1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (Курант 1978 Курс дифференциального и интегрального исчисления ч2), страница 5

6). Согласно фор- муле расстояния тачки от начала, зтн направляющие косинусы удовлетво- ряют соотношению а»+р»+»=1, Если ограничиваться плоскостью ку, то всякое направление в этой плов» скости определяется углами Ь, и Ь, (Ь»+Ь, =-,— ), которые ориентированная полупрямая 7, идущая пз начала коорй лннат в указанном направлении, образует с поаожительнымп осями х и у, либо направляющими косинуса>»и а =соя в, и »Ч= сов в„которые теперь ]довлетворяют соотношению (ркс. 7): » че + Ь» = 1.

х О~резок данной длины н данного направления называется аея»порою; точнее, ганзинныл» вектором, если его начальная точка фиксирована в пространссве, и сво- бодным лекюо»том, если поаожсппе начальной точки безразлично. На после- дующих страницах, а также на протяжении по пи всей книги, мы будем часто опускать прилагательное «свободный» н (если не сделана специальная ого- ворка) будем всегда считать векторы свободными. Векторы мы будем обо- значать йолужнрны>» латинским »прифтом:а, й, с,х, 4, а на цисьме †чер- точкой над бтквой, обозначающей вектор.

Вектор с начальной точкой Я и конечной точкой В бтдсч обозначать символом АВ. ') Угол, образуемый одной ориентированной прямой в пространстве с другой, всегда можно брам мяжд»у 0 и ь так как в дальнейшем придется иметь дело только с косил»самы ужах >плон 18 гд. т. основные понятия лиддитической геометгии [э Два (свободных) вектора называются разными, если одни из них можно совместить с другим путем параллельного перенесения. Длину вектора а называют также его модулелг и обозначают символом [ а ! нли той же буквой а обычного шрифта. Если из начальной и конечной точки вектора а опустить перпендикуляры на ось 1, то получим на ней соответствующий вектору а направленный отрезок.

Если направление этого отрезка совпадает с ориентировкой оси 1, то его длина называется нроекцией лектора а на ось 1; если же оба направления противоположны, то ирогкцией лектора а ка ось ! называется длина етого отрезка, взятая со знаком минус. Проекцию вектора а а на ось 1 обозначают символом а!. Пусть Ь вЂ” угол между вектором а и осью ! (рис.

8). [На рис. 8 вектор а перенесен так, что его начало лежит в одной из точек оси проекций. В пространственном случае плоскость чертежа есть плоскость, проходящая через ось проекций и новое ~ — — [а[логд — — ~ положение вектора а). Тогда в обоих слу- чаях Рис. 8. а! = ~ а ~ соз Ь. Проекции вектора а на три оси какой-либо системы координат обозначают через ан а„ а„ а углы этого вектора с осял~и х, у, г через Ь„ Ь„ Ь,. Согладно последней формуле, а,=, 'а )соаЬн а,=[а ~соаз„а„!а (созЬ,.

(") Возвышая эти равенства в квадрат и складывая, получим а', +а,'+а,'=~ а 1э(сова в, +сов'Ь, +сов'Ь,) =а', откуда ттгзтгзл,~н =у~.~~т Проекции ао а„а, вектора а на оси х, у, з называются координатами этого вектора. Вектор вполне определяется своими координатами.

Поэтому равенство двух векторов а = Ь равносильно системе трех численных равенств аг=Ьн ла — — Ьа ив=да Мы будем пользоваться записью а=(ао а„аа) в следующем смысле: а есть вектор с координатами ао а„ а,. На плоскости ху вектор а = (ао аэ), причем для указания направления достаточно одного угла Ь, (угол поворота от положительной полуоси х до вектора а), ибо Ь, = — — Ьо Вектор а на плоскости вполне определяется 2 также своим модулем а и углом Ь,=Ь (азимутом илн полярным углом вектора), если принять начало О за полюс, а положительную полуось х — за полярную ось. Формулы перехода от полярных координат вектора к его прямсбтольным координатам: а, =асоа6, а,=а ап Ь.

Вектор, длина которого равна 1, называется единичным вектором. Его проекция на любую ось равна косинусу угла между этим вектором и осью. Единичный вектор, имеющий направление вектора а, мы часто будем обозначать а'. Ясно, что а' (созьо совью соаьа), где ь„ь„ь,— углы, составляемые вектором а', а',значка' н а, с осями координат, з1 $ К ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ Пользование векторными обозначениями естественно и выгодно по двум различным причинам. Во-первых, многочисаенные геометрические понятия и еще большее количество физическик понятий, как, например, сила, скорость, ускорение, непосредственно возникают как векторы, независимо от выбранной системы координат.

Во-вторых, для вычислений с векторами можно установить простые правила, аналогичные правилам действий иад числами, и при помощи этих векторных операций многие рассужления и выкладки значительно упрощаются и могут проводиться в форме, не зависящей от случайно выбранной системы координат. 3. Сложение векторов.

Начнем с определении суммы двух векторов а и Ь. Для этой цели переместим вектор Ь параллельно самому себе так, чтобы его начальная точка совпала с конечной точкой вектора и. Тогда начальная точка вектора а и конечная точка вектора Ь определяют новый а+Я+о) йг+Ю+о Рис. 9. Рис. 10.

вектор с, начальная точка которого совпздает с начальной точкой вектора а, а конечная точка — с конечной точкой Ь. Вектор с называют суммой векторол а и Ь н записывают это так: а+ В=- с. Рассмотрение рис. 9 и 1О показывает, что сумма векторов подчиняется яерел!егтитгльному закону: а+Ь=Ь+а, и гочетательному закону. а+(Ь+ с) =(а+ Ь)+ с =а+ В+ с. Прямым следствием определения сложения векторов является следующее векторное тождество; А!А!+ АьАь+ -"+ Ая-тАл = АтАя В частности, проекции суммы а+ Ь на координатные оси равны соответ- ственно а,+Ьо а,+Ь„а,+Ь„ а+Ь=(а,+Ь„а,+Ьм а,+Ьь). так что Это значит, что для нахождения стммы двух векторов имеется следующее простое правило; любая координата вектора, являющегося суммод нескольких векторов, равна сумме гоол!летствующих координат слагаемых векторов.

справедливое при любом расположении точек Ао А„..., А„. Из определения сложения векторов непосредственно вытекает т е о р е ив о прае к ци я х: яроекция суммы двух или нескольких векторов на ось 1 равна сумме ироекций глагаеммх векторов на ту же огь! (а+ Ь)! = а, 1-Ьь ~о ГП. К ОСИОВНЫС ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Всякая точка Р (х, у, т) может быть определена своим радиус-агкгнором (г = ОР), т.

е. вектором, идущим от начала координат к опредеаяемой точке; координатзми раднгг-вектора являются как раз кооРдинаты точки Р. Возьмем трн гднничных вектора, каждый иэ которых имеет поаожптеаьное направленно одной нз осей кгюрдннат: е, по направлению осн л; е„ по направленою осн у и е„ по направаснню оси х. Единичные векторы ео е„ е„ называются ореалщ координатных осей.

Вези вектор а имеет координаты а„ а„ и„, то вектор а = а,е, -(- а,е„ + а«е,. Векторы а, =- а,ео а, = а,ем а, = а,е, называютсн соеюаааяюсцими нан колтнонентнйлги вектора а по осям координат (см. ниже п" 5). 4. Преобразований коордннат. С помощью формузированной выще теоремы о проекциях аегко получить формулы преобразования координаан оыражмощнс координзты х',у', а' данной точки Р относнтеаьно системы осей 0»', Оу', Оа' через координаты х, у, г этой точки относительно другой системы осей Ох, Оу, Оа, предполагая, что обе системы координат — прямоугольные и имеют общее начало О. (Поворот системы координат вокруг начала 0 является частным случаем такого преобразования.) Три новые оси образуют с тремя старыми осями углы, косинусы которых даны в саедгющей таблице, не нуждающейсн в поясненищ х у « И эв Из нее видно, например, что косинус «таа межд«осью х' н осью т ранен;„ н т.

д. Иэ точки Р опустим перпендикуаяры на осн Ох, Оу, От; несть основаниямн этих перпендикуляров бтдут точки Ро Рм Р, (сн. рнс. 1 на стр. 15), ВектоРы Оро ОР„ОР, ЯваЯютск состаззЯющичн вектоРа ОР по напРаваенням осей х, у, т. Поэтому ОР= ОР, + ОР«+ ОРт. Согласно теореме о проекциях, абсцисса х' точки Р, как проекция вектора ОР на ось х', равна сумме проекций на ось х' векторов ОР„ОР„ОРб так как напРавлЯющие косинУсы осн х' в слет~ ме х, У, г с«ть «о Ро .(о то пРоекции этих вектоРов на ось л' Равны соответственно «,х, Зст, Т,з, а стало бмть, х = «,х + Рьт + Т~э Г)родсэав аналогичные рассуждения дэя у' н е' (в системе л, у, з напРаванющпе когин«сы осн У' Равны «а, З„т„а напРаванющпе косинУсы оси г' — «о,"„, 1„), щщгчнч сзсдующне форну ты преобразования координщн; .»' = «,х+ В,у+ Т,а, У' =- «эх+ 3 У+ Те, а' = т.,л + ,т„у + („а э) Ь 1.

пвямдугодьнь(и кооэйиидты и ииктоэы н обрзтную систему формул: х = а,х'+ а,у'+ ььг', у = р«х + рьу'+ эьг' г = Пх'+ УьУ' + У„г'. Так как координаты связанного вектора е вырикаются форнуламн о, =х„— х„о, =-у„— ун о, = гь — г„ где (хо уо г,) — координаты начальной точки вектора е, а (хе у„г,) — координаты его конечной точки, то для координат лектора получаются те же формулы преобразования, что и для координат точки: о', = а,о«+ д«оь + Вон оь = аьо«+ учоь+ уьо« о,' = «,о, + р„о, + 1,ое 6.

Умножение вектора на число. Для суммы равных векторов естественно ввести следующее обозначение; о+е=йе, е+е+е=йе и т. д. В соответствии с опрелеленнсм сложения векторов, в порядке обобщения этого обозначения, вводим следующее определение умножения вектора на ~исаа. Ороизаедекием се или ес леха«эра е кп число с называется новый вектор, длина которого равна (с( ° ~ е) и направление которого при с)0 совпадает с направлением е, а при с ( 0 противоположно направлению вектора е; если с = О, то произведение се = ес есть нуль-вектор с координатамн (О, О, О).

Нуль-вектор обозначают просто символом 0 (нуль). Если вектор е = (о„ о„ о,), то вектор-произведение ее = (со„ сом со,). Умножение вектора нз число подчиняется, по определению, иереместителько,иу закону се =- ес. Нетрудно доказать, что оно подчиняется и распределительному закону в следуюнтнх двух видах: («+ р) и=-пи+)и, ь (и+е) =пи+ ге. Легка также показать, что и (йн) = (аР) и. Произведение ( — 1) е есть вектор, рааколро«лилоположный вектору е, т. е. вектор, имеющий тот жс ьщдуль, что и е, и направленный в противоположную сторону. Его обозначают короче так: ( — 1) е= — и, Вектор е и единичный вектор е' того же направления связаны равенст- 1 вами е=(е1е =-ое' и е = — и. 8.