1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (Курант 1978 Курс дифференциального и интегрального исчисления ч2), страница 6

Скалярное произведение двух векторов. Действие умножения двух еекторол можно ннссти таким образом, что это «умножение будет подчиняться законам, отчасти аналогичным законам умножения чисел. Существуют два различных вида умножения векторов. Сначала мы введен более простое и более вая«нос для нас скалярное произледенке. Скалярным произведением аЬ лекторол а и Ь называется число, раепое нроизеедению их модулей я косинуса угла Ь между их напраелениямга аЬ = ! а ( ° ( Ь | соз Ь.

Стало быть, скалярное произведение двух векторов равно проекции одного из этих векторов на яаправление другого, помноженной на молуль этого другого вектора. Из определения скалярного произведения сразу вытекает нереместиптелькый или коммуп«ппьилкый закон; ад =Ьа, 22 ГЛ. Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ [т а с помощью теоремы о проекциях нетрудно вывести и раслргделителькый закон скалярного умножения: (а+Ь) е=ае+Ьс. Вместе с тем между формальными свойствзми скалярного умножения векторов и обыкновенного умножения чисел имеется существенное различие, Дело в том, что скалярное яроиэледемие может обратитьгя л куль и е том случае, когда ни один из гомнолкителей яе равен нулю. Действительно, скалярное произведение аЬ =0 а том и только л том случае, если векторы и и Ь взаимно перпендикулярны либо по крайней мере один из нах есть нуль-вектор.

Для скалярного произведения ортол координзтиых осей имеем, очевидно: е,е, = е,ет = ете, = 1, е,е, = ете, = е!ет = О. 7. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов. Обозначим координаты перемножаемых векторов через ао а„а, и Ьн Ь„бь а их составляющие по направлениям осей координат через а„а„а, и Ьн Ь„Ь,. Тогда а = и, + а, + и„Ь = Ь, + Ь, + Ь, и аЬ = (а, + и, + а,) (Ь, + Ь, + Ь,). На основании распределительного закона можно выполнить умножение почленно; при этом произведения а,йт, а,Ь„а,йо и,Ьь и,Ь, н а,Ь, равны нулю, так как их сомножнтелн вззимно перпендикулярны, а стзло быть, иЬ=а,Ь, +а,Ь,+ а,Ь,.

Но в этом выражении а,Ь, = (а,е,) (Ь,е,) = аАе,е, = а,й„и,Ь, = =(а,е,) (Ь,е,) =а,б, и аналогично а,Ь,=а,Ь,. Следовательно, аЬ = аА + а,Ь, + а,Ь,. Это — важное и удобное правило для вычисления скалярного произведения двух векторов по их координатам. Но это равенство можно было бы принять и за исходный пункт в качестве определения скалярного произведения. Если, в частяостй, подставить вместо а и Ь их единичные векторы а = («о «„ «,) и ь' = (Р„ Рт, 3!), то скалЯРное пРоизведение а'ь бУдет равно косинусу угла З между векторами а и Ь, и мы получим для косийуса угла между двумя векторами формулу созз=а'Ь'=а!Ет+аайа+а йь Скалярное произведение вектора а на самого себя обозначают символом а' и называют скалярным квадратом или просто квадратом вектора и.

Очевидно, а'=аасоэ0=а', т. е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. бзиэическое значение скалярного произведения видно, например, из того факта, известного из элементарной механики, что сила р, действующая на материальную точку на вектор-перемещении з, совершает при этом работу Рз. 8. Уравнение прямой на плоскости п уравнение плоскости в пространстве. 1)теть дана прямая на плоскости лу или плоскость в пространстве хуг.

Для того чтобы вывести их уравнения, восставим к прямой (или плоскости) перпендикуляр (нормаль), и на нем выберем определенное чяололсительног яаираллеяае карл!али к прямой илп плоскости; прн этом безразлично, какое из дв)х возможных направлений принять эа поло- %!. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ жительное (см. рис. 11).

Единичный вектор, имеющий направление положительной нормали, обозначим через л'. Точки прямой (или плоскости) ларактеризуются тем, что идущий к ним из начала координат радиус-вектор имеет постоянную проекцию р на направление нормального вектора л'; другими словами, скалярное произведение радиус-вектора г на единичный нормальный вектор л' равно постоянному числу р: гл'=р. Это и есть уравнение прямой на плоскости (или плоскости в пространстве) в векторной записи. Геометрический смысл числа р следующий: абсолютная величина ! р ! постоянной р есть расстояние прямой (или плоскости) от начала координат; р =О, если прямая (или плоскость) проходит через на.

у чало координат; если же прямая (или плоскость) не проходит через начало координат, то р ( О, когда нормаль- и ь ный вектор л' направлен от прямой (плоскости) в ту сторону от нее, где находится йачало координат, и р ~ О, если вектор л' направлен з сторону, г противоположную от начзла координат. Пусть л'= (а, Р) для прямой на В ПЛОСКОСТИ И Л*= (ти Р, Т) ДЛЯ ПЛОСКО- сти в пространстве, а х, у (х, у, з)— Рис.

1!. текущие координаты на прямой (на плоскости), так что г = (х, у) (г = (х, у, з)). Тогда уравнение гл' =р запишется в координатном виде так: ах+ ~у — р=О (уравнение прямой на плоскости), (1) ах+Ру+ !л — р=О (уравнение плоскости в пространстве). (2) Обратно, если заданные числа а, Р (а, е, т) являются направляющими косинусами некоторого направления, то уравнение (!) определяет прямую на плоскости ху, а уравнение (2) — плоскость в пространстве, имеющие нормальный вектор л =(ь, Р) (л'=(а, Р, Т)) и находящиеся на расстоянии ф от начала координат.

Выведенные здесь уравнения (1) и (2) называютсн уравнениями а нормальном анде или нормальными уравнениями прямой на плоскости н плоскости в пространстве. Левая часть нормального уравнения имеет определенный геометрический смысл и для точек Р, не лежащих на прямой (на плоскости). Действительно, из того факта, что выражение ах+(ту или ях+ йу+ Те рвано проекции радиус-вектора г= ОР на положительное направление нормзли, легко вывести, что выражение ох+ ру — р (ах+ну+Та — р) есть расстояние точки Р(х, у, г) от прямой (плоскости), взятое со знаком плюс, если точка Р лежит на той стороне от прямой (плоскости), куда указывает нормальный вектор л*, и со знаком минус, если точка Р лежит на другой стороне.

Из нормального уравнения, умножая его на произвольный не равный нулю множитель, можно получить другие виды уравнения прямой или плосности. Обратно, любое линейное уравнение Ах+ Ву+С=-О (или Ах+ Ву+Сл+В=О) представляет прямую линию на плоскости ху (или плоскость) при условин, что не все коэффициенты А, В (илн А, В, С) равны нулю '). Действительно, ') Вели А=В*=О (или А=В=С=О), то и .0 должно равняться нулю и уравнению удовлетворяют все точки плоскости (или пространства). гд.

т. основные понятия дндлитичесдой геометвни [9 разделим, например, второе из этих уравнений на ЬгА'+ Вз+ С' и положим А В С ф'Аз+Вз «Сз' 'ЬгЛз «Вз «-Сз' ЬгАз «Вэ «-Сз' В 6'Аз+ В'+ С' Тогда получится уравнение, которое, согласно изложенному выше, представляет плоскосттп находящуюся на расстояпии (р( от начала координат и имеющую единичный нормальный вектор и*= «п, 6, т). Аналогичным путем можно привести к нормальному виду и первое уравнение. Из того, что коэффициенты А, В(А, В, С) пропорциональны координатам единичного нормального вектора и', вытекает, что и вектор М= «А, В) (д(= (А, В, С)( является нормальным вектором йрямой на плоскости (плоскости в пространстве), но уже не единичным.

В лальнсйшем нам понадобится формула для угла 6 между двулзя плоскасюяма, заданными нормальными уравнениями аХ.+Еу+тл — Р=О, и'х + 6'у + Тл — р' = О. Так кзк угол 6 между плоскостями равен углу между нх сдиничнйми нормальными векторами, то сзмв равен скалярному произведению этих единичных векторов смз=пп:=«з'+ЬЬ" +П'. йналогично для угла 6 между прямила яа плоскосяпт ху ах+)у — р=.о и а'х+6'у — р'=О имеем оса 6 = пп'+ 66'. й. Уравнение прямой в пространстве. Пряную в пространстве можно задать с помощью любых двух различных плоскостей, проходящих через эту прямую.

Таким образом, для пространственной прямой получаются аналитически два линейных уравнения А,х + В,у + С,*+ В, = О, А эх + Взу + Сзз + (Уз = О которым удовлетворяют координаты х,у, л любой точки прямой. Так как через данную прямую проходит бесчисленное множество плосдостей, то этот способ задания простра(штзенной прямой не является однозначным. Для аналитического представлеаия прямой в пространстве часто удобнее пользоваться парамеюрическим заданиеМ с помощью паРаметра Г. Рассмот- рим три целые линейные функции от Г: х=аз+Ьзг, (() з =аз+Ьзт где Ьо Ьм Ь„не равны одновременно нулю.