1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (Курант 1978 Курс дифференциального и интегрального исчисления ч2), страница 2

Интеграл по бесконечной области 5. Заключительные замечания и некоторые дополнения 8 6. Приложения к геометрии 1. Вычисление объема с помощью двойного интеграла. Примеры 2. Вычисление объема с помощью тройного интеграла. Объем в цилиндрических и сферических координатах 3. Площадь кривой поверхности 4. Площадь поверхности, заданной параметрическими уравнениями Упражнения 8 7. Приложения к физике 1. Статический момент и центр массы (центр тяжести) 2.

Момент инерции 3. Физический маятник 4. Потенциал поля тяготения Упражнения Дополнения к главе 1У 8 1. Существование кратного интеграла 1. Понятие меры плоской и пространственной области 2. Теоремы о кусочно гладкой дуге плоской кривой и о кусочно гладком куске поверхности 3. Доказательство существования двойного интеграла от непрерывной функции 8 2. Обобщенные формулы Гульдина. Полярный планиметр 1. Об одном преобразовании двойного и тройного интеграла 2. Обобщенная формула Гульдина для плоскости и для пространства.

Полярный планиметр 8 3. Объем и площадь в пространстве любого числа измерений 1. Площадь поверхности и интегрирование по поверхности в пространстве, число измерений которого больше трех 277 278 278 279 282 283 284 286 286 288 290 294 296 297 297 300 302 304 308 310 310 310 314 316 317 317 319 322 322 2. Площадь поверхности и объем единичного шара в в-мерном пространстве 3.

Обобщения. Параметрические представления Упражнения 8 4. Несобственные интегралы как функции параметра 1. Равномерная сходимость. Непрерывная зависимость интеграла от параметра 2. Интегрирование несобственных интегралов по параметру 3. Дифференцирование несобственных интегралов по параметру 4. Примеры 5. Вычисление интегралов Френеля Упражнения 8 5. Интеграл Фурье 1. Введение 2. Доказательство интегральной теоремы Фурье 9 6. Интегралы Эйлера (гамма-функция и бета-функция) 1.

Определениеи функциональное уравнение гамма-функции 2. Выпуклые функции и их свойства 3. Теорема Бора 4. Представление гамма-функции в виде бесконечного произведения 5. Функция 1п Г (х) и ее производные 6. Формула дополнения 7. Бета-Функция и ее функциональное уравнение 8. Связь между бета-функцией и гамма-функцией Упражнения 8 7. Дифференцирование и интегрирование нецелого порядка.

Интегральное уравнение Абеля 8 8. Замечание по поводу определения площади кривой поверхности Смешанные упражнения к главе ГЧ Глава У. Криволинейные интегралы. Интегралы по поверхности 8 1. Криволинейные интегралы 1. Определение криволинейного интеграла. Обозначения 2. Векторная запись криволинейного интеграла 3. Основные свойства 4. Механическое истолкование криволинейного интеграла 324 326 329 329 329 332 333 335 339 340 341 341 343 346 346 347 350 353 356 357 358 359 361 362 364 366 368 368 368 370 372 374 5. Криволинейный интеграл в поле градиента.

Интегрирование полного дифференциала 6. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования 7. Условие, при котором вектор поля является градиентом - условие интегрируемости выражения Г1 дх + Р~йу 375 376 378 383 384 384 ти1 384 387 388 390 391 392 393 8. Важность условия односвязности Упражнения 8 2. Связь между криволинейным и двойным интегралом на плоскости- интегральные теоремы для плоских векторных полей 1.

Интегральная теорема Гаусса 1теорема Остроградского для плоское 2. Векторная запись теоремы Гаусса 3. Теорема Стокса для плоскости 4. Формулы Грина 5. Двойной интеграл от якобиана 6. Преобразование плоского лапласиана к новым (в частности, полярным) координатам з 3. Наглядное истолкование интегральных теорем для плоскости и их приложения 1. Гидромеханическое истолкование теоремы Гаусса. Дивергенция и производительность источников 2. Интерпретация теоремы Стокса в роле скоростей и в силовом поле 3.

Преобразование двойного интеграла 8 4. Интеграл по поверхности 1. Интегрирование по ориентированной области 2. Определение интеграла по поверхности 3. Физическое истолкование интеграла по поверхности 8 5. Интегральные теоремы Гаусса и Грина в пространстве 1. Теорема Гаусса в пространстве 2. Физический смысл теоремы Гаусса в пространстве 3. Теоремы Грина 4. Приложении теорем Гаусса и Грина в пространстве Упражнения 8 6.

Теорема Стокса и пространстве 1. Формулировка и доказательство теоремы 2. Физический смысл теоремы Стокса 396 397 398 398 405 407 408 408 412 414 414 416 416 416 419 8 7. Принципиальное соображение о связи между дифференцированием и интегрированием в пространстве многих переменных Упражнения Дополнения к главе У 8 1. Замечания к теоремам Гауссаи Стокса 8 2. Представление векторного поля, лишенного источников, в виде ротора Упражнения Смешанные упражнения к главе Ч Глава У1. Дополнительные сведения о днфферепциальных уравнениях 8 1.

Дифференциальные уравнения движения точки в пространстве 1. Уравнения движения 2. Закон сохранения энергии 3. Равновесие. Устойчивость 8 2. Примеры из механики точки 1. Движение материальной точки, брошенной под углом к горизонту 2. Малые колебания около положения ровновесия 3.

Движение планет Упражнения 8 3. Некоторые сведения из общей теории дифференциальных уравнений первого порядка 1. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка 2. Дифференциальное уравнение семейства кривых. Особые решения. Ортогональные траектории 3. Интегрирующий множитель 4.

Теорема существования и единственности решения 5. Системы дифференциальных уравнений первого порядка и дифференциальные уравнения высшего порядка б. Интегрирование с помощью степенного ряда (метод неопределенных коэффициентов) Упражнения 8 4. Линейные дифференциальные уравнения любого порядка 1. Определение. Теорема существования и единственности решения. Принцип суперпозиции 2. Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы функций 421 424 425 425 427 429 430 435 435 435 437 438 440 440 441 444 450 450 451 454 457 459 4б2 4б3 4б5 4б8 468 470 3.

Необходимое условие линейной зависимости л функций 4. Необходимое и достаточное условие линейной независимости и решений ЛДУ и-го порядка без правой части 5. Фундаментальные системы решений ЛДУ без правой части. Структура его общего решения 6. Частный случай ЛДУ второго порядка Упражнения 7. ЛДУ п-го порядка без правой части с постоянными коэффициентами Упражнения 8. ЛДУ с правой частью и с переменными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных 9.

Вынужденное движение простейшей колебательной системы Упражнения 10. Определение частного решения по краевым условиям. Нагруженный канат и нагруженная балка 9 5. Потенциал гравитационного и электростатического поля. Уравнение Лапласа 1.Потенциал непрерывного распределения массы или заряда 2. Двойной слой и его потенциал 3. Дифференциальное уравнение потенциала 4. Однородный двойной слой 5. Теорема о среднем значении 6.

Краевая задача для окружности. Интеграл Пуассона Упражнения ~ 6. Дальнейшие примеры дифференциальных уравнений с частными производными 1. Некоторые сведения о многообразии решений 2. Одномерное волновое уравнение 3. Волновое уравнение в трехмерном пространстве 4. Уравнения Максвелла в вакууме Упражнения Глава УП.

Элементы вариациониого исчисления 8 1. Введение 1. Постановка задачи 2. Необходимые условия экстремума Упражнения 472 474 475 483 493 493 495 496 497 500 502 504 505 506 508 510 512 514 514 514 518 520 478 479 480 483 486 487 488 9 2. Дифференциальное уравнение Эйлера для простейшего случая 1. Вывод дифференциального уравнения Эйлера 2. Доказательства обеих лемм 3. Замечания по поводу интегрирования дифференциального уравнения Эйлера. Примеры Упражнения 4.

Случая, когда уравнение Эйлера обращается в тождество 5 3. Обобщения 1. Функционалы, зависящие от многих функциональных аргументов 2. Важный частный случай. Примеры Упражнение 3. Принцип Гамильтона. Уравнения Лагранжа 4. Функционалы, содержащие производные выше первого порядка 5. Функционал, имеющий вид кратного интеграла 6. Задачи с дополнительными условиями.

Множитель Эйлера Упражнение Смешанные упражнения к главе ЧП Глава ЧП1. Функции комплексной переменной 9 1. Введение 1. Пределы и бесконечные ряды с комплексными членами 2. Степенной ряд 3. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда 4. Определение показательной функции, тригонометрических и гиперболических функций с помощью степенных рядов Упражнения 9 2. Основные понятия теории функций комплексной переменной 1.

Требование дифференцируемости 2. Правила дифференцирования. Основные свойства показательной функции Упражнение 3. Конформные отображения. Обратные функции Упражнения 8 3. Интегрирование аналитических функций 1. Определение интеграла 2.

Теорема Коши 520 520 523 524 528 528 529 529 531 533 533 535 536 538 540 542 544 544 544 547 548 551 552 552 552 555 557 557 558 559 559 561 5б3 г а1пх л 1. Вывод формулы ~ ~й =— 2 577 578 581 582 585 587 589 592 608 665 Азимут 18 Аргумент 54 - комплексного числа 544 3. Приложения. Логарифм. показательная функция и общая степенная функция Упражнения З 4.

Интегральная формула Коши и ее приложения 1. Формула Коши 2. Разложение аналитической функции в степенной ряд Упражнение 3. Теория аналитических функций и теория потенциала Упражнение 4. Теорема, обратная теореме Коши 5. Нули, полюсы и вычеты аналитической функции Упражнения 9 5. Приложение к вычислению действительных определенных интегралов О 1 2 г ] ~ — — а 2. Доказательство формулы 1е ' соыхЫх = — ~/ке 4 2 3. Приложение теоремы вычетов к интегрированию рациональных функций Упражнения 4.

Теорема вычетов и линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 5. Доказательство формулы ~ е " с1х =~/к с помощью теории вычетов О б. Многозначные функции и аналитическое продолжение 7. Пример аналитического продолжения. Гамма-функция Смешанные упражнения к главе 'Л11 Сводка важнейших теорем и формул Ответы и указания Предметный указатель Предметный указатель - функциональный 514 Аркус 544 Балка нагруженная 490 567 568 568 570 572 573 573 573 574 57б 577 Бета-функция 358, 595 Вариация функции 519, 550 Вектор 17 - бинормальный 115, 603 - единичный 18 - касательный 106, 602 - - единичный 106, 181, 602 - кривизны 106 - направляющий 25 - нормальный главный 106, 603 - - единичный 603 - - к поверхности 151, 181, 603 - равнопротивоположный 21 - свободный 17 - связанный 17 Векторы линейно зависимые 50 - - независимые 50 Ветвь функции 58 Вихрь 112 Волна плоская 509 - сферическая 509 Вычет функции 575 Вычисление действительных определенных интегралов 577 †5 - объема 286 - ошибок 84 Гамма-функции 346, 594 - - комплексной переменной 567, 587, 594 Геодезическая линии 516 Гиперболоид диуполостный 178 - одпополостпый 178 Градиент скалярного ноля 110, 598 - функции 110 Граница области 119 Движение планет 444 Детерминант см.