1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (Кочин 1965 - Векторное исчисление и начала тензорного исчисления), страница 9

В случае фиг. 32, а треугольники ВАС, ВРА, ОСА представляются веаторамн, направленными противоположно вектору ВСР, ябо если грань, отвечающая ВСР, смотрит в одну сторону оси х, то трн другие грани будут направленм в другую сторону осн з. А так как пл. ВСР пл. ВАС + пл. ВОА + пл. РСА то сумма векторов проекций граней тетраадра равна нулю, так гго для этого случая теорема доказана.

Точно так же раабирается случай фиг. 32, Ь; в этом случае треугоаьпнкн ВАС, ВРА представляются векторамв, направленными противоположно векторам треугольников ВСР, САР. В соответствии с этим здесь имеется соотпошепне: пл. ВАС + пл. ВРА пл. ВСР + пл. СА:0 Итак, проекция вектора поверхности тетраздра па плоскость ху равна пулю; так как эа плоскость ху можно принять любую плоскость, то проекцвя вектора поверхности тетраэдра на любую плоскость равна нулю, а значит, самый вектор тождественно равен нулю.

Теперь докажем теорему для замкнутого многогранника, Мы всегда можем разбить последний на ряд тетраэдров. Пряменим теорему для каждого из последних и сложим результаты, тогда получится, что сумма секторов всех граней многогранника плюс сумма векторов по веем добавочным граням, которые мы провели яри разбитии многогранника на тетраэдры, равна нулю. Но рассмотрим какую-нибудь добавочную грань; опа будет служить гранью для двух тетраэдроз, причем один раз мы Е С ВЯКТОРНОВ НЛИ ВНЕШНЕЕ ПРОИВВЕДВНКЕ ПВУХ ВЕКТОРОВ 49 должны за внешнюю нормаль к вей брать одно направление нормали, а другой раз как раа противоположное.

Позтому сумма векторов, отвечающих добавочным граням, тождественно равна нулю, тав что сумма векторов по всем граням замкнутого многогранника клв. что то же, вектор аамкнутого многогранника, равен пулю. Непосредственным следствием Отсюда является вывод, что вектор Всякой замкнутой поверхности равен нулю, ибо, вписывая в агу поверх- ВоотЬ ряд миОГОгРаппиков с гРанями, стремящимкся к нулю, мы будем получать равные нулю векторы этих многогранников, н следовательно, к в пределе получим для вектора аамкнутой поверхности нуль. только что докааанная теорема допускает очень простую фиаическую интерпретацию.

Рассмотрим несжимаемую жидкость, находящуюся в понос, причем никакие внешние силы на нее ие действуют. По вакону Паскаля гядростатнческое давление всюду будет одним и тем же; обоаначим его через р. Выделим теперь некоторый объем жкдяости, ограниченный проиеаольяой поверхностью Ю; так как выделенный объем жидкоств находится в равновесии, то геометрическая сумма всех приложенных к нему сил должке 'равняться пулю. Но внешних сил нет, следовательно, на выделенный объем будут действовать только силы гидростатнческого давления. Рассмотрим какую-нибудь малую часть поверхности.

ограничивающей . выделенный объем: пусть ета часть поверхности представляется вектором Ви тогда действующая па вту часть поверхпости сила будет равна РЯ, и будет направлена по нормали е поверхности внутрь поверхности, т. е. как рав протввоноложно вектору Вп Значит, действующая на рассматриваемую часть поверхности сила равна — рЬ.

Поэтому геометрическая сумма всех сил, действующих ва поверх- вость 3, только множителем — р отличается от геометрической суммы всех векторов Ь, равной Вектору аамкнутой поверхности Ю. И так как геометрическая сумма всех скл по вышесказанному равна нулю, то я Вектор замкнутой поворхнссти В должен равняться нулю. 5.

Приме~Ого тОльКО что докаааянуЮ теорему дпя вЫвода фоРмулы (8): ах(Ь Рс) =ахЬ+ахс Построим для етого геометрпчсскую сумму векторов Ь + с к на получившемся таким образом (фнг. 33) ~ АВС построим приаму, ребра которой равны я параллельны вектору а. Вектор полученной замкнутой поверхеостн, равный по только что доказанному нулно, составляется яа пнтн членов. Два члена, отвечающие граням АВС е А' В' С', очевидно Вааимно уничтожаются, ибо площади этих граней равны, а внешние нармаля к Вил~ как раз противоположны. 4 Н, Е. Ннннн ВЕКТОРНАЯ ЛЛГНЗРА Гл. [ Трн остальные грани пра пользованяа левой скотской коордават н прн расположеван векторов, указанном на чертеже, чего всегда можно добаться перестановкой векторов Ь н с, дают соответственно еенторы: грань СС'А'А... ахЬ э АА'В'В... ахе а ВВ'С'С...

ах ! — (Ь с- с)! ахЬ+ ахс — ах(Ь+ с) = О ах(Ь+с) =ахЬ+ахс Отсюда Что в требовалось доказать. 6. Образуем векторные пронзведевня основных ортов; преясде всего, и силу (4), имеем эх 1 =- )х) = 1сх]с = О (14) далее. Еепосредствевно вз самого определения секторного провазедення вытекают формулы 1х) )с, )ХЬ 1, ]сх! = ) )Х1= — 1с. Ьх) = — 1, схй = — 1 Прн помон!в зтвх 4юрмул легко найти составляющне ах Ь, есла известны составляющие а н Ь; в самом деле, вычвслвм ахЬ = (а 1+ аэ) + а.]с)х(Ь„1+ Ь„)+ Ь,)с) =- = а„Ь„(1х с) + а„Ь„(1х 9 + а Ь, (сх )с) + а„Ь„(дх с) + а,бэ () х ]] + + а,Ь,()ХМс) + а,ьэ()сх1) + аЬР (Зсх3+а,Ь,()сх]с] (16) В силу формул (14) н (15) произойдут большие сонращеная; ахЬ =.

1 (а„Ь, — а,Ьэ) + 1(а,Ь вЂ” а Ь,) + ]с (а„Ь вЂ” аэЬ ) (17) Отсюда (ах Ь), = аэЬс — а,бэ (а х Ь)з а,܄— а„Ь, (ахЬ), = а„܄— а„Ь„ (18) Уссаскем, как непосредственное праложеане этих формул, вывод условий параллельностн авух векторов а н Ь, заданных своими соста- або когда мы,смотря невке, обходам, напрнФег. 33 мер. г~~авь СС'А'А по стрелке часов, то вектор Ь = С'А' следует за вектором а =СС'.

Скла диван три напученных вектора, мы должны получить нуль, так что ВЕКТОРНОЕ ИЛИ ВНВШНВВ ПРОИЗВВДВНИВ ЛВУХ ВЕКТОРОВ Э1 злякяцнми. В этом случае ан Ь = О, приравиизая составляющие этого вектора нулю, получим: э — — — (а 1 Ь) ад дэ ав т. е. соответствующие составляющие двух параллельных векторов пропорцвональны. Этот результат, впрочем, ясен и вэ того обстонтельствв, что з силу воллннеарности векторов а и Ь оден ва вих выражается произведением другого на скалярный множитель: Ь Аа, откуда Ь„= Ьа„, бэ — — Хсэ, Ь, = Аа, что равносильно (19). Из формул (18) можно вывести, далее, ряд соотно1пений, связывающих косинусы углов, составляемых осямв двух прямоугольных систем координат (фиг. 20). В самом деле, возьмем, например, за вектор аорт 1, а эа вектор Ь орт Ь тогда вектором ахЬ будет служить Ы, если новая свстема Озуэ ориентирована тав же, как старая.

и — Ь, если новая система будет ориеатирована противоположно старой. Выписывая вв таблицы девяти косинусов $4 компоненты векторов 1, ), Ь и подставляя нх в формулы (18), мы найдем: атвуд — Оэув - -э с. увод — угхв = ~ ба авфд — сэ81 .+ уэ 2) Ьха — ахЬ ахЬ = О, если а = О или Ь = О нли а 1 Ь аха О 3) вд дв вв ~а„х ~Ь,= ~ Ха„хй, В 1 в 1 В 1В 1 жахвЬ = щя (ВХЬ) (а х Ь) = е„б, — а,бд (а х Ь) „= а,Ь вЂ” а„Ь, (ахЬ), = с,бэ — аэб где верхний знак берется при одинаковой ориентации старых и новых осей, нижний — прн разной. Циклической перестановкой значков 1, 2 В 3 мы можем получить еще шесть новых формул.

Составим таблицу важнейших свойств векторного пронзэедсзия. 1) ахЬ = с, с = аймп (а, Ь), с ( а, с ) Ь, вращение от а к Ь вокруг с таково же, как вращение от осв э к оси у вокруг осв з (определение) евктогкая Алгввга Гл. 1 7. Прежде чем иллюстрировать теорию пряясрамк, мы останови««ся еще яа одном свойстве векторного прояэзецешгя. В сушиости предотавлеиие некторпого проиаведеиия вектором чисто условво; горавдо естестжннее было бы изображать его плшпадкой, например, параллелограммом, построенным иа векторах а и Ь, имеющим определеипое паправлепие обхода в аависимости от порядка сомкожителей.

Однако длв целей векторного анализа гораздо удобнее оперировать с вектором, представляющим эту площадку в являющимся как бы ее дотюлвешвем в нашем трехмерном пространстве. Такие векторы, связаииые с направлением пекоторого обхода, пазываются аксяальиыми, осевыми. илв псе вцовекто рами. К числу их принадлежат, помимо вектора, представляющего пло«падку, и помвмо векторного проивведенкя двух обыкновенных или, как ах обычио называют, и о л я р в ы х векторов, еще, например, угловая "корость вращения твердого тела, которую можно представлять вектором, направленным по оси эращепия з ту илп другую сторояу в зависимости от наличия обхода вокруг оси з ту или другую сторону (отсюда название акскальиый, вли осевой, вектор). Полярными же векторамэ являются, например, перемещение, скорость, ускорение, сила.

Природу того клв другого ««зхаиического вектора можно увкать по следующему праввлу. Отразим явление з плоскости, перпекдвкулярвой к рассматриваемому вектору; если прв этом направление, в котором протекает явление, изменится иа обратпое, то псятор есть полярный; если «ке иаправлеиие явления останется прежним, то мы имеем дело с акскзльиым вектором. Тек, отрав«ая векторное произведение двух поляриых векторов е плоскостп составляющих векторов, мы последние, очевидно.пе пзмспим, явление ие язв«спится, слецоватольио, секторное провзэедеине двух полярных векторов есть вектор аксяальяый, В качестве другого прямера рагсмотрпм зрашояие твердого тела ээярчг оси.

Отражая явлекяе зрашснвя з плоскости, перпендикулярной оси враже«п«я, уээцвм, что ерашевие будет происходить опять в ту яге самую егорову, поэтому вектор угловой сворости мы дол«ккы считать вектором аксиальяым. Напроти««, отражая вектор скорости точки в перпендяяуляркой к яему плоскости, мы уяядям, что точна будет двигаться в обратную сторону, следовательно. вектор скорости есть полярньгй вектор. Когда л«ы имеем цело с координатным представлением, то различие между поляркымя в апгкээьяымя зекторамв сказывается в том, что пря зеркальном отображении в сякой кз коордиватпых плоскостей, например ук т.

е. при переходе от одяой прэмолииейной прямоугольной системы я другой «ю фОръ«улзм у=у, у=э (21) ввктовпов или вивгппвв пгоизввдппик двхх ввктовов составляющие полярного вектора ареобраауются как коордвватм по форыулаы а- = — а, а- а, а- а (22) «х в в' ь ь в то время как составляющие аксиальпого вектора меняют еще свой апак; так, вапример. вычислим составляющие векторного проиаеедепия ахЬ двух полярных векторов. По условию а- = — а, «' а- =а, в «' Ьо =Ье, а-=а ь ь 6- = — 6. Ь-=Ь Поотоыу (а х й)й (ах Ый (ах Ь)-, — — а-ЬЮ ь — а-Ь- ь « = а-Ь- «в — а-6- У вЂ” а-Ь« — а-Ь- з « а„6, — а,Ьо — а,Ь„ + а«6, — а„Ь + а„Ь„ (ах Ь), = — (ах Ь) = — (вх Ь), Точно так же, если мы проиаведем инверсию коордипатпых осей, т, е. преобравоиакие — — у= — гу..

й (24) то составляющие полярного вектора иамеяят свой апек па обратный. з то время как составляюгцпе аксиальпого вектора остаиутсв беа нзмепеппя. Заметим, что при зеркальном отображеккп я при ипверспв левая система коордвиат переходит в правую и обратно, тав что пока мы остаемся н областв одних левых или однях правых систем координат, никакого различив мегкду полярными и аксиальныыв векторамп вет. Ковда те мы нереходпм от «евой системы к право» илп обратно, то акса»льны» вектор в»меняет свое гьанравнегыьс на прлмо прггтпвопоеоиенос, в то врвмл как поварни» вскнгор остаетсн бсв нвмененае.