического объекта, например масса, температура и т. д.. являются скалярамп первого рода; папротвв, некоторые па выражепий. получающихся в Результате математических операций иад векторамв, ввктогная алгввгь могут наменять свои знак на обратный при переходе от левой системы к правой влн от правов системы в левой. Такие величины называются псевдоскалярамн.

Так, например, скалярное произведение полярного и аксиальвого векторов является псевдоскаляром. 8. Мы укаеываля в самом начале атого параграфа, что момент силы Р относительно начала координат О есть гхР, где г есть радиус-вектор точки аряложення силы. Обоаначая момент силы Р относительно точки 0 символом яее (Р), будем поэтому иметь ж,(Г) = гхР (25) В статике доказывается, что силу.

приложенную к твердому телу, можно, не взмевяя ее действия на твердое тело, переносить вдоль липин ее действия (иными словами, сила, приложенная к твердому телу, есть передвижной вектор). Докажем, что при таком переносе момент силы не меняется. В самом деле, пусть радиус-вектор новой точки приложения силы есть г' (фиг. 34), так как мы можем переносить точку приложения силы только вдоль самой силы, то вектор г' — г г должен быть коллинеарен с Р, так что Вычислим новым момент г'х Р=(г+ ьГ)х Р = гх Г+ )(Рх Р) =гх Р с Видим, что момент не изменился, Докажем теорему Варнньона: момент от- носительно какой-нибудь точки О равнодойстауюпюй двум свл Р, и Рм првложенныл в одной и тов же точке, равен сумме моментов этих сил.

Если О выбрать аа начало координат я обозначить радиус-вектор точки приложения силы черев г, то теорема явится непосредственным следствием формулы (26) гх(Г, + Г) = гх Г~ + гхР, Рассмотрим систему сил Г,, Г,..., Р, приложенных к твердому телу. Геометрическая сумма этна сил называется главным вектором сал: В Р, + Ре +... + Г„ (22) Геометрическая сумма моментов данных сил относительно точки О наэывается главным моментом системы сил относительно точки О: (28) Ь = г, х Р, + г, х Р, +...

+ г„х Г„ где г„г,..., г„— радиусы-векторы точек приложения сил Г„Рь,..., Р„ относительно точки О. э С ввктогнов илв внвшнвк пгоиэвкдвнни пвтх ввктогов ЭЭ Изучим, как вамекяется главный момент спстеэпэ сил при рааивчном выборе точки О. Воэьмем точку С, радиус-вектор которов есть г„в вычислим главный момент системы относительно точки С; радиусы-векторы точек приложения снл относительно точки С суть очеввдно г~' г, — г„гэ' гэ — г„..., г„= г„— г, Поэтому е,=г, хр,+...+г„'хр» (г,— г,)хр,+...+(г„— гйхр„ г1 х Р, + .. + г„х Р» — г,х р, —... — г,х р» = (ч — г»х (Е +... + Р») )» — (г,х К) Если К О, т. е.

главный вектор системы сил равен нулю, то Ь,= )ч, т г. главный момент системы в етом случае постоянен. Если же В не равно пулю, то главный момент системы опредэляетсв для любой точки С по формуле (29). Докажем. что скалярное проневедекне Ь» Н есть величина постоянная. В самом деле, Ь..В = )ч  — (г,х Е).й Но так кав г,х В перпендикулярно к В, а скалярное провэведение двух перпендикулярных векторов равна пулю, то (30) Что в требовалось доканать. Главный вектор системы Й в скалярное провэведение э ° й нааываютс» статическими инвариаптами системы, потомучто овв ве эависят от того, какая точка О выбирается эа основную.

Найдем составляющие главного вектора в главного момента: Н» = Х, + ... + Х„ В„ = У, + ... + У. )г, = Я, ~-... -(- Я„ Е»„= (у,Я, — э,У1) +... + (у„߄— э»У„) (ээ (э~Х~ — л~Яг) +... + (э Х» г»Е») Ьэ, = (э,У, — у,Х,) +... + (л„ӄ— у»Х») $...Н = С И. + У.,„Нг+ Ь~Л, 9. Другое важное приложение векторного произведения свяаано с выражением для скорости точек твердого тела, вращающегося около некоторой оси. Вв!«Тоги«я «лгввг« Гл!. Пусть твердое тело вращается около оси ОА (фиг.

35). Возьмем какую- нибудь точку М твердого тела; прк вращении твердого тела ага точка будет описывать окружность, лежащую з плоскости, перпендикулярной к оси вращения, н нмеюшую свой центр Р на оси вращения. За время 3«! радиус РМ повернется на угол ЬВ и точка М опишет путь РМ !«В, скорость же точки М будет равна г = Иш =РМ-м РМ ЬВ ««- и будет направлена по перпендикуляру к РМ Величина а« = Иш— зВ ы «л! называется угловой скоростью вращения тела.

Отложим от точки О вектор и, равный но величяне и и направленный по прямой ОА в ту сторону, откуда вращение кажется совершаюшимая по часовой стрелке, сали выбрана левая системз координат, и против часовой стрелки, еслк выбрана правая сиатема; назовем этот вектор вектором угловой скорости. Обозначим далее через г радиус-вектор точки М относительно какой-нибудь точки О оск вращения и составим векторное произведекне м х г. Величина его равна мг мп (АОМ) м РМ ч, направление же перпендикулярно к ОА и ОМ и притом оно направлено так же, как ч, так как, глядя с конца вектора ч, мы видим и слева от г прн выборе левой системы координат н справа от г при амбаре правой. Таким образом м Х г совпадает с ч как по величине, так и по направлению, т.

е. ч = м х г (32) Напишем составляющее скорости любав точки М: сз = мчх м«у вз м«я мхз (33) мгу мчх Если твердое тело принимает участие одновременно в нескольких врал!синях около разных осей, проходящих через одну и ту же точку О, причем векторы угловых скоростей суть и„ мм ...,и« (првмер — гироскоп), то составные скорости точки М будут ч,=-м,хг, ч,=м,хг,..., ч„=м„хг Так как скорость составного двнженкя равна геометрической сумме скоростей составляюпщх движений, то ч=ч«+ч«+...+ч«=м«хг+...+з«хг=(м!+...+м)хг=юхг зде поло«кено (34) и = м, +...

+ и„ явнтогнов или внкшнвв нгоизввдвннв двтх ввнтогов 57 Подучили теорему сложения угловых скоростей: есла твердое тело принимает участив в ряде вращений около точки О, то оно вращается с угловой скоростью и, разной геометрической сумме угаовых скоростей данных вращений.

3 а да ч а 43. Доказать, что (ахЬ) ° (ахЬ) + (а.Ь)' а'Ь' В самом деле, (ахЬ)' — а'Ь*з!в'(а, Ь), (а Ь)з =агЬ'сочз(а. Ь) Складывая зтн два равенства, получим требуемый результат. Введя составляющие векторов а и Ь, мы получим следующее алгебраическое тождество, часто встречающееся и известное лод именем тождества ЭйлерачЛагранжа: (азЬ, — а,Ьг)з + (а,6„— а„Ьг)г + (а„܄— а„Ь )з + (а„Ь„+ а Ь„+ а,Ь,)г = - (,. + „+;) (Ь„+ Ь„+ Ь,з) (35) 3 а д а ч а 4у. Вычислить (а + Ь) х (а — Ь) (а+ Ь) х(а — Ь) = аха+ Ьха — ахЬ вЂ” ЬхЬ = — 2ахЬ Геометрический смысл етого равенства состоит в том, что плогцадь параллелограмма, построенного на диагоналях параллелограмма, в два раза балыке площади самого параллелограмма.

Зада та 43. Найти формулу для з!п(а+ 3). Рассмотрим векторное щюизведение двух единичных векторов а и Ь. лежащих в алоскости яу (фиг. 25) н составляющих с осью я соответстзеяно углы а н д. Непосредственное определение ах Ь дает — з!и (а+ й) )г; вычисляя с другой стороны г-ую координату ах Ь через составляюпще векторов а и Ь, найдем (ах Ь), = а„Ьг — а„Ь = — соз а з!в д — и!д а соз й = = — (з(в а соз д + соз а з!л р) Сравнивая зтв дза выражения, найдем требуемую формулу: з!п(а+3) = з!васозд+ совая!вд 3 а д а ч а 49.

Пусть вершины АВС треугольника задавят своими радиусами-векторами А (г,), В (гз), С (тай Найти вектор В, представляю~ций треугольную ллопщдку АВС, иа которой аадано направление обходя контура от .4 к В н от В к С. Так как АВ = г, — гд, ВС = гз — г„то искомый вектор есть 1 1 1 1 8 = - (г — г1) х (гз гз) = — гзхгз 'уг1хгз — угзхгз+ уг1 хгз =- г 2 1 — (гзХг, + гзХгг+ г,Хгз) Гл.

1 ввктогиая Аззгивга За да ча 40. Найти уравнение прямой, проходящей через М, (гд в параллельной даввому вектору а. Если радиус-вектор какой-либо точки прямой есть з, то вектор г — гз должен быть колливеарев с а, т, е. г — г, )за где )з — переменный параметр (задача 5).

Чтобы исключить последний, умвожим обе части уравнение векторво иа а, тогда получвм (г — гз) х а О, вли гх а = г, х э Эзо и есть векторное уравиеиие прямой. Вводя компоиеиты вектора а, можво записать уравиевив правой в одном вз следующих двух вкдовз р — аз и — Вз 3 — зз а„ арз — а,у = архз — а,уз а,х — а„х = а,х, — а„хз а„у — арх а рз — а„х, 3 а д а ч а бз. Найти ураввевие кругового цилвкдра радиуса р, ось которого проходит через качало коордииат и имеет направление, эадаияое ортом и. Нам вужво выраэвть, что расстояние точек цилиндра до оси равно р. Составим векторвое произведелие и х г; величина этого вектора есть 1 г э(п(п, г), т, е.

как раа р, следовательно. искомое уравневие есть (пХ г)з = рз Проще всего ваять такую систему координат, чтобы ось цилиидра пошла по осв з, тогда в = )з а так как ()зХ г)р = — У, (ЙХг)р х ()зх г)з 0 уравнение цилиндра прививает простой аид х'+ у' = рз. 3 а д а ч а 42. Найти величвву площади параллелограмма, сторонаки которого являюгса векторы а = з — 2)+4)з и Ь 31+ ) — 2(з. О тает. 7)/5. 3 а д а и а Я. Найтя вектор, лежащий в плоскости уз, имеющий длииу, раскую 10, в перпевдикуляркый к вектору а = 2з — 4)+ 5)з. О т е е т. ~ (6) + Вз ).

3 а д а ч а бб. Найти длииу р перпеидикуляра, опущенного вэ иачала коордииат ва прямую (г — гз) х а = О. Ответ. р = !~ха! а 3 а д а ч а Я. Найти главиьзй вектор К и главный момент (ч отиосятельво вачала координат О системы свл. представлевиых последовател зимми сторонами плоского мвогоугольввка, если вектор площади этого мвогоугольвика есть 8. Ответ. И=О, Ее=28. шоиэввлвння тгвх вкктогоз й 7. Произзедешгя трж векторов. Их свойства 1.

Перейдем к вопросу о перемножении трех векторов а, Ь и с. В силу двойственности понятия умножения, на еектороз а, Ь и с можно составить несколько произведений равного рода. Чтобы составить из а, Ь, спроизведение, мы должны сначала перемножить два вектора, а потом лолучеивый результат помножить на третий вектор. Если мы перемножим первые два вектора, например Ь н с, скалярно, то проиазедеине будет скаляром Ь с, который нужно затем уз|нежить на вектор а, в результате получится вектор а (Ь-с), колливеарвый с а. Такого же типа будут произведения Ь (а с) и с (а.Ь). Пусть Ь множится на с векторно; вектор а можно умножить ва полученное произведение Ьхс вли скалярво, илв векторно.