1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (Курант 1978 Курс дифференциального и интегрального исчисления ч2), страница 10

Кроме рассмотренных нами систем, в которых число уравнений равно числу неизвестных, в дальнейшем встретятся порою системы двух однород- ных уравнений с тремя неизвестными а,х+а,у+а„г=О, Ь,х+Ь,у+Ь,г=О. Если три определителя ' =!" "! '=!" "! '=!" ~ не равны одновременно нулю, то из наших уравнений можно выразить две неизвестные через третью; если, например, О» ф О, то г0» гй» =В, у= — —.

Правая часть, а также каждое из трех выражений, заключенных в фигурные скобки, есть разложение какого-то определителя по элементам одного из своих столбцов, и последнее уравнение можно записать в следующем виде: 40 Гл. т. Основные пОнятия АнАлитическОЙ геометвии (л л Введя обозначение — = Й получим Ра х=тРв, у = — !Рва л= ГРа. Таким образом, наша система уравнений — неопределенная и имеет семейство решений, выражающихся через один параметр Г, причем х:у:л= Р а ". ( — Рв): РРешенная только что задача имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим два известных вектора а = (авв а„ав) и Ь = (Ьва Ь„Ьв) и неизвестный вектор г=(х, у, л). Наша система уравнений получает следующую векторную запись: аг=0, Ьг=О, и геометрический смысл задачи таков: требуется найти вектор г, перпендикулярный к двум данным векторам а и Ь.

Очевидно, г=г(аЬ) при любом значении числа Е Упражнения аа 1. Показать, что определитель Ь, Ь, Ь, всегда можно привести к виду с, ев са а О О О р О путем повторного применения следующих операций: 1) перестаОО7 нонка двух строк или столбцов, 2) прибавление к элементам одной строки (или одного столбца) чисел, пропорциональных элементам другой строки (или другого столбца).

2. Если три определителя 1::! не равны все нулю, то необходимым и достаточным условием существования решения системы трех уравнений авх+а,у= А, Ьах+ Ь,у В, е,х+ с,у=С, с двумя неизвестными к и у является ав аа А Р=Ь, Ь, В=О. е, с, С 3. Решить упражнение 3 стр. 33 чисто алгебраическим рассуждением. 4*. Доказать теоремы 1 — 7 (о' 1) для определителей четвертого порядка. 5. Доказать, что площадь треугольника на плоскости с вершинами (хоу,), (хн ув) (хв у,) выражается Формулой 1 х, у, 1 Р'= — х, у, 1 ха Ув Ц $4.

АФФннные пвеОБРАЗОВАння и УмнОжение Опяеделителей 41 6. доказать, что объем тетраздра с вершинами (хоув, гв) (хв ув гв) (х„ун г,), (х„у„г,) выражается формулой х, у, г, х, у, г, хв Ув гв хв ув гв 6 1 7. Вычислить следующие определители: 3 4 5 '1 1 1 1 1 1 а) 4 5 6 ; б) 1 2 4 ; в) 2 3 4 ; г) 5 6 7 1 3 9 3 — 1 7 6. Найти условие, которому должны удовлетворять числа система уравнений Зх+4у+5г= а, 4х+ 5у+бг=Ь, 5х+ бу+ 7г = с могла иметь решение.

9. Решить систему уравнений 2х — Зу + 4г =4, 4х — 9у + ! Зг = 1О, Зх — 2!у+ 64г=34, 1 х х' 1 У ув 1 г г' а, Ь, с, чтобы й 4. Аффннные преобразования н умножение определителей В заключение зтого краткого обзора мы нсследуем простейшие свойства так называемых аффинных преобразований и попутно получим важную теорему об умножении определителей. 1. Аффинное преобразование плоскости и пространства, Под отображением или лреобразованием какой-либо части пространства (нли плоскости) разумеют закон, по которому каждой точке приводится в соответствие в качестве ее изображения другая точка пространства (или плоскости).

Исходную точку называют оригиналом или лрототилом. Понятию отображения можно дать на~ладное физическое истолнование: представим себе, что рассматриваемая часть пространства (или плоскости) заполнена каким- нибудь деформируемым веществом, и что наше преобразование описывает процесс деформации, при котором каждая частица зтого вещества перемещается из своего начального положения в некоторое конечное положение.

Пользуясь прямоугольной системой координат, обозначим через (х,у, г) координаты исходной точки, а через (х', у', г') — координаты ее изображения. Самыми простыми и на~ладными являются аффинные преобразования, которые, к тому же, имеют большое значение в общей теории преобразований. Аффинным преобразованием называется такое преобразование, при котором координаты изображения х', у', г" (а на плоскости — х', у') выражаются линейно (точнее, в виде целых линейных функций) через координаты оригинала х, у, г (или х, у — на плоскости). Стало быть, аффинное преобразование в пространстве задается тремя уравнениями х'= а, т+ Ь,у+ г,г+ то у'= а,х+ Ь,у+ с,г+ тм * =авв'+ Ьву+ свг ( тв 42 ГЛ.

Г. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ [1 а в плоскости — двумя уравнениями х'= а, т+ Ь,у+ т„ у' = Ь,х + Ь,у + тл, с постоянными коэффициентами аь Ьь сг, тг. Каждой точке пространства (или плоскости) эти уравнения приводят в соответствие другую точку — ее изображение. И сразу возникает вопрос: возможно ли обратить это соответ- ствие между орнгинэлон и его изображением? Другими словами, соответ- ствует ли обратно каждой точке пространства (или плоскости) опредеденная точка в качестве ее оригинала. Для этого, очевидно, необходимо и доста- точно, чтобы уравнения а,х+ Ь,у+ с,г = х' — т„ а,х+ Ь,у = х' — тн а,х+ Ь,у-(- с,а=у' — тн или а,. +Ь,у=у' — т, а,х+ Ь,у+ с,г=*' — тн были однозначно разрешимы относительно х, у, г (нли х,у) при всех зна- чениях х', у', г' (или х', у'). Поэтому, согласно й 3, и 3, аффинное преобразо- вание обратимо, и притом однозначно обратимо (т.

е. каждое изображение имеет один и только один оригинал), если его определитель а, Ь, с, )а, А= аэ Ь, с, или А=1 ) аэ Ьэ! ь т т отаичен от нуля. Только такие преобразования мы и будем рассматривать и не станем касаться вопроса, что происходит, когда А = й. путем введения промежуточной точки х", у", г" (или х", у") маятно общее аффинное преобразование разбить на два преобразования х" =. а,х+ Ь,у+ с,г, х'=х" + то у" = а,х+ Ь,у+ с,г, и у' = у" + т„ г" = а,х+ Ь,у+ с,г г' =г" + та х" = а,х + Ь,у, х'=х" + тн н у"=а,х+Ь,у у=у +тэ.

Сначала точка (х, у, г) отображается на (х", у", г"), а затем точка (х", у", г") отобРажается на (х', у', г'). Так как второе преобразование есть просто параллельное перемещение пространства (или плоскости) как целого и, стало бать, не вызывает никаких вопросов, то можно ограничиться иссле- дованием одного лишь первого преобразования. Поэтому мы будем рассмат- ривать только аффинные преобразования вида х'=а х+Ь у+ се, х'= ах+ Ь у, у' = а,х+ Ь,у+ с,г, или у' = а,х+ Ь у г'=а,х+Ь,у+с,г с определителем, отличным от нуля. Теоремы о линейных уравнениях, доказанные в й 3, п 3, позволяют выразить обратное лреабрааолание в виде следующих формул: х = а,'х'+ Ь,'у'+ с,'г', к = а,'х' + Ь;у', у = а,'х'+ Ь,'у'+ с,'г', нли у = а„'х' + Ь„'у', г = а'х' + Ьэу' + с„'г' 11 а к ласн4ннык нввовьдзовлння н кмножвнни опввдвлитвлкй 43 в которых постоанные а,'., Ь', ... представляют собой определенные выражения, составленные из коэффициентов аь Ьь ...

Из этна уравнений вытекают обратно первоначальные формулы. В частности, нз х=у= в=о вытекает х'=у'=г'=О, и обратно. Геометрические свойства аффннного преобразования характеризуются следующими теоремами: 1) В пространстве; изображение плоскости есть плоскость; на плоскости: изображение прямой есть прямить Действительно, уравнение плоскости можно записать в виде Ах+Ву+Сг+()=О:, а уравнение прямой на плоскости — в виде Ах+Ву+Ю=О, п нчем коэффициенты А, В, С (или А, В) не равны одновременна нулю.

оординаты изобрвженнй тачек данной плоскости удовлетворяют уравнению А (а,'х'+ Ь,'у'+ с,'г') + В (а,'л" + Ь,'у+. с,'г') + С (а,'х'+ Ь;у'+ сьг') + Ю = О, а координаты изображений точек данной прямой на плоскости удовлетворяют уравнению А (а,'х'+ Ь,'у') + В (а,'х'+ Ь,'у') + 41 = О, Следовательно, эти изображающие точки х', у', г' (или х', у) сами запол- няют плоскость (или прямую на плоскости), так как коэффициенты при текущих координатах х', у', г' (илн х', у') А'= Аа,'+ Ва,'+ Са,', не могут все одновременно обратиться в нуль. В противном случае мы имели бы А а,' + Ва,' + Са,' = О, АЬ; + ВЬ; + СЬ; = О, АЬ;+ВЬ;=О) А с,' + Вс,' + Сс,' = О и зти уравнения можно было бы рассматривать как однородную систему уравнений с йензвестнымн А, В, С (или А, В), а нз этой системы вытекало бы, что А=В=С=О (или А=В=О), что противоречит условию. 2) Изображение прямой е пространстве есть, прямая.

В самом деле, прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей; повтому, согласно теореме 1, изображение прямой тоже является линией пересечецня двух паоскостей, т. е: прямой. 3) Дее параллельные плоскостна е пространстве (или дее стаяаллелвпые прямые на плоскости) имеют параллельные изображения. Ибо если бы эти изображения пересекалисзч то и исходные две плоскости (или прямые на плоскости) пересекались бы в точках, являющихся оригиналами тачек пересечения изображений.

а) Дае параллельные прямме е пространстве имеют саоими изображениями дае параллельные же прямые. Действительно, так как данные две прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются, то, по теоремам ! и 2, тем же свойством обладают и прямые, их изображающие; стало быть, прямые зги тоже параллельны. Ь) Изображение виктора о есть другой вектор о', началом которого является изображение начальной точки, а концом — иэображение конеч. ной точки вектора и, 44 ГЛ.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ [л Так как координаты вектора равны разностям одноименных координат конечной и начальной точки, то при общем аффинном преобразовании они преобразуются по той же схеме, что и координаты точки: оа = ааоа + Ьаоа + сана, о,' = а,о, + Ь,о, + с,о„ оа = ааоа + Ьаоа + саРа. 2.

Умножение аффииных преобразований н разложение общего аффинного преобразования на примитивные преобразования. Если изображение (х', у', 2') точки (х, у, *), полученное преобразованием х = аах + Ьах'+ саз у'= а,х+ Ьау+ с,с, 2 =а«Х+ дар+ С«с, подвергнем второму преобрззованию х" = а,'х'+ Ь;у'+ с,'2', у =.,'. +Ь;у+,;., 2" = а,'х'+ Ь;у' + с,'а', то нетрудно убедиться, что новая изображающая точка (х", у", 2") может быть получена непосредственно по точке (х, у, 2) с помощью «результирую- щего>, тоже аффинного, преобразования Х" = «,Х+ ЬаУ+ Тал, У" = аах+ Е«У+ Тас, *" = ааХ+ Ьар+ Таз, коэффициенты которого выражаются через коэффициенты составляющих преобразований следующими формулами: а, = а,'аа+ Ьааа+ с',аа Ьа = а,'Ь, + Ь,'да+ с,'Ьн а, = а,'а, + Ь;а, + саа„йа = а,'Ь, + Ь„'Ь, + с,'Ьн аа = аааа + Ьааа + сала Ьа = ааЬ! + Ь«Ь« + саЬ« х" = а,'х'+ Ь;у', и „Т =аах +Ь«У х' = а,х+ Ь,у, у'=а,х+Ь у Процесс последовательного проведения двух преобразований называется умнасагсяисм преобразований, а «результирующееа преобразование называется яраазссдсяпсм данных двух преобразований.

Если определители первых двух преобразований отличны от нуля, то эти преобразования обратимы; поэтому произведение этих преобразований тоже обратимо. Последние формулы показывают, что коэффициенты резуаьтирующего преобразования получаются из коэффициентов составляющих преобразований по следующему правилу: Ноэффициент, стоящий в 1-и столбце и Ьй строке результирующего преобразования, равен сумме произведений коэффициентов а-го столбца первого преобразования на соответствующие коэффициенты Ь-й строки второго преобразования. Совершенно таким же путем умножение преобразований 2] $4.

АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОНАНИЯ И УМНОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 45 дает результирующее преобразование (произведенне данных двух преобразований) х" = (а,а,' + алЬ ) х+ (Ь,а,' + Ь,Ь;) у, у" = (а,а,'+ а,Ь;) х+ (Ь,а„'+ Ь,Ь;) у. Преобразование называется примитивным, если оно оставляет неизменными две нз трех (на плоскости — одну из двух) координат оригинала. В наглядной форме это можно выразить так: примитивным называется такое преобразование, при котором пространство (или плоскость) подвергается растяжению только вдоль одного направления, так что все точки перемещаются вдоль сел|ейства параллельных прямых. (Однако величина растяжения может изменяться от точки к точке.) Примитивное аффинное преобразование, при котором перемещение происходит параллельно оси х, выражается аналитически формулами следующего вида: к' = ах + Ьу+ сл, х'= ах+ Ьу, илн У'=У.