1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (Кочин 1965 - Векторное исчисление и начала тензорного исчисления), страница 4

точка Р в Р' тождественны, что в требовалось доказать. 3 а д е ч а 10. Найтв радиус-вектор точка пересечения биссектрис ~', АВС, радиусы-векторы вершки которого суть А (ц), В (га), С (га), а иро тиволежащве стим верюииам стороны суть с, Ь, с. Ответ: аг1 + Ьг + «га ттг 'Ё Задача П. Доказать, что следующим построением можно найти любую целую часть (половику, треть, д четверть и т. д.) отрезка АВ. Проведем (фиг. 14) прямую СВ, параллельную АВ, ввепщюю точку О соединим с тачками А и В прямыми, которые'пусть пересекут СЮ в точках С я О. Проведем дяаговалв получившейся трапеции АО и ВС и соединим точку ях г А пересечения Ка с О прямой ОК«, которая пусть пересечет АВ в точке Х,а, тогда ААа = а АВ; соедивим далее Ь, с С, вайлем точку пересечвияя Ка прямых АР в АаС, проведем прямую ОК„тогда Га 4« Ьг Я пересечеиви последней с АВ найдем а Фаг.

14 точиу Те, такую, что АХ„= — АВ и т. д. Для доказательства воаьмем точку О за начало радиусов-векторов я будем обозначать радиус-вектор какой-лкбо точка Р череа гг, эвктоРиая алГавРл Гл. 1 Прежде всего иэ водобив треугольников ОСЮ а ОАВ ааключаем, что (32) Г. — !Гс, Г„ - Рео где ! есть соверженно определенное число — коэффициент подобия. Впрочем, Формулы (32) можно вывести в не прибегая в теореме о подобии треугольников; прежде всего в силу коллинеарности с одной стороны га в гс, с другой стороны С!» и АВ в, наконец, ге и гв, имеем г„!ГС, АВ !ГС!), гв (его Но таи как ге г„+ АВ, гв Гс+ СО га + АВ !гс + 1~ СО = (его (его + (ГСБ Отсюда и вытекает (~ 1, (Г-! т. е. теорема о подобии треугольников и одновременно вторая Формула (32).

Теперь пишем уравнения прямых АО в ВС: 1 — м г уягл + (1 — ж) Го жгэ + — ! Гв 1 О Г Рте+ (1 Р) го=!Ие + )"д Га Для точки пересечения этих прямых КГ должно быть 1 — р 1 — э ж 1 Отсюда можем найти т, р и гх,. 1 1 1 ж = —,, р —. Гл.- — (га + гв) = 1+ 1 1+1 ° 1+.! Точка гч является точкой пересечения прямых ОКГ м АВ. Но уравнение прямой (Же есть Г = Хгл ! †( (Гэ + Гс) ь + и чтобы точка втой прямей лежала на прямой АВ, необходимо и доста точна, чтобы сумма коеФФициентов пра г„и гв равнялась единице (вадача 6): хх 1+1 !+ 1 — =1, Х г гм — ' (г„+ г„) так что, действительно, Еч является серединой АВ. 1 2 сложкннв.

вычнтьнка в главок»авва ввктогов ш Теперь мы покажем, что ст точки Е„можно лраттв и точке Е„ Мы предполагаем, что АЕ;, = — АВ так что радиус-вектор точки Е есть 1л — 1) гл + ге г л Уравнение прямой СЕ есть гл — 1) гл + гз г= ог~ + (1 — о) го= г) ' +— л ! Для точка пересечевкя К„+, прямых АО н СЕ,„должно быть л — 1 1— лг = е — + — 2, л '! л л лгл+ ге — ф= —, гв Г+л* 1-Гл' ~г ГЛ-л Точка Е„+г является точкой пересеченвв прямой ОК„+, г = Хг» = — (лг* + ге) 1 л+1 .с прямой АВ, так что должно быть 1+ л 3 — (л+1) =1, л !+л Отсюда лгл + ге г л+ 1 его показмеает, что Е„, делвт АВ е отношении 1: л, так что 1 АЕчгьг = + АВ Что н требовалось дскзазть.

Задача )2. Байта соотношение между шестью отрезками АМ, МВ, ВК, КС, СЕ, Е.А, которое должно выколвяться для того, чтоби три прямые АК, ВЕ, СМ, соеднняющве вершимы треугольника АВС с лрогавоположнимв сторонамн, пересекалась е одной точке Р ррнг. 15). Беря ене плоскоств треугольника произвольную точку О, назовем через гг, гь гл радиусы-векторы вершам треугольника АВС относительно точки О, через Й же вазовом радиус-вектор точкп пересечения гл трех прямит: АК, ВЕ. СМ.

Разлагая В по трем векомплаварным секторам гг, кь гз, будем иметь Й а,г, + алг, + пзгл Гв. ! Ввктсгнэя ьлгввгь При агом, согласно задаче 7 а!+аз+аз = ! Так как точка К аежят на прямой АР, то для радиуса-сектора гп этой точим будем, согласно задаче 6. иметь гх ЙИ + (1 — Й) г! (Йп, + ! — Й) г, + Йаэгэ + Йп,гэ '!'ак как точка К лежит в то же время на првмой ВС, то мь! должны еше иметь согласно той же задаче Йп! + ! — Й О, Йпэ+ Йа С При этом оба вгн соотиоженив приводят к одному и тому же результату ! ! Й= — =— ! — а1 а,+ аэ Итак ааэ+ аэм Сравнивая зто с формулой (23), ааключаем, что Аналогично получнм АМ аэ МВ а1 Сь а1 ХА аэ' Фвг.

!3 Перемножав полученные три равенства, найдем требуемое условие ВК Сь,лм Уд'ТА э!К ВК.СЕ АМ КС !.А.МВ М В ВК.7Х Но если выполняется условве (38), то мы имеем АМ КС ЕА Ив = ЪКЕХ и, следовательно, точки М' и М должны совпасть. 3 а да ч а Хд. Доказать компланариость векторов ас — рЬ, ра — жс, жЬ вЂ” па Это условие является, очевидно, и достаточным условием пересечения прямых АК, ВЬ, СМ, так как если обозначить через Р точку пересечения пряммх АК и ВЕ, то прямав СР должна, согласно предыдущему, пересечь АВ в такой точке М', для которой пгоикпкн ззктогя нл капот лкво кяяглнлянкв 3 а д а ч а Вй Найти центр тяжести системы трех материалыызх точек М! (г!), Мз (гз) Мз (тз), в которых сосредоточены массы тг, тз,вм, зная, что центр тяжести двух масс лежит ва линии, соединяющей жв массы, и делит ее з отношении, обратно-пропорцнонельвом массам.

Центр тяжеств точек М, к М„который мы обоаначкм через М' (г'), определяется по формуле (23): т!г! + ьг! г' т! + нн Поэтому центр тяжеств системы трех точек будет (нь! + л!2! г + и!ьи т!г! + тьг! + зи!ь Г ит + т!) + гнз т! + !и!+ тз гое ! Задача 1д. Пусть А', В', С' середввы егоров ~ь АВС (фиг. 10), а Π— какая-либо точна: доказать равенство ОА' + ОВ' + ОС = ОА + ОВ + ОС Задача гб. Хорды АРВ и СРО круга с центром О пересекаютсн з точке Р под прямым углом.

Локазать равенство! РА + РВ+ РС+ РУ 2Ю й 3. Проекция векторе на завоз-либо вапрввлтзве. Коордиваты взмтора. . Правая в левая системы аоордвват. Аналитическое выражение равен- югва сложевив и вьзчитнвнв аеятороа 1. Выберем какое-нибудь определенное ялпрзвлевве, характеризуемое единичным вектором и. Рассмотрим какой-нибудь вектор а (фиг. 16), Лроекяиея е сектора а на напраелензе в назнваепмл длина отрезно А'В', оеиекоемозо на каков-нибудь прлмоя, карал ильноя и, нлоскосниьни, нернендвкуллрними к е и прояодлоезми через коням А и В сектора а, езя тая со знаком плюс или минус.

сиотря по гпому, имесн! ли А'Ъ' то же напраоление, оно и, или как раз протиеоположное. Проекцию веитора а па направление о иы буден обоаначать а . Проводя через е точку А до пересечения с плоскоотыо, р перпендикуля рвай к в и проходящей через В, прямую АВ', параллельную и й з очевидво равную А'В', кз прямоугольного треугольниаа АВВ' найдем, вводя угол !р между векторами а в ц: а = а соз!р И) Фзг. 16 Если !З ве превышает — 'и, ато следует сраау вз рассмотрения прямо- угольвого треугольника АВВ' к того обстоятельства, что в агом Гк 1 Вяктогнья ллгквгл случае А'В' направлен одинаково с и.

Если же е превышает —,' я, то (йиг. 17) АВ = а соэ (я — ~р) (2) Но в этом скучав АВ пепрввлек противоположно и, поэтому е = — 'АВ' — а соа (и — ~р) = а сов р Оведоватекько, всегда нроекцик еевтора на какую-либо ось равна кроиевсдвнию д.ьинм вектора на косинус уела между евткором я осью. л Мм можем рассматривать проекцию вектора в иа паправкеяпе и как вектор; тогда мм будем к 1 обоеиачать етот вектор черве а„; очевидно, ! л» а» а»в = а сое и и (4) йтг. 11 2.

'Георема. Проекция мюметри»вской сумки еск- торов на какое-либо направление и равна алсебраи»вской сумме нроекций слаеаеммк ееюкоров на то же накраелвние: (в, +а»+... +а»)»=аж+а»„+... +а (5) Достаточно, очевидно, докааать теорему дкя сумки двух векторов, т. е.

ив е=а+Ь (б) ле вмвести л, Докажем предварительно, что ескя ва оси имеются три точки а,, а„ае, то всегда аьае + е ~аэ + аев» О (8) Фвг. 1В ескв брать отревюв а,.а1 со эканам плюс пки пикус, смотря по тому, совпадает ки паправяеяие а;а, с ваправкеиием оси ики ему цротпвопокожио (фвг. 18). В семом деле, одна иэ точек аь, а, ае лежит между двумя другими", пусть, например, ае лежит между аь и ае; тогда аьае + с,,а, = а,ае Отсюда, перенося все в правую часть я аамечая, что а а — а а, аеа, — аьаь. найдем уравиевие (8). Апакогичио рассматриваются скучав кахождеяпя аь иии аь между двумя другими точками.

Так кап (фиг. 18) а» аьаь Ь» а»аэ с» агав (8) го в вику (8) ((О) что и требовакось докаеать. 1з пговкппв ввктозз пе каков.пиво н*цгавлвкпв 25 3. В 1 2 мы виделв. что всякий вектор й можно рааложнть по трем некомплаварвым векторам а, Ь к с. Воаьмем за векторы а. Ь, с взаимно верпендвкулярные единичные векторы, направленные по трем осям прямолинейной прямаутольвов системы координат г Охуз (фиг. 19). Зтв единичные векторы называются осковныкв зекторамв или ортами к обозначаются йк 1, ), й. Назовем проекцзн вектора а по направлениям з ( яглиз ( гзгвезе 1, ), й или, что то же, по осям х, у, з через а„, а„, е,; тогда при рааложении вектора а по зеиторам 1, /, (г зх( мы получим ю) а а +а„+а,=а)+об+ай В том, что коеффвциевтом прв ! является ' а„ моящо еще убедиться.

составляя проекции обеих частей равенства (11) вз ось х, пользуясь теоремой о проекцвв геометрической суммы и принимая во внимание, что проекпии ) и й ва ось х, очевидно, раввы О. Фаг. 19 Проекции а„, а„, а, называются и р я и оугольвыма координатами или составляющими, илз ела геющвмв, илн компонентамз вектора а. -Они однозначно определяются по формуле (1) з виде а„= асов(а, х), а: з сов (а. у), а, = а соя(а, з) (12) Обратно, если мы зададим вектор а его составляющими а„, а„, а„ то мы колкостью определим его. В самом деле, его двина получается, как диагональ прямоугольного параллелепипеда, по теореме Пифагора: (13) Направление же сектора а получится из формулы (12): соз (а, х) зк, соз (а, у) — ", соз (а, з) -~- (14) Возвышая три равенства (14] з квадрат в складывая, получим в силу (13) соз' (а, х) + соз' (а, у) + соз' (а, ф = 1 соотиощевие, справедливое для всякого вектора а. 4.