1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (Кочин 1965 - Векторное исчисление и начала тензорного исчисления), страница 3

Итак, раэложенве (15) единственно. 7. Если три вентора а, Ь и с не номпланзрвы, то всякий вектор й может быть представлен в форме !н Рц С з 4 ! Ь В з (17) и= та+ вЬ+ рс т. е. разложен на три составляющие, паравлельиые соответственно венторам а, Ь и с.

Для доказательства отложив все --ж--)-"- четыре вектора а, Ь, о, й от общего начала О (фиг. 8) в проведем череа конец Э вектора 4 плоскости, парзлФвг. а лельвые граням трехгранного угла, обрааованного векторами а, Ь и с; тогда 4 предстатггся как сумма трех венторов (например ОХ, Ж дИ), коллинеарных соответственно венторам а, Ь и о, т.

е. равных ща, вЬ н рс. В результате полу жется разложение (17). Это разложеиве е)рщст- вевное, таи нак, если бы мы выели два рааложевиж б +вь+р 4 = т'а + в'Ь + р'е мы из нвх цолучилн бы О = (т — т') а + (и — в') Ь + (р — р') с в если бы хоть одна из разностей щ — щ', а — я', р — р' не равнялась нулю, то вакторы а, Ь и с ока- 4 зались бы компланарвыми, что противоречит предФаг. 9 положению.

Поэтому щ' т. л' л, р' р, т. е. равложение (17) единственно. Разберем ввсколько примеров ва слоиюнве я разложение вэнтороз. 3 а д а ч а 1. Какому условию должны удовлетворять трп вектора а,Ь, с, чтобы иа них можно было образовать треугольник (фиг. 9). Из чертежа видно, что искомым условием является а+Ь+е=О так как тогда и только тогда ломанак ливия ВСАВ зазщнется и образуется треугольвнн. 3 а д а ч а 3. Доказать, что можно построить треугопьннн, стороны которого равны в параллельны медианам данного ~ АВС (фиг. 1О).

Гл. 1 ввктогпья ьлгиагь Обоаначим середины сторон ВС, СА и АВ соответственно чврее А', В' и С'. Выраава векторы, представляювже медианы треугольника. т. е. АА', ВВ' и СС', черве а, Ь и с. Найдем, например, АА"1 АА' = А)У + ВА' е + ф а ибо ЗА, ЛС- Циклической перестановкой (т. е. еаменой а ва Ь, Ь на с и с ва а) получаем ВЮ = в+фЬ, СС' Ь+ фа Проверяем условие яадачв (, что ив векторов АА', ВВ', Ю можно составить треугольник; дая чего составлвем 4 о' В Фвг. 1О АА'+ВВ' +Сь~ с+ фа+ а+ фЬ+Ь+ ~ с ф(а+Ь+с) О Условие еадачи ( выполивется; следовательно, иэ АА', Вм' и СС' действительяо можно составить треугольник. Прежде чем переходить к дальнейшим примерам, мы вандам неснолько необходимых иам понятвй. Положение какой-нибудь точки пространства Р может быть определено вектором ОР, начальной точкой которого служит векотораи определенным обрааом выбранная точка О, а конном — точка Р; вектор ОР мм будем натюать радиусом-вектором точки Р отноеитаеьно точки 0 и будим обоеначать обычно буквой г.

Про точку Р, виданную радиуеанвектором г, мм будем говорить, для сокращения речи, что дано Р()- 3 а дача 3. Найти радиус-вектор г середнем С отревка АВ, екав точки А (гь) и В (гь). Вычисляем г = ОС = ОА + АС = ОА + ф АВ = ОА + ф(О — ОА) г, + — (г, — г,) = — (г, + ге) ч 1 (18) ~ - —,'(, +ге) а середина диагонали ВО будет иметь радиус-вектор г" = -'(ге + ге) 3 а д а ч а 4. Доказать, что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, то четырехугольввк есть параллелограмм. В самом деле, если радиусы-векторы четырех последовательных вержии четырехугольника АВСВ суть гп гь, гь, г„то середина диагонали АС будет вметь радиус-вектор 12 сложвнпв, вычптьпик и гзеложввмв звктогов гб Но так как диагонали делит друг друга пополам, то ети точки совпадают; откуда 1 1 з (гз + г,) = з (ге + гз) или гз — г, гз — г т. е, вектор АВ = гз — гз равен и параллелен вектору 5д = гз — гю а следовательно АВСО есть параллелограмм.

3 а д а з я б. Выяснить геометрическое значение уравнения (19) 4 зь Р где а и Ь вЂ” заданные векторы, я — переменный параметр, г — переменный вептор. Найдем геометрическое место конца Р радвусавектора г (фиг. 11); если конец радиуса-вектора а есть точка А, то АР = г — а = нЬ будет коллинеарен с Ь, следовательно, АР параллелен Ь; поетому искомое геометрическое место есть прямая, проходжцая через точку А и параллельная Ь. Уравнение (19) есть векторное 'уравнение етой прямой.

3 а В а ч я 6. Показать, что необходимое п достаточное условие того, чтобы три точки А (а), В (Ь) и Р (г), гда г=ща+ иЬ (20) лежали на одной прямой, состоит в том, чтобы та+я 1 1е1) Фнг. ГХ Исключение представляет случай коллвпеарностн векторов а и Ь, когда при всяких ж и л точки А, В и Р лежат на одной прямой. В самом деле, пусть точки А, В и Р лежат на одной прямой (фиг. 12), тогда векторы АР г — а и АВ= Ь вЂ” а коллинеарвы, следовательно, г — а= я(Ь вЂ” а) (22) Отсюда г а+ я(Ь вЂ” а) = (1 — я) а+ лЬ так что в силу единственности разложения вектора г по векторам а и Ь (з случае их веколлинеарности) мы должны иметь т 1 — я, и+я 1 Обратно, пусть ж -(- я 1, тогда г — а 'жа + лЪ вЂ” а = юа + яЬ вЂ” (гв + л) а = я ГЬ вЂ” а) ввктоепья апгввгл Гл. 1 Сяедоватеаьво, АР г — а коллкаеарев с АВ Ь вЂ” а, т.

е. АВ а АР параалельвы, а так как етп векторы отложекы от одной точки А, то А, В я Р аюкат ва одкой прямой. Такам образом ураввеаве (20) прв условия (21)' мошко рассматрвеать, как векторное ураввевве прямой, проходящей чарва две аадаввые точка А (а) в В (Ь). Палеева выяснить евачевпе коаффпцвевтов иь в и. Ие формулы (22) вадво, что в равно отпошевпю длпк АР а АВ, взятому со смаком ппюс, если точки В в Р лежат по одву сторову точка А, в со знаком мякус, еслк етв точки лежат по раекые егоровы А. Точно так зке ж равно отвожеввю длвв ВР а ВА, взятому с надлежащим знаком. Как простое праложевке етого замечания, найдем радиус-вектор точки Р, давящей АВ в аадавпом откапывая а: у. По усаоввю АР Р3 в Отсюда АР АР « — — — и АВ АР+ РВ «+г Саедоватевьво т=т — п т «+т (23) 3 а д а ч а У, Показать, что необходимое к достаточкое условве того, чтобы четыре точка А (а), В(Ь), С (с) а Р (г), где (24] г ьча.)- вЬ+ ро вожака в одкой плоскостп, состоит в том, чтобы а+ и+ р = 1 (25) Исключввке составляет скучай комппаварпоста векторов а, Ь к с, когда прк всяких и, в в р вектор г будет вм компааварев, так что прк всяких и, в в р течки А, В, С а Р будут лакать в одаой плоскости.

В самом депе, чтобы довааать веобходямость усаоввя (2б), предповежвм. что точка А, В, С а Р аежат в одной плоскости. Тогда векторы АВ=~Ь вЂ” а, АС с — а АР г — а, будут комплааарвы, следовательно т — а л(Ь вЂ” а) + р(о — а) г а(1 — л — р) + лЬ -(- ре 12 оложвииВ, Вычитания и РАВложвнив ВвитоРОВ 11 тая что в силу единственности рааложения вектора по векторам а, Ь, о (в случае их неномпланарвости) мы доляпвы иметь т=1 — я — р, т+я+р=1 Обратно, пусть т + я + р = 1, тогда г — а = та + ВЬ + ре — а = та + яЬ + ре — (т -(- я + р) а а(Ь вЂ” а) + р(с — а) г' = в (ге+ гв) поэтому уравнение медианы АА', иая уравнение прямой, проходящей черве точка А н А', будет по аадаче 6 г = тгв + — (гв + гв) (26) Точно таи ще найдем уравнение медианы ВВ"1 Г = ягв + — — «в — (гв + гв) (27) Чтобы найти точку пересечения медиан АА' и ВВ', надо прираевять оба выражения (28) и (27), тая каи дла втой точки оба аычиолевиа должны давать одно и то же выражение; итак яыв +:~- (гв + гв) = ягв + -~ —" (гв + гв) (28) мы удовлетворим атому уравнению, если прираввяем яовффицвевты при гь гв и гв в обеих частях равенства (28): 1 — »в 1 — »в 1 — » — =я; 2 * 2 2 1 — » яв = 2 Отсюда находим т= я 1 в таи что искомая точна пересечения Р медиан АА' и ВВ' имеет следующий радиус-вектор: г = -'(г, + гв -(- г ) (29) следовательно, вектор АР номплаварен аевторам АВ и АС, таи что А, В, С и Р лежат в одной пяосиости.

Таким обраеом, уравнение (2А) при условии (яб) можно рассматривать как векторное уравнение плоскости, проходящей чарва три задаввме точки А (а), В (Ь) В С (о). . Задача 8. Пусть радиусы-векторы верпшв,г),АВС суть 11, гв и гв. Довааать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и иайтв радиус-вектор этой точки. Обоаначвм середвны сторон ВС, СА, АВ череа А', В', С'. Радвусвектор А' будет, по аадаче 3, равен явитогвая ялгязг* 1З гя. ) Ь с — с, Ь ' а а,= —, с Если мы ва сторонах АВ а АС отлоя я жим единичные векторы Ая.

= ея в А1, = — Ъ| я построим на пих параллелоФяг. 13 грамм, то диагональ его я будет, очевидно, биссектрисой угла А. Позтому вектор АР, ваправленный яо етой биссектрисе, будет яолливеарев с сектором с Ь с, — Ь, = — — 3- с служаювм диагональю параллелограмма АКМ1„ооягому в Ь АР я (е — Ь ) - х (,—, — Т) где я — пе определенный пока параметр.

Циклической перестановкой (т. е. заменой а па Ь, Ь на с, с на а, х на у) получим аналогичное уравнение для вектора ВР: ВР р (а, — сг) у~ — — — ) га с~ я 4 Чтобы найти я и у, заметим, что АР АВ -~- ВР (30) Мы пе можем з атом ураеневии приравнять по отдельности ноейфвяиевты при а, Ь, с, тая яак етя векторы номплаварны, а вменяя а+Ь+с=О Исключим поэтому а; ве уравнения (31) мы найдем (31) а= — Ь вЂ” с Подстазлием это выражение з ураевение (30): Еслв бы мы стали определать точку пересечения яедван ВЫ и СС', мы получилв бы, по симметрии полученного выражения (29), тот же самый результат, так что третья медиана проходит через ту же точку ().

3 ада та й Доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются а одной точке, Проведем биссектрисы АА' и ВВ' углов с зерюинамв А и В а обозначим точку пересечеввя ягих биссектрис через Р (фиг. 13). С Обозначим орты векторов а. Ь я с соответственно через 4 2 сложввия. вычитания и гьзложвиив ввктогов 1а Теперь мы можем приравнять по отдельности козйфипиевты прв Ь а щ ибо разложение по двум ие коллииеариым векторам Ь я с должно быть едииствеиво: а т ь а ' Решая жи ураввевия, находим я= ьа а + ь -~- с а« «+4+»' Счедовательио АР Ьс — «Ь = а ~-Ь+а' Если бы мы стали искать точку Р' пересечевия биссектрис ВВ' и СС', то паюла бы результат, который можно получить из предыдущего цккляческой перестановкой букв: Отсюда видно, что ВР = ВР', т. е.