1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (Кочин 1965 - Векторное исчисление и начала тензорного исчисления), страница 5

Отметим, что разлвчают два рода прямоугольныт прямолинейных координатных систем, а именно: правую и левую системы. В левой системе (фиг. 19) вращение от оси х кратчайщим образом к оси у вокруг оси з Гл гвгггогиая Алгввть яроисходпт по часовой стрелке (з оравой против часовой стрелки); если мы одиовремеиво с зращевием от осв в к осп у будем перемещаться вдоль осв з, то получим дввжевие винта с левой нарезкой, прв левой системе, и соответстзепво зввга с правой нарезкой (пробочника), при правой системе. Наконец, можно указать еше правило правой з левой руки.

Направим большой, указательный в средвий пальцы соотзетстзевио по осям я, р п з, тогда правая рука укажет соотвовювие осей е правой системе, а левая в левой. Мы будем з дальвейпюм пользоваться кав правой, так и левой системзмв. 5. Еслв два сектора разию между собой, то вх коордвиаты равны вежду собой и обратво, т. е. если (16) а=ь ц,=Ь„, ~-Ью щ-Ь, (17) Зто — иевосредстзеввое следствие едпистзевпости рааложевия вектора по трем иекомилаварвым направлениям. Координаты геометрической суммы нескольких векторов раввы алгебраическим суммам коордмиат слагаемых векторов, т.

е..если Ь=а,+а,+ .,+а„ (18) Ь а, +ам+...+а Ь а„+ + . + Ь, а„+а,.+...+а Для доказательства падо применить теорему о проекции геометрической суммы к осям з, у. к В частвости, если с а — Ь (20] с а„— Ь„. г„= а„— Ьм с, а, — Ь, (21) Наконец, умножение иа скаляр столь же просто амражаетск з коордяпатах вектора зж щ (а 1 + аг1 + аг(г) = юа„] + жа„,) -(- ща,й (22) 6.

Мы рассматривали прямоугольвые проекции а прямоугольвые компоненты вектора а Но с равным успехом мы моглв бы внести три единичных кекомплавариых вектора ь ь в, образующих косоугольвую систему коордвиат. Разложим вектор а по стим ортам: а а!+а„)+а,й (23) тогда мы можем назвать а„, а а,— косоуголькъ1мв коксов е и т а м и вектора а. Но в общем случае косоугольные составляющие ве будут определяться формулами (12), так как для определевия, например, а пужио через копцы вектора а прозеств плоскости. параллельные 13 птоккция влктогз пь какок-пмво ньпзавлвннв гт двум другим осям у и з п найтв отсекаемый вми ва оси х отрезок; последний будет зависеть пе только от угла между а в плоскостью уз, по еще и от угла между осью хи плоскостью ух Отметим, тго теорема о проекции геометрвческой суммы векторов и ее следствие — соотношения (19) справедливы в для общего случая косоугольных координат.

7. Выведенные в этом параграфе формулы и теоремы имеют больщие приложения, например, в статике. Равнодействующая нескольких сил Р,, Р„..., Р„, действующих ва материальную точку, выражается геометрической суммой их: В= Р, + Р,+... + Р„ .Проекция равнодействующей ва какое-либо направление равна сумме проекций на то же яаправление всех действующих сил: л„- р,„+ р,„+... + Р„„ Еслв проекции силы Р~ ва оси х, у, з обоаначить через Хе Уо Яо то проекции равнодействующей будут И„= Х, +...

+ Х„, Я„= У, +... + Рю )7, = г,+... +2„ Величина и направление равнодействующей определяются по формулам (13) и (14) (толька для прямоугольной системы коордпнат): сов(К, х) = — *, соз(В, у) = — ", соз(В, з) = — * Я„ Из дз Если точка, находящаяся под действием системы свл, находится в по. кое, то К = О, и обратно, если В = О и точка з начальный момент поковлась, ова и далыпе будет находиться в состоянии покоя. Векторное равенство К = 0 равносильно трем алгебраическвм: Н =Х,+...+Х„=О В„=Г,+...+У„=О Л,=Я, +... +2„=0 (24) В задачах статики па равнозесие системм свл, пересекающихся в одной точке, не может бить более трех неизвестных, так как условий равновесия, как мы только что видели, три.

Зги веиззестнме всегда можно определить, спроектирован уравнение К = 0 на оси координат х, у, з, т. е. написав уравнения (24). Но часто удается проектировать уравнение В = О на такое направление, тгобы все неизвестные, кроме одной, пропали, тогда сразу получаетсв зта непавествая. Примеры ва этот параграф мм дадим в конце следующего параграфа. ВВВТОРНАя ьягввРА Гз. ! й * ((реобраеование координат. Преобразование составляющиз вектора при переводе от одной оистемы координат к другой 1. Зная комповевты вектора а по осям х, у, з, мы можемвычислвть его компонент по любому направлению а. Воаьмем для этого дроекции на направление В обвил частей равенства (11) предыдущего параграфа и воспользуемся теорамой о проекции геометрическов суммы; в разула тате получим а„а„соз (а, х) + а„соз (в, у) + з„сое (и, э) (1) Такам обрааом, компонент вектора а по любому направлению мовэет быть выражен черев комповевты по осям прямоугольной системы, притом, как видно иа формулм (1), линейным обрааом.

Зто свойство характерно для векторов В должно было бы быть положено в основу определенна вектора, если бы мы исходвлв из аналитического определения вектора при помощи сто координат. В формуле (1) поставим вместо а„, а„, а„, а, вт выражения по формулам (1) и (12) $ 3 и сократим ва а; обозначая черев !р угол между направлениями векторов а и и, найдем соэ!р= сов (а, и) =сов (в, х) сос (а, х) +сов(а у)соз(п у) +сов(а з)соз(пж) (2) Получвлк формулу аналитической геометрии, дающую косинус угла !р между двумя направлениями а п п. 2. допустим, что мы знаем компоненты вектора в некоторой координатной системе Окуз (фкг. 20); возьмем другую координатную систему Охуз, определенную тремя взавмно перпендвкулярнымв ортамв 1, д й; компоненты вектора по новым осям будут вметь уже другие звачевив ~, зр, еу.

(:Враюивается, кав аыражаютси новые компоненты вектора а через старыер Ответ дается формулой (1). Чтобы упростить писанке формул, мы введем таблицу косинусов десяти углов, составленных новыми осями со старыми: х т! Тэ Так, например а! =сов(х, х), х! =сов(х, у), ()! = соз(х, у) и т..д. швовгавоваппк коогдкньт Зтк косинусы представляют координатм новых ортов по старым осям; в самом деле, =1 соз(я,я) а», у =аз. йз=а »з - 1.соз (Я, У) = Р„т„= Р„)з„- Рз (Я »з = 1'соа ( *) = Уо зз = Уз»з». = Уз Отметим, что между девятью косшгусамя таблицы (3) существует шесть зависимостей, так что только трк косинуса независимы между собой (последнее обстоятельство отвечает тому, что ориентация одного координатного тривдра относительно другого может быть задана тремя параметрами, напрнмер тремя угламп Эйлера).

В самом деле, по формуле (2) можем написать следующие 6 соотношений» 1 соз (я, я) = соаз (я, я) + сое' (я, у) + сов' (л, а) а» + Р» + у» = 1 аз' + Рз'+ узз = 1 з.(„рз ( з О сов(у, з) = сов(у, я) сов(з, я) + сов(у, у) сов(з, у) + соз(у, г) сов(з, 4 = а»з + аз' + азз = 1, р, +рз+рз у»з + уз' + уз~ = 1, р,)ь + р,у, + р.у. = о у»щ+уш +уа =0 а»Р» + азбз + озбз = 0 (6) Напишем теперь новые компоненты вектора а. По формуле (1) а- = в соз (я, х) + а соз (я, у) + а, соз (я, з) е»з» +»ззр» + е 'у» зь, = е„оз + а рз + а,уз а» = езаз + езрз + е»уз Обратно, е, вю а, вырааятся чарва зк, аз, ез по следующим формулам» а„= аРхз + а„-аз + ораз аз = азР» + е9Рз + аФз а» = »Ыу» + езуз + е»уз (9) аз +РР +угу -0 оза» + рзр» + У»У» = 0 +рр.

+у„=о Если мы будем рассматривать систему Осуз как старую, а систему Окуз как новую, то получим шесть совершенно аналогичных соотно- шенпйз Гл. 1 евнтогная злгявгз Кан частный случай, отсюда можно получить преобразование координат прн переходе от одной системы координат к другой, имеющей то же начало, системе коордиват. Возьмем точку И н соединим общее начало обоих координатных тряэдров 0 с тачкой М. Получевиьзй радиус-вентор г точна М будет иметь в старой ноорднватной системе координаты х, у, з, а в новой координатной системе координаты я, у, з. По формулам (8) и (9) будем иметь: х = азй + азу + азй у = йз* + рзу + Ж г тчх + тзу + тзз и = а х + бзу + тзз, у = азх + йзу + тза У = азх + бзу + тзз, (10) 3, Когда мы задаем вентор его составляющими в какой-нибудь системе, то мы тем самым подрааумеваем, что его составляющие в любой другой системе будут определяться по формулам (8) преобразования номпоневтоа вектора.

Но можно задавать вектор еще другим способом, а именно указать некоторый способ вычисления его состаалюощих в любой коордвнатпой системе. В последнем случае надо еще проверить, выполняются ли формулы (8), когда мы ст одной системы координат переходим к любой другой. В качестве примера положим, что номвоневты х, у, з радиуса-вектора г суть некоторые функции параметра З; определим составляющие нового вектора ч формулами: Зз = (11) для всякой координатной системы. Проверим, что это дейстэизильно вектор зз з(озз+ Рзз+ тзз! З зэ зз а- = — = ж ж а,— +3 — +т — "- ы зз ж (12) = аззз + йзэз + тзз, аз а„' + е„' + а,з (13) Здесь выражение слева ве зависит от того, в какай координатной системе вычисляются компоненты вектора а„, а„, а„лоатоззу выражение а„з + а * + а,з сохраняет свое значение при всех переходах от одной прямоугольной координатной системы к другой; в этом случае говорят об (ам 8» тз дифференцировать не надо, так каи это суть постоянные посв вусы углов между неподвижной осью В и неводвюнными же осями х, у, з), аналогичные формулы получатся для других составляющих.

Действительно, т есть вектор. Отметим еще несколько следствий иа выведенных формул. В $3 была выведена формула (13), даюпзая длину вектора через его компоненты ы птвовгацованвх коогдннлт вива рвевтвоств а" +а„"+а,"для всех танях переходов, Составдяв аыражепне а„-'+ а~~ + а-,~ по формулам (8) а приравнивая его а,' -(- а„'+ а„', мы сраву получали бы есе соотношения (6) 8 а д а ч а 17. Найти коордкваты точки пересечения медиан греугольввка, иерпжвы которого авданы коордвватамя (хь Во хг) (хи уь сг), (х„ум хг). По формуле (29) 5 2 имеем дхя радвуса-вектора рассматрпваемой точки л+ гг+ м 3 (14) следа в атея ьво а~+хе+ж (а+ гг+ю ч+ в+ э Вада ча 18. Найти коорднваты центра тяжести свстемы трех матервальных точек М„М„М„в которых сосредоточены массы вм, же, жа По формуле (84) 1 2: »чп+ ат+ ач (16) аь + «ь +ам отсюда.