1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (Курант 1978 Курс дифференциального и интегрального исчисления ч2), страница 9

В итоге получится значение определителя: а, Ь, е, ~ а, Ь, с, = а,Ь е, +Ь с,а, + с,а,Ь, — е,Ь,а, — и с,Ь, — Ь,а с,. (2) аа Ьа са ') Смь например, К а та н В. Ф., Основания теории определителей, Одесса, !922; Курош А. Г., К>рс высшей алгебры, изд. >963; Сушкее ли ч А. К., Основы высшей алсебры; Ш р ей ер О. и Ш пер не р Е., Теория матриц, М.— Л., >936. за. свидения бв опэйдилитинях Докажем теперь несколько теорем, выражающих основные свОйства определителей.

!) Если заменить е определителе строки столбцами, а слзолбцы ездоками, то значение его не изменится„т. е. Это легко проверить с помощью данных выше для определителей развернутых выражений (!) и (2). 2) Если э определителе поменять меся(ами дее строки или деа столбца, то его эначеное изменит только знак, т. е. помнозкится на ( — !). На основании свойства ! эту теорему достаточно доказать для столбпов, и ее легко проверить с помощью тех же выражений (!) и (2). 3) На стр.

32 мы ввели определители третьего порядка с помощью ра- венства ав (зз '= ' ' '="~Ь' Ь ~ — "~з Ь 1+"~1»' Ь'!. сз сз с, Принято говорить, что это равенство дает разложение определилыля третьего порядка по элементам третьей строки. Поменяем теперь местами вторую н третью строку определителя Ь и дая полученного определителя выпишем аналогичное разложение по элементам третьей строки. Так как этот новый определитель равен — Ь (на основаним свойства 2), то получается равенство Ь= — Ь,~ ' '~+Ь,~ ' '! — »,~" "~. Таким же путем получим Ь=аз) ~ — а,~ ~+аз~ Последние два тождества называются разложениями определителя третьего порядка по элементам соответственно второй и первой строки.

Заменяя столбцы строками (на основании свойства ! значение определнтеля поч этом не изменяет»я), мы получим следующие три разложения по элементам первого, второго й третьего столбцов: '~ — Ь, Ьв ~ (+ Ь св ~ Ьнв а ) ~ — Ьв~ )+св~ Из этих разложений сразу вытекает саедую(пая теорема. 4) Если есе элементы одной строки или одного столбца помножить на число А, то значение определителя помножатся на й. Из свойств 2 и 4 можно вывести следуюн(ую теорему.

2" Ь аз~ (ь, Ь= — а,~ ! с( и, Ь, с, а, а ав Ь, с = Ь, Ь, Ь, ав Ьв сз сз св св 36 гл. т. Основные пОнятия Аналитической геометзии [! 5) Если элементы двух строк (или двух столбцов! пропорциональны, т. е. если каждый элемент одной строки (или столбца) равен произведению соответствующего элемента другой строки (или столбца) на один и тот же множитель й, то определитель равен нулю. Действительно, согласно теореме 4, множитель й можно вынести зл знак определителя; если теперь поменять местами те строки (или столбцы), которые оказались одинаковыми, то определитель не изменится, тогда как, по теореме 2, он должен изменить свой знак.

Следовательно, определитель равен нулю. В частности, определитель, у которого какая-нибудь строка или столбец состоит из одних нулей, равен нулю; впрочем, это сразу видно из первоначааьного выражения определителя. 6) Сумма двух определителей одинакового порядка, отличающихся только элементами одной строки (или одного столбца) равна определителю, в котором сохранены все общие строки (или столбцы) слагаемых определителей, а элементы оставшейся строки (или столбца) равны суммам соответствующих элементов слагаемых определителей.

П р и и е р. а, Ь, с, а, Ь; с, а, Ь, + Ь,' с, а, Ь, с, + а, Ь; с, = а, Ь, + Ь.; с, . ав Ьа са ав Ьв св ав Ьв + Ь,' с, В самом деле, разложим оба слагаемых определителя по элементам той строки (илн того столбца), которыми они отличаются (в нашем примере— по элементам второго столбца), а затем сложим результаты; получится выражение — <Ь, + Ь;) ~ ' '* ~ + <Ь, + Ь;) ~ " " ! — <Ь, + Ь;) ~ ' которое, очевидно, является разложением определителя ! а, Ь+Ь; с, а, Ь,+Ь; с, а, Ь,+Ь; с, по элементам второго столбца, Это и доказывает теорему 6, Такое же рассуждение можно провести и для определителя второго порядка.

7) Если к элементам одного ряда (строки или столбца) определителя прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на один и тот же множитель Д, то значение определителя не изменится. Действительно, по теореме 6, видоизмененный определитель равен сумме первоначального определителя и определителя, в котором элементы двух параллельных рядов пропорциональны; но, согласно теореме 5, этот второй определитель равен нулю.

Покажем на примерах приложение этих теорем к вычислению определителей. Пример !. ! а, 0 0 0 Ь, 0 =а,Ьас„ О О са з) за. свпдииия ов Опвндплитвлях что можно получить, разлагая определитель по элементам, например, первой строки. Определитель, у которого отличны от нуля только элементы 4главной диагоналка, равен произведению этих элементов. Пример 2. 1 1 — 1 2 ΠΠ— 1 11 1 — 1 1= 1 — 1 1=2~ ~= — 4. — 1 1 ! — 1 1 1 Снзчала к злементам первой строки прибавлены элементы второй, а затем новый определитель разложен по элементам первой строки. Прим ер 3. 1 х х' 1 х х' 1 х х' О= ! у у' = О у — х у' — х' = О у — х у' — х' ! л з' 1 л з' О л — х л' — ха Разлагая последний определитель по злементам первого столбца, получим у — х у' — х' 11 у+х В=~ ,~ =(у — х) (л — х) ~ = (у — х) (я — х) (х — у).

~ я — х з' — ха~ !! а+х 2. Понятие об определителе четвертого н вообще любого порядка Правилом разложения по элементам строки или столбца можно воспользоваться для введения, в порядке обобщения, понятия определителя четвертого и вообще какого угодно порядка. Если дана квадратная таблица из 16 величин а, Ь, с, а', а, Ь, е, а, Ь, са 414 а4 Ь4 44 4(4 то этим символом обозначают выражение Ьа са 414 а, е, а', а, Ь, д а, Ь, с, а, Ь, с, а', — Ь, а, е, да + е, а, Ь, а', — а', а, Ь, с, Ь4 с4 а44 а, с, а44 а4 Ь4 а44 а4 Ь, с, и называют зто выражение определителем четвертого порядка.

Таким же путем можно последовательно ввести определители пятого, шестого и вообще л-го порядка, тзк что определитель порядка л выражается рекуррентной формулой через определители порядка л — 1. Оказывается, что все доназанные нами существенные свойства определителей второго или третьего порядка распространяются на определители любого порядка. (Исключением является только правило Сарруса, которое пригодно только для определителей третьего порядка.) Проведение такой программы выходит, однако, зз пределы этого нурса. 3.

Приложение н системе линейных уравнений. Определители играют фундаментальную роль в теории систем линейных уравнений. Для того чтобы решить систему двух уравнений агх + аау = А, Ь4х + Ьау = В с двумя неизвестными х и у, помножим первое уравнение иа Ь„второе — на аа и вычтем второе уравнение из первого; затем умножим первое зв Гл. т. Оснойные пОнятия Анллитичисхой Геометзии (3 уравнение на Ьо второе — на а, и вычтем первое уравнение из второго. В итоге получим (а,Ь, — а,Ь,) у = Ва, — АЬ, или Предположим, что определитель Тогда нз последних уравнений сразу получаются формулы решения ат А! а, а, Ь, Ь, х(а, ! ! — Ь, ! !+с,! ' !~+ '3+ (ь, ь, +учат ~ +е(аь ! ! ! ! ь, ь, с, с, которые должно и можно проверить подстановкой. Определитель, являющийся общим знаменателем обеих дробей, называется определителем сиппемы. ( а, а,( Если же, напротив, определитель ! = 0 н при этом хотя бы один ~ ь, ь, ~ ( А ае ! ! а, А из определителей ! ! и ! ! отличен от нуля, то уравнения (ь) при! в ь, ~ ~ ь, в водят к противоречив.

~ а, а, ) ! А а, ( ~ а, А ~ Наконец, если все три определителя ! !, ! ! н ! равны нулю, то уравнения (*) ничего не говорят о решении системы. Особенно важен для нас следующий полученный выше факт: система уравнений еышеуказанного вида, определитель которои отличен от нуля, асегда имеет одно а только одно решение. Если определитель системы не равен нулю, а система однородна, т. е, А=В=О, то этим единственным решением является х=О, у=0. Возьмем теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными а,х+ а,у+ а,г = А, Ь,х+Ь,у+ Ь,л=В, с,х -~- с,у + с,г = С.

Аналогичное рассуждение приводит здесь к аналогичному резуаьтату. ~ ь, ь, ( ~ аь ав 1 Помножим первое уравнение на ! !, второе на — ! !,атретье 1; ..~' ~ с„еь ~ 1 а, аь( на ! ! и сложим полученные три уравнения: Ьь Ьь ь а. сведения ов опэеделителях а, а, а, А а, а, ~ г Ь» Ь» Ь» В Ь» Ь» с» с» с» С с» с» а» а» а, а, а, ь, ь, + у ь, ь, ь, + с, с, с, с, с, теоремы 5 коэффициенты а, а, а» х ь, ь ь, с, с, с, а» х Ь, с» На основании при у и г равны нулю, так что А а, а, в ь, ь, . С с, с, Таким же способом выводим еще уравнения: а, А а» ь, в ь, с» С с» а, а, А Ь, Ь, В е, с, С а, а» а» ь, ь, ь, с» с» с» а, а, ь„ ь, а, ь, с, с» с, Если определитель а, а, а, д=ь» ь,ь, с, с, с, называемый аиределишелем сисшемы, отличен от нуля, то последние три уравнения дают искомые значения неизвестных.

Полученные значения нуж- даются еще в проверке, которую можно выполнить подстановкой. Итак, если дай, то система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет одно и только одно решение. В частности, если наша система уравнений однородна, т. е. А =В=С=О, а а ~0, то это единственное решение есть х=у=г=О. Если же, напротив, определитель системы а=О, то из последних урав- нений вытекает, что н их правые части должны равняться нулю, если только существует решение. Таким образом, при й=О заданная снстема имеет решение в том и только в том случае, если постоянные члены А, В, С удовлетворяют определенным условиям, выражающимся в том, что определители в правых частях последних трех уравнений должны обратиться в нуль.