1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (Курант 1978 Курс дифференциального и интегрального исчисления ч2), страница 4

С него был сделан русский перевод, опубликованный в 1931 г. Дополнения, внесенные автором во второе немецкое издание (1931 г.), ие успели включить в русское издание. В 1936 г, был напечатан при участии автора английский перевод второго тома с многочисленными изменениями и дополнениями, а в 19бб г. вышло третье исправленное и дополненное немецкое издание. Что интерес к этой книге не ослабевал, доказывают многочисленные последующие допечатки (уже без изменений) обоих вариантов второго тома (английского до 1945 г. и немецкого до 1963 г.). В настоящем русском издании соединен весь материал, содержащийся в английском варианте второго тома и в его третьем немецком издании.

Как и в первом томе наибольшие по объему дополнения взяты из английского издания — это главы Ч11 и ЧП1, посвященные элементам вариационного исчисления и теории функций комплексной переменной, а затем многочисленные задачи и упражнения ко всему содержанию книги, а также ответы н указания к ним. В работе над переводом мы руководствовались главным образом интересами самого широкого круга советских читателей и прежде всего нуждами наших студентов. Для того чтобы возможно лучше приспособить книгу к их потребностям, мы позволили себе сделать кое-какие изменения и перестановки. Кроме того, книга снабжена добавлениями, вставками, пояснительными примечаниями. Для облегчения чтения все это помещено в тексте в квадратных скобках. Замеченные недосмотры исправлены без специальных оговорок.

Нет сомнения, что и второй том будет полезным пособием для широкого круга преподавателей математики, а также для аспирантов и научных работников в различных областях физики и техники; его 12 ПРВДИСЛОВИВ КО ВТОРОМУ РУССКОМУ ИЗДАНИЙ К несчастью, под этим предисловием уже не может подписаться Ю. Л. Рабинович. 18 марта 1968 г. Юлий Лазаревич скончался.

Москва, 6 мари 1969 г, 3. Г. Лпбгш с интересом и пользой будут штудировать студенты инженерно-физических вузов. С удовольствием благодарю И. С. Аршона и А. М. Олевского за весьма существенные замечания и советы, а также А. Ф. Лапко за внимательное редактирование книги. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ НЕМЕПКОМУ ИЗДАНИЮ Настоящий эзключительный том моих лекций по дифференциальному и интегральному исчислению посвящен главным обрззом учению о функциях многих переменных. Я старался следовать тому же днлактнчесноьгу принципу, что и в первом томе: мотивировать построение понятий и методоя нх естестиенным происхождением из наглядных истоков и везде по ноэможпости облегчать аоступ к приложениям.

Эти стремления вполне совместимы с требонаниями строгости. Для начинзюших математиков я хочу подчеркнуть, что было бй вредным педантизмом требовать штудирования такой книги страницу за страницеи в предложенном порядке. Тот, кто хочет быстро усвоить самые необходимые сведения, может сначала прочитать вторую, затем четвертую главу и лишь потом заполнить пробелы чтением третьей главы и дополнений к прочитанным главам, А некоторым читателям вообгце нет необходимости предвзрнтельно систематически изучать первую главу.

Геттинген, ноябрь !928 г. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ НЕМЕПКОМУ ИЗДАНИЮ Во втором издании этого тома, помимо улучшений и исправлений помещено некоторое число значительных по объему добавлений. Укажу, в частности, на расширение главы о дифференциальных уразнениях н на включение нового раздела о гамиа-функции. Р. Кураллт Геттинген, сентябрь 1931 г. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ ...

Англниское издание во многом отличается от немецкого и содержит много догюлнительного материала. В частности, весьма расширенз глава о дифференциальных уравнениям добавлены главы о ва- 14 плвдисловив к тлвтьпмл нвмзтткомн изданию Нью-рошель, Нью-йорк, март 1936 г. Р. Курант ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ НЕМЕЦКОМУ ИЗДАНИЮ Третье издание отличается от второго главным обрззом большим числом дополнений, взятых из вышедшего тем временем в свет английского издания. Р. Курант Нью-Рошелтч январь 1965 г. ') В русском издании это приложение напечатано а конце первого тома 'Прим. летаев.) риационном исчислении и о функциях комплексной переменной, а также приложение о действительных числах'). ... Я должен выразить благодарность друзьям и коллегам, которые помогли мне в подготовке рукописи к печати, чтении корректур и составлении упражнений, в первую очередь д-ру Фриц Джону, мисс Маргарет Кеннеди, а также д-ру Шенбергу.

ГЛАВА 1 КРАТКИЙ ОБЗОР ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Математические факты, составляющие главное содержание этого второго тома, часто находят нзглядную иллюстрацию и применеййе с помощью простых основных понятий аналитической геометрии н векторного исчисления. Поэтому, хотя мы и вправе предпоаагать, что читатель уже знаком с этими дисциплинами, представляется целесообразным дать сводку их элементов в краткой вводной главе. Однако необязательно изучить эту главу перед чтением остальной части книги; читателю рекомендуется обращаться к изложенному здесь материалу всякий раз, когда в атом встретится надобность при изучении дзльнейшпх разделов.

ф 1. Прямоугольные координаты н векторы !. Системы координат. Лля указания положения точки на плоскости илн в пространстве, как известно, обычно пользуются прямоугольной системой координат. На паоскости выбирают две взаимно перпендикулярные прямые, ось х и ось у, в пространстве — три взаимно перпендикулярные прямые, осн х, у п е. Берут общую единицу длины для всех осей и всякой точке плоскости обычным способол» приводят в соответствие координаты х и у, а каждой точке пространства — координаты х, у, л (рис. 1).

Обратно, каждой л системе значений (х, у) илн (х,у, е) соот. ветствует одна и только одна точка плоскости или пространства. Всякая точка вполне определяется своими координатами. Запись Р (х, у, е) и ()(х, у) будет обозначаття точка Р пространства имеет координаты х, у, я и , / точка (у на плоскости имеет координаты х, у. (с Р Расстояние д между двумя точками » плоскости с координатами (х„у,) и (хм у,) выражается, на основании теоремы Пифагора, , '/» формулой / »» д = Р' (х, — х,)'+ (у, — у,)', а расстояние междудаумя точками (х„уь е,)» у» 0 и (хм у„е,) е простракстее — формулой '/ » -"г У д = Рс(хе — х,)" + (у, — у,)'+ (я, — л,)'.

с В частности, расстояние точки Р(х,у, л) от Р --с' начала координат есть с=рсха+уз+ ее. Рис. 1. При построении прямоугольной системы координат следует уделить особое внимание вопросу об ориентировке или ориентации этой системы. В каждой системе координат (х, у) на плоскости положительным счи- тается то направление вращения, при котором поворот положительной осп (Е ГЛ.!. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЛНЛДИТИЧРСКОЙ ГЕОМЕТРИИ х на 90' вокруг начала координат совмещает ее кратчайшим путем с положительной осью у. Если зто положительное вращение проислодит против часовой стрелки, то система координат называется правой (рис. 2), если же по часовой стрелке, то — левой сиеюемой (рис.

3). Не выводя из плоскости, невозможно перевести жестко связанную правую систему координат в левую систему никаким движением в втой плоскости. Рис. 2. Рнс. 3. Совершенно такую же классификацию можно )становнть для систем координат в пространстве. Вообразим себе наблюдателя, стоящего на плоскости ху так, что голова его направлена в сторону положительной оси л; тогда возможны две пространственные системы, различающиеся по той орнснтапии, которую имеет система координат в плоскости ху с точки зрения упомянутого наблюдателя.

Если зта система †прав, то и пространственная Рис. 5 Рнс. 4 система х, у, л называется правой (рнс. 4), если же система х, у представляется наблюдателю левой, то и система .г, у, я называется лавой (рнс. 5). Две различные ориентации пространственной системы можно наглядна иллюстрировать с помощью правого и левого винта. Если привести плоскость ху во вращательное движение в себе самой вокруг оси - в направлении, указанном ес ориентировка!Н и сообщить ей одновременно поступательное движение в ссорону ссоложсссессьнойс оси л, то результирующее движение будет лля правой системы лащкгнием обычйого правого винта (рис. 4), а для левой сит~сны — движением левого винта (рнс. 5). Никаким движением в й к пвпмолгодьнып коовднндты н впитаны 2] пространстве жестко связанной системы осей х, у, л невозможно левую си- стему сделать цравой.

В дальцейшем мы всегда будем пользоваться только правой системой координат. Разумеется, и любой сцстеме трех произвольных осей, проходящих через одну точку н не лежащих в одной плоскости, можно припнеать опрелеленную ориентацию таким же путем, как зто было сделано для системы »»рямоуголь- 2 иых координат х, у, л. 2.

Нпцрйвлейпв и векторы. Всякую ориентированную, т. е. направлецц]'ю в 8 определенную сторону прямую ! в про- 3 странстве или на пвоскостн мыбудемназывать осью. Любая такая ось указывает да некоторое направление. Всякая лругая ориентированпая прямая, которую мож- 0 з' но спвместить с осью ! параллельщям переносом, сохраняя при этом ориентацию, считается прялставительяицей того же направления.

Длн того чтобы задать какое-либо направленно ! отноРис. 6. сительно данной системы координат, проводят нз начала координат ориентированную по>упрямую того же на- правления н на ней берут точкт на рйсс]нянин 1 от начата; координаты (а, й, 7) этой точки равны косин»сам углов Ь„ Ь, и Ь», образтемых ориенти- рованной прямой 1 с поаожптельными осями х, у, х ') и называются вп- »»равляю»ц»»ми ко»инусял»и данного направления ! (рнс.