1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (Курант 1978 Курс дифференциального и интегрального исчисления ч2), страница 7

Когда г пробегает числовую ось, точкз (х, у, г) описывает прямую линию. Это видно нз того, что, исключая Г из двух пар )равнений, мы получаем даа аннейных уравнения длн х,у,г. Ыаправляютцнс восззнусы этой прямой можно найти следующим путем. Возьмем две точки прямой Р, и Р„ с коордпнатамн Рр х, =- а, + Ьзто г, = аз+ Ь„тп г, = аз + Ьзтд хз=-п, +Ьзгз, у,=-а,+Ь„гз, г,=-а,+Ьзг,. ь». прямоугодьный ЕООрд»!Паты и ВВКтОРы Проектируя вектор Р,Р, на осн координат, имеем 1Е>Р,1созЬ, =х — х, = Ь, (Г,— Г,), 1Р Р,1соа ь, =у, — у, = ь, (г, — г ), 1Р,Р,1соэв = е,— е» = Ь,(г,— г,), где Ь„Ь, и Ь,— углы, образуемые вектором Р,Р„а следовательно и прямой, с осями координат.

Стало быть, сов э, = рэо с»ав, = рЬ„ соээ„=рЬ„, где р= ' т, е. направляющие косинусы прямой пропорциональны коэффидиентам Ь„ Ь„ Ь, прп Г в ес параметрических уравнениях. Так как соз'Ь, + соэев, + + соа' Ь, = 1, то отсюда вытекает с»БЬ» = Ьа Ьл соа Ь„= соз Ь„= Г»»»»».~»» ' ' »»»»-»»» я ' »»»»»»-,.Г' причем двуэна»ность квадрапн»го корня выражает тот факт, что на прямой можно выбрать любое иэ двух возможных направлений. Любой вектор, имеющий направление прямо!1, называется ниириаляюитил» аекюоуом прямой. Так, направляющими векторами прямой явяяются вектор Р,Р, и вектор 8= (Ь„Ь„Ь»).

Вектор л= (с»ма„соэв„сов в») является единичным направляющим вектором прямой.. С помощью направляющих косинусов пряной а=сонэ„Ь*=созЬм «=соэЬ, можно привести параметрические уравнения прямой к следующему виду: х=х,+ат, у =у»+ Ь' я =е»+« (2) где (х„ у„ е,) — фиксированная точка на прямой. Действительно, пусть Р,(х„ у„ е,) †произвольн, но фиксированная точка прямой, а Р (х, у, л)— переменная ее точка. Тогда вектор Р,Р= зт, где э = (а, Ь, «) — единичный направляющий вектор прямой, а т — переменный параметр, равный расстоянию от точки Р, до Р, взятому со знаком пюос, если вектор Р,Р направлен в ту же сторону, что и вектор з, и со знаком минус — в противном случае. Проектируя обе части последнего векторйого уравнения нэ осп координат, получим х л» = "т у — )»» = 1» е — е» = «е т. е. искомые параметрические уравнения (2).

Связь между прежним параметром г и новым параметром е можно получить, сравннван, например, выражения для х иэ обеих систем уравнений (() и (2): а, + Ь»Г ,ге + Из уравнений (2) можно получить представаение координат переменной точки Р(х, у, л) нашей прямой, отнесенное к двум точкам этой прямой: Ра (х» у»» за) и Р,(хну„е,). П)сть переменной точке Р прямой соответст-.

вует эначейие т йарамстрл, э точке Р,— значение т,. Тогда х,'- х,+а»и х,— х, откуда э = — '. Подставив это выражение длн а в уравнение х=х,+ае, получим х= ~! — — 1 х, + — х, = Л,х,-/- Л,хо — *=Ли Выполнив то же самое для у и э, 'та уравнений'. где положено ! — — = Л, и получим следующую систему х=Лх,+Лхо у=Лу,+Лу„ Л я«+ Л~ло Положение любой точки прямой характеризуется парой чисел ?,, и Ло причем Л,+Л,=1. Нетрудно убедиться из равенств ! — — =Л, и — =Л„ учитывая сказанное выше о знаке параметра т, что для внутренних точек отрезка Р,Р, числа Л, и Л, положительны.

(Для точек прямой, лежащей вне этого отрезка, знаки Л, и Л, различны, причем за точкой Р, будет Л«)0 и Л, (О, а за точкой Р, будет Л«( О, Л,~ 0.) 3 а д а ч а. Составим уравнение плоскости, проходящей через точку М,(Х„ У„ Х«) и перпендикулярной к прямой, заданной параметрическими уравнениями х = а, -?- Ьтт, у = а, -(- Ь,Й я =- а, + Ь,Г. За нормальный вектор плоскости можно принять направляющий вектор данной прямой, имеющий координаты Ь„Ь„Ь,. Поэтому уравнение искомой плоскости можно записать в следующем эйде: Ь,х+Ь,у+Ь,а+(?= О.

Так как точка (Х„У«, Х,) лежит на этой плоскости, то имеем тождество Ь! Хо + Ьа У«+ ЬэХ«+ О = 0 Выразив иэ этого тождества неизвестный член 0 н подставив в только что найденное уравнение, получим уравнение плоскости, проходящей через точку М,(Х„ У«„ л«) перпендикулярно к прямой с направляющим вектором (Ьн Ь„йэ): Ь, (х — Х,) + Ь, (у — У,) + Ь, (э — Х«) = О. Аналогично, уравнение прямой на плоскости ху, проходящей через точку М, (Х„ У,) перпендикулярно прямой с направляющим вектором (Ьо Ь,), есть Ь, (х — Х,) + Ь, (у — У,) = О. Упражнения !. Показать, что числа «о Ео Т,; «„Ь„Т,; «„Ьм Т, (и 4), определяющие преобразование одной прямоугольной системы иоординат в другую, удовлетворяют соотношениям: ...,+Ь,р,+ТП,=О, «т«а + Ь«Ь«+ !Па =О, ...+ЬА+ТП,=О, 2.

Даны два вектора а н Ь с общим началом О и конечными точками А и В. Доказать, что вектор, идущий из точки О к точке М, делящей отрезок АМ АВ в отношении — - Л, дается формулой М — и -1- ? Ь (?Ы = — —— !+Л ' гв ГЛ.!. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ !9 Ц в д плошлдь тивугольиикл. ввктогиов умиожвиив 27 3. центр массы двух точек А и В (в которых сосредоточены равные массы) находится в середине отрезка АВ. Пентр массы вершин треугольника АВС (в которых сосредоточены равные массы) может быть определен как точка М, делящая отрезок СО в отношении СМ: МО = 2: 1, где Р— середина стороны АВ. Показать, что это определение не зависит от того порядка, в котором взяты вершины треугольника.

4. Пентр массы вершин тетраэдра РО(сЗ (в которыя сосредоточены равные массы) может быть определен как точка Ф, делящая отрезок ЗМ в отношении ЗФ: ЬГМ= 3: 1, где М вЂ” центр массы вершин Р, О, )г. Показать, что это определение не зависит от того, в каком порядке брать вершины тетраэдра, и что оно находится в согласии с общим определением центра массы системы материальных точек (т, 1, стр. 327, и' 9).

б. В тетраэдре РОРЗ середины ребер Р(), )гЗ, РК ОВ, РЗ, (2)6 помечены соответственно буквами А, А', В, В', С, С'. )(оказать, что все прямолинейные отрезки АА', ВВ' и СС' проходят через центр массы вершин тетраэдра и делятся в нем пополам. б. В л точках Р„ Р„ ..., Ря в пространстве сосредоточены соответственно массы т„ тм ..., т„. Пусть точка О в их центр массы. Обозначим через р„р„..., р„векторы, имеющие общее начало О и концы в точках ЄЄ..., Рт Доказать, что т,р, + льр„+ ... + т„р„О. ф 2.

Плошадь треугольника. Векторное умножение. Объем тетраедра 1. Площадь треугольника, построенного нв векторах а и Ь н плоскости лу. Для удобства вычисления приложим векторы а и Ь к началу координат. Тогда наш тре)гольник займет положение ОР,Р, (рис. 12 или 13), где стороны ОР, ~а,'=а, ОР,=~ Ь =Ь н угол между ними 6=6,— 6,. Если ввести полярные коорлинаты (г, 6) с полюсом О и полярной осью Ох„ Рис. 13. Рис.

12. то (а, 6,) — будут полярные координаты вершины Р„а (Ь, 6,) — полярные координаты вершины Р,. Угол Ь ) О при расположении рис. 12 и 6 ( О на рис. 13. Площадь нашего треугольника равна абсолютной величине выражения з.аЬа(пв= — аЬа(п(6,— 6,) = — аЬ(ми 6,соэв,— омз,а(пв,)= 1 1 . 1 2 ' ' 2 1 1 =ил. (асоэ6, ° Ьаш 6,— Ьс<иб, ° аз(ив) -(а Ь вЂ” ааЬ,). 2 Это выражение может оказаться как положительным, так и отрицательным; оно меняет знак при перестановке вершин Р, и Р, (ср.

рис. 12 с рис. 13). Ясно, что выражение 1 Г= —, (а,Ь,— лаЬ,) 2 28 гл, е основные понятия лндлитической геометнии (э дает площадь треугольника, построенного на векторах а н Ь, снабженное знаком плюс, если кратчайший поворот от вектора а до вектора Ь совпадает с йрннятын в нашей системс координат положительным направлением вращения, и знаком минус, если — с отрицательным. Но это направление кратчайшего поворота совпадает с направлением обхода вершки ОР»Рь Поэтому можно сказать и так: площадь Р положительна, если обход вершин треугоЛьника происходит з положительном направленци, И отрицательна, если обход вершин совершаетгя в отрицательном направлении.

Вместе с тем видно, что знак площади трс)тальника соответствует общему согаашенню о знаке площади, установленному в т. 1, гл. Ч, $2, п' 1 (стр. 311). Выражение а,܄— а,Ь„дающее удвоенную, снабженную знаком площадь ориентированного тре)тальника, принято записывать символически в следующем виде: 1 а, а, а,ь, — а,ь, = ~ ! ь, ь, н называть оаределияылги (или детерл»анащлаи) второго порядка. Теперь легко получить формулу длл птощади треугольника с верша»нам1а в точках А(л„у„),В(хьу,),С(х»,у). Этот треугольник построен на векторах АВ=(х» — л» У» У») и АС=(х» — х„у,— у»).Следовательно,его площадь 1[х» — х» У,— У»1 2 [л„— » у,— у» [' причем Р~О, если обход вершин АВС совершается в положительном направлении, и Р ( О в противном случае.

2. Векторное умножение двух векторов. Наряду со скалярным умножением важную роль играет вехэторное умножение двух векторов. Векторное произведение [аЬ) вектора а на вектор Ь определяется следующим образом ') (рис. 14). Приводим векторы а и Ь к общему началу О и строим иа ннх э пространстве [я Ы-а параллелограмм. Векторным произведением [аЬ) = с называется новый вектор с, кото- В рый перпендикулярен к плоскости парал- Ь' лелограмма, построенного на а и Ь, имеет модуль, численно равный плогцади этого 0 параллелограмма, н направлен в такую сто. рону, что тройка векторов а, Ь н с = [аЬ), взятая в этом порядке, имеет такую же а ориентацию (правую илй левую), как принятая в основу система коордонат х, у, л.

Так как в втой книге использу ется только А правая система координат, то у нас тройка векторов а, Ь, [аЬ) будет всегда правой Рнс. 14. системой, т, е. если шляпку правого винтэ, лежащую в плоскости векторов а и Ь (с центром в О), вращать от а к Ь по кратчайшему пути, то поступательное лвнженне вонга укажет направление вектора [аЬ) (см. рис. 14). асан векторы а и Ь (после приведения к общему началу) лежат на одной прямой, то надо положить [аЬ) О, так как площадь параллелограмма равна нулю. '1 В шператзрг встречаю»гя разлнчнме обозначения векторно~о произведения, как а;.Ь, ау,Ь и лр)~ие.

з х площадь тзивгольникл. вектоеноп гмножинип 29 Свойства векторного произведения. 1) Если д~ о и Ьфо, то [аЬ]=О з том и только в том случае, когда векторы а и Ь имеют либо одинаковые, либо противоположные направленин. 'Действительна, при этом и только при этом условии равна нулю площадь парадлслограмма, построенного на векторах а и Ь, 2) Вместо переместительного закона имеет место закон, который можно назвать интииеремеетительным: [Ьа] = — [аЬ|.