1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (Курант 1978 Курс дифференциального и интегрального исчисления ч2), страница 8

Он вытекает непосредственно из определение направления векгарнога произведения. 3) Если « и й — действительные числа, то [«а УЬ] = «Ь [аЬ]. Если хоть одно из чисел «и 5 равно нулю, то в обеих частях это~о равенства стоит нуль-вектор. Если «) О и [э~ О, та это равенства вытекает из того факта, па прн этом вектор «а имеет отгинаковое направление с а, вектор уа — то же <амое направление, па и Ь, а параллелограмм, построенный на векторах «а н УЬ.

имеет площадь, болшиую в «Ч раз площади параллелограмма, построенного на а и Ь, и лежит з тай жс плоскости, что и последний. Нетрудный па существу, но кропотливый разбор всех возможных комбинаций знаков чисел «н Ь обнаруживает справедливость свойства 3 при всех действительных значениях «и О, 4) Векторное произведение подчиняется риснределиьнельно.ир законт: [а (Ь + с)] = [аЬ] + [ас1, [[Ь + с) а] = [Ьа) + [са]. Лостаточно доказать перв)чо из этих формул, так клк вторая вытекает из первой на основании свойства 2 — антнпереместительного закона.

дты дадиьт для векторного произзеденил [аЬ] такое геометрическое построение, которое сразу обнаруживает справедливость распределительного закона. Проведем через общее начало О векторов а и Ь плоскость Е, псрпенликулярную к вектору и. На рнс. 15 эта плоскость перпендикулярна к плоскости чертежа. Ппросктируем вектор Ь иа плоскость Е и получим вектор Ь' = 0В' — компоненту вектора Ь в плоскости Е.

Тогда [дЬ'] = [аЬ], так как, во-первых паралтелограмм, по- Ь строенный на д и Ь', равновелик параллелограмму, построенному на а и Ь, а во-вторых, векторы |аЬ'] п[аЬ| имеют одинаковое направзеннс, пба и, Ь, Ь' лежат в одной плоскости и нгправзс- Рпс. 15. ниа вращения (по кратчайшему пути) от а к Ь' то же самое, чта ат а до Ь. Так как а н Ь' взаимна и рпендикуларны, то | [дЬ']! =| [дй) | =,'а | ° |Ь','. Поэтому, удлинив вектор Ь' а | а | раз, получим вектор Ь', имеющий тот же модуль, что и [аЬ'|*=|аЬ], Па [аЬ! перпендикулярен как к вектору а, так и к Ь; поэтому вектор ]иЬ] па«учите« нз Ь поворотам на 90 вохр)г нектара а как оси. Притом иэ конца вектора а это вращение должйа выглядеть как пазожитеш ное; такое врзщснйй мы б деьь называть ио)олсительным вращением вокруг вектора а кан оги.

|Это значит следующее: если в основу положена, кзк в этой книге, праван система координат, то положительное вращение вохр>г а соатветств)ст направлению вектора а 30 ГЛ. Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ (8 по правилу правого винта, а если в основу положена левая система координат, то в по правилу левого винта.1 Итак, векторное произведение [аЬ] можно построить следующим образом: сперва ортогонально проектировать вектор Ь на плоскость Е, перпендикулярную к а, полученную компоненту удлинить в ] а ] раз и затем повернуть вокрут вектора а в положительном направлении на 90 . Теперь приступаем к доказательству распределительного закона: [а(Ь+ с)]=[аЬ]+ [ас].

Векторы Ь=ОВ и с=ОС являются сторонами параллелограмма ОВОС, диагональ которого ОО=Ь+ с. Три операции: проектирование, удлинение и поворот мы теперь выполним не над отдельными векторами Ь, с, Ь + с, а сразу над всем параллелограммом ОВОС. 0 Ь' 6 6 Рис. !6. На рис. 16 изображена проекция ОВ'0'С' этого параллелограмма на плокость Е, перпендикулярную к вектору ас эта плоскость Е представлена теперь плоскостью чертежа, а вектор а, не изображенный на рисунке, направлен вертикально вверх.

ВекторыОВ'=ЬЧ ОС'=с' и 00'=Ь'+с' являются компонентами векторов ОВ, ОС и ОО на плоскость Е. Над параллелограммом ОВ'Р'С производим преобразование подобия с козффициентом подобия, равным ]а]. Получился параллелограмм ОВ"0"С, который мы затем вращаем в плоскости Е вокруг вектора а как оси на 90' так, что направление вращения образует с вектором а правый винт. В итоге получится параллелограмм ОВ,О,С„ сторонами которого являются векторы бВ, = [аЬ] н дС,=[ас], а диагональный вектор ОО, =[а(Ь+ с)]. Тем самым подтверждается равенство [аЬ]+ [ас] = [а (Ь+ с)].

В физике векторное произведение двух векторов используется для определения момента силы относительно точки. Сила Р, приложенная в точке с радиус-вектором г, имеет относительно начала координат момент [гР]. 3. Вычисление координат векторного произведения по коордииатам перемиожаемых векторов. Найдем сначала попарные векторные произведения ортов координатных осей. На основании свойства 1 [е,е,] = [еае„] = [е,е,] = О, 4] в х плошадь тввкгольинкл.

ввктовнов гмножвннв з! а из определения векторного произведения вытекает, что [е,е,] =е„ [е,е,] =е„ [свет] = ем [е,е,) = — еи [еаеа] = — еь [е,еа] = — е,. Пусть теперь векторы а и Ь заданы своими координатами: а = (аь а„аа), Ь = (Ьо Ью Ь,). Выразим эти векторы через орты осей координат а = а,е, + а,е, + а,еь Ь = Ь,е, + Ь,е, + Ь,е,. Па основании распределительного закона и свойства 3 имеем [аЬ] = [(а,е, + л,е, + а,е,) (Ь,е, + Ь,е, + Ь,е,)] = =аЬт [е е ]+ атла [е е ]+ а Ь, [е е ] + ааЬ! [е е ]+ а Ь, [е е ]+ а Ь, [е е ] -]- +а,Ь, [е,е,]+а,Ь, [е,е,)+а,Ь, [е,е,].

Подставив сюда только что найденные парные векторные произведения ортов координатных осей, получаем [аЬ] = (а,Ьа — а,Ь,) е, + (а,Ь, — атба) еа + (а,Ь, — а,Ь,) е,. Отсюда вытекает, что коорлинаты векторного произведения с =[а6] выража ются так: "=!': ':! "=!': !=-!" "! "=!" "! 4. Объем твтраэдри. Рассмотрим тетраэдр (рис.

!7), одна вершина которого есть общее начало М векторов а=(ао а„а,), Ь=(Ьн Ь„Ь,) и с=(си с„са), а остальными вершинами являются концы А, В, С г этих векторов (на рис. !7 Мх, Му, [а,Ь] ~ Мл — прямые, параллельные осям 1 координат.) Для того чтобы выразить 1 ---С объем этого тетраэдра через координаты определяющих его векторов, поступим так. Примем за основание ~Ь тетраэдрз треуго.тьник, построенный на векторах а = МА и Ь = МВ, пло- д( ]" Ь щадь которого 3 численно равна Лт ... ]7 2 ![аЬ]~. Это векторное произведение направлено по перпендикуляру, опущенному из вершины С на пло- а скость треугольника МАВ.

Длина И этого перпендикуляра (высота тет. раэдра) равна, с точностью до знака, проекции вектора с = МС на на- Рис. 17. правление вектора [аЬ), т. е. скалярному произведению а с, где и' — единичный вектор, указывающий направление [аЬ]. Само векторное произведение [аЬ] = ![аЬ]~и'. Так как объем У ! 1 тетраэлра равен -ВИ, а Ю=- ( [аЬ] [, то 1 1 1'= „- [[аЬ][а'с = о [аЬ] с, причем это выражение может оказаться как положительным, так н отрицательным, нбо (см. выше) Ь может отличаться знаком от скалярного а д сведвния оз опвиделитилях У п р а ж н е н и я ') 1. Вычислить расстояние от точки Р(х„у„я,) до прямой 1, заданной параметрическими уравнениями х=а1+Ь, у=г1+а, з=е1+У.

2. Найти условие, при котором три вектора а = (а„а„аа), Ь = (Ь„Ь„Ь»), с= ен с„ст) параллельны одной плоскости. . Вывести условие того, что две прямые линии х=а,1+хо х=Ь,1+хм у=а,г+у„и у =Ь,с+ум х=атг+л, з =Ь»1+за либо пересекаются, либо параллельны. 4». Найти кратчайшее рзсстонние между двумя прямыми 1 и 1', задан- ными уравнениями х=а1+Ь, у=сг+а, и з = е1+у 5. Показаттч что плоскость, проходящая через трн точки Р, (хн у„л,), Р,(х„у„а„) и Р,(хну„г,), имеет уравнение х,— х у,— у з,— г ха — х ут — у зт — з =О.

ха х Ув — У ха 6. Тело вращается равномерно с угловой скоростью» вокруг оси, проходящей через начало координат н имеющей направляющие косинусы (», 3, 1). Найти скорость точки Р(х, у, г). 7. Доказать тождество 1!агранжа [аЬ) т = ) а !а ° ) Ь )т — (аЬ)-'. 8. Площадь выпуклого многоугольника на плоскости ху с вершинами Р,(х„у,), Р,(хну,), ..., Р„(хя,у„) равна половине абсолютной величины 9», а) Доказать неравенство а Ь с (у= а, Ь, с, ~рг(ат+Ь'+с')(а3+Ь',+с3)(а3+Ь3+с3). а, Ь, б) При каком условии имеет место знак равенства? $ 3. Элементарные сведения об определителях второго и третьего порядка 1. Законы составления н основные свойствв Определители второго и третьего порядка, участвующие в формулах для площади треутольиика и объема тетраэдра, и их обобщение — ояределиглель я-го порядка, играют важную роль во всех областях математики, в качестве аппарата для произ- ') Более трудные упражнения отмечены звездочкой.

2 Р, Курант 34 ГЛ. 1, ОСИОВНЫН ПОНЯТИЯ АИАЛИТИЧПСКОЙ ГПОМПТРИИ (! водства различных формальных вычислений в сжатом и легко обозримом виде. Свойства определителей ыы здесь выведем на примере определителей второго и третьего порядка; определитеан более высокого порядка нам редко понадобятся. Следует, однако, подчеркнуть, что все осцовные теоремы, принадлежащей формулйровке, справедливы и для определителей любого порядке.

Для ознакомления с их теорией читателю следует обратиться к курсам алгебры и теории определителей '). Определители а, Ь, с, а, Ь, с, а, Ь, с, представляют собой выражения, составленные по установленному правилу из своих элементов а„ Ь„ а„ Ь, и л„ Ьь с„ а„, Ь„ с„ аи Ь„ с,. Горизонтальные ряды (например, ан Ьо с,) называются еюрояами, а вертйкальные ряды (например, со с„ е,) — сюолбцами определителя. О вычислении определителя второго порядка все сказано в определяющей его формуле а, Ь, ~ = а,ба — азбн (!) лт Ьз а для определителя третьего порядка приведем правило Сарруса, которое хорошо показывает симметричный характер закона составления этого определителя; П осле третьего столбца вновь переписывают первые два столбца; затем вычисляют произведение каждой тройки чисел, стоящей на одной из шести прямых, составляющих >тол 45' с горизонталью; три произведения — тех троек, которые идут сверху и слева направо и вниз, снабжают знаком плюс, а остальные три произведения — знаком минус, и все шесть членов складывают.