1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (Курант 1978 Курс дифференциального и интегрального исчисления ч2)

15 15 17 ]9 20 21 21 24 Зб 27 Р.курант КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Том 2 Книга представляет собой мастерски написанный крупным математиком курс математического анализа„адресуемый автором «будущим учителям и научным работникам в области математики, физики и других естественных наук, а также инженераю>. Первый том был впервые издан на русском языке в 1931 г. Последнее, 4-е издание первого тома, переработанное и значительно дополненное, вышло в конце 19б7 г. Второй том посвящен главным образом дифференциальному и интегральному исчислению функций многих переменных, По сравнению с первым русским изданием, вышедшим в 1931 г., настоящий перевод содержит многочисленные добавления автора, появившиеся в последних изданиях на немецком и английском языках.

Книга может служить полезным учебным пособием для студентов и преподавателей университетов, педагогических институтов и втузов с повышенным курсом математики. Содержание Предисловие ко второму русскому изданию 11 Из предисловия к первому немецкому изданию 13 Из предисловия ко второму немецкому изданию 13 Из предисловия к английскому изданию 13 Предисловие к третьему немецкому изданию 14 Глава 1. Краткий обзор основных понятий аналитической геометрии и векторного исчисления 9 1. Прямоугольные координаты и векторы 1.

Системы координат 2. Направления и векторы 3. Сложение векторов 4. Преобразование координат 5. Умножение вектора на число б. Скалярное произведение двух векторов 7. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов 8. Уравнение прямой на плоскости и уравнение плоскости в пространстве 9. Уравнение прямой в пространстве Упражнения 9 2. Площадь треугольника. Векторное умножение.

Объем тетраздра 1. Площадь треугольника, построенного на векторах а и Ь в плоскости ху 27 2. Векторное умножение двух векторов 3. Вычисление координат векторного произведения по координатам перемножаемых векторов 4. Объем тетраэдра Упражнения з 3. Элементарные сведения об определителях второго и третьего порядка 1. Законы составления и основные свойства 2. Понятие об определителе четвертого и вообще любого порядка 3. Приложение к системе линейных уравнений Упражнения я 4. Лффинные преобразования и умножение определителей 1.

Лффинное преобразование плоскости и пространства 2. Умножение аффииных преобразований и разложение общего аффинного преобразования на примитивные преобразования 3. Геометрический смысл определителя преобразования и теорема умножения определителей Упражнения Смешанные упражнения к главе 1 Глава П. Функции многих переменных и их производные 8 1. Понятие функции многих переменных 1. Функция и область ее задания 2. Простейшие типы функций 3. Геометрическое изображении функций 8 2. Непрерывность 1.

Определение 2. Понятие предела функции нескольких переменных 3. Порядок малости функции Упражнения 8 3. Частные производные от функции многих переменных 1. Частные производные и их геометрический смысл 2. Существование частных производных по х и по у и непрерывность функции 3. Изменение порядка дифференцирования Упражнения 28 30 31 33 33 33 37 37 40 41 41 46 50 50 54 54 54 58 59 59 59 61 62 64 65 65 68 69 73 8 4. Полный дифференциал функции и его геометрический смысл 1. Понятие дифференцируемости 2.

Производная по заданному направлению 3. Геометрическое истолкование. Касательная плоскость 4.Полныйдифференциал функции 5. Применение к исчислению огпибок з 5. Сложные функции и введение новых независимых переменных 1. Сложные функции и их непрерывность 2. Теорема о дифференцируемости сложной функции, составленной из дифференцируемых звеньев 3. Вычисление частных производных от сложной функции правило цепочки 4. Полный дифференциал сложной функции. Инвариантность полного дифференциала первого порядка 5. Введение новых независимых переменных Упражнения 8 6.

Теорема о среднем значении и формула Тэйлора для функции многих переменных 1. Постановка задачи и предварительные замечания 2. Теорема о среднем значении 3. Формула Тэйлора для функции многих переменных Упражнения 8 7. Применение векторных методов 1. Векторная и скалярная функция точки — векторное и скалярное поле 2.

Векторная функция скалярной переменной и ее производная 3. Длина дуги пространственной кривой. Дифференциал дуги 4. Кривизна пространственной кривой 5. Приложение к механике точки. Разложение ускорения на касательно и нормальное 6. Градиент скалярного поля 7. Дивергенция и ротор векторного поля Упражнения Дополнения к главе П з 1. Принцип точки сгущения в пространстве многих измерений и его приложения 1. Формулировка принципа точки сгущения 74 74 78 81 83 84 85 85 87 90 96 97 98 99 100 102 104 105 108 109 112 114 115 115 115 2. Некоторые понятия теории точечных множеств 3. Теорема Гейне — Бореля о покрытии Упражнения З 2. Более подробное исследование понятия предела функции многих переменных 1.

Двойные последовательности и их пределы 2. Двойной предел в случае непрерывно изменяющихся независимых переменных 3. Теорема Дини о равномерной сходимости монотонных последовательностей функций Упражнения з 3. Однородные функции Упражнения Смешанные упражнения к главе 11 Глава П1. Построение дифференциального исчисления и его приложения 9 1. Неявные функции 1. Общие замечания 2. Геометрическое истолкование 3. Теорема существования неявной функции и правило ее дифференцирования 4. Примеры 5. Теорема существования неявной функции нескольких переменных 6. Доказательство существования и непрерывности неявной функции Упражнения 8 2.

Неявное задание плоских кривых и неявное задание поверхностей 1. Неявное задание плоской кривой 2. Особые точки плоской кривой 3. Неявное задание поверхности Упражнения з 3. Системы функций, преобразования и отображения 1. Первая интерпретация системы функций: преобразование и отображение 2. Вторая интерпретация системы функций: введение новых, криволинейных координат 4. Формулы дифференцирования обратных функций 117 120 121 121 121 125 126 127 128 131 131 134 134 134 134 136 138 139 141 144 144 144 149 150 153 153 153 163 5. Умножение отображений и преобразований 6.

Разложение произвольного преобразования на примитивные 7. Общая теорема об обращении преобразования и о системах неявных функций 9. Несколько слов о преобразованиях в пространстве и измерений Упражнения з 4. Приложения 1. Параметрическое задание поверхности 2. Линейный элемент поверхности 3. Понятие о конформном отображении Упражнения 9 5. Семейства кривых и семейства поверхностей; их огибающие 1. Понятие семейства кривых и семейства поверхностей 2. Огибающая и дискриминантная кривая однопараметрического семейства плоских линий 3. Примеры 4. Огибающая семейства поверхностей Упражнения з 6.

Максимумы и минимумы 1. Опредедеяяе 2. Необходимые условия экстремума 3. Примеры 4. Условные экстремумы 5. Доказательство правила неопределенных множителей для условного экстремума функции двух переменных 6. Обобщение метода неопределенных множителей 7. Примеры Упражнения Дополнения к главе 1П з 1. Достаточные условия экстремума функции двух переменных 1. Постановка вопроса 2. Исследование квадратичной формы Я (Ь, 1с) 3. Достаточные условия максимума и минимума 4. Примеры Упражнение 165 167 170 174 175 177 177 180 183 185 186 186 191 197 199 200 200 202 203 207 209 211 216 219 221 221 221 221 223 225 226 8 2. Особые точки плоских кривых Упражнения з 3. Особые точки поверхностей 8 4.

Связь между уравнениями движения жидкости в форме Эйлера и в форме Лагранжа з 5. Представление замкнутой кривой с помощью семейства ее касательных Смегпанные упражнения к главе 1П Глава 1У. Кратные интегралы 8 1. Обыкновенные интегралы как функции параметра 1. Определения и примеры 2.

Непрерывность и дифференцируемость интеграла как функции параметра Упражнения 8 2. Интеграл от непрерывной функции по плоской или пространственной области 226 229 229 232 233 235 238 238 238 240 246 1. Интеграл ко плоской области (двойной интеграл) как обьем 2. Общей аналитическое определение двойного интеграла 3. Примеры 4. Обозначения, дополнения, основные правила 5.

Свойства двойного интеграла, его оценка и теорема о среднем значении 246 247 251 253 254 6. Интегралы по трехмерным в многомерным областям (тройные и многократные интегралы) 7. Дифференцирование по области. Масса и плотность з 3. Приведение кратного интеграла к повторному обыкновенному интегралу 1. Двойной интеграл по прямоугольной области 2. Следствия. Изменение порядка интегрирования. Дифференцирование под знаком интеграла 257 258 260 260 263 4.Приведение тройного интеграла кповторному Упражнения з 4. Преобразование кратных интегралов 1.

Общая формула преобразования двойного интеграла к новым переменным 2. Преобразование и-кпатного интегпала к новым пепеменным 269 270 270 271 276 3. Распространение результата на двумерные области более общего вида 265 интегрирования Упражнения з 5. Несобственные кратные интегралы 1. Интеграл от функции, имеющей конечные разрывы 2. Кратный интеграл: от функции, обращающейся в бесконечность в изолированных точках 3. Интеграл от функции, обращающейся в бесконечность вдоль линии 4.