2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984).djvu), страница 8

38 1.2. Статистическое моделирование реальной системы включает в себя: формулировку задачи исследования, выбор или построение модели (обычно выбирают некоторую математическую модель и для нее строят моделирующий алгоритм), составление плана имитационного эксперимента, непосредственное моделирование функционирования системы (имитацию), обработку результатов моделирования, их анализ и интерпретацию. Конкретная задача исследования, как правило, требует моделирования семейства СМО или некоторого неопределенного заранее представителя этого семейства. В связи с этим важными и не всегда простыми становятся вопросы выбора модели.

Остановимся на проблемах, связанных с моделированием конкретной системы обслуживания. 2. Унифицированная модель конкретной СМО. 2.1. Для произвольной СМО можно дать унифицированное описание, удобное для построения моделирующего алгоритма. При этом учитывается следующая особенность систем обслуживания. Траектории случайных процессов, описывающих изменения значений характеристик системы, — кусочно-линейные, т.

е. на конечных интервалах времени некоторые характеристики не меняют своих значений, другие же изменяются пропорционально течению времени. В моменты времени, соответствующие концам этих интервалов (поступление в систему или окончание обслуживания требования и т. п.), характеристики могут скачком изменить свое значение. 2.2. В связи с этим будем считать, что СМО состоит из некоторого набора элементов (А», й) Ц (Элементы могут представлять источник требований, конкретные требования, очередь, прибор обслуживания и т.

п.) Элемент А» в каждый момент времени находится в некотором состоянии е» из заданного набора состояний. Причем все состояния делятся на активные и пассивные (так, например, для прибора: обслуживание — активное состояние, ожидание поступления в свободную систему требования — пассивное состояние).

Состояние системы характеризуется набором состояний элементов. Каждое состояние е» описывается набором характеристик х» =(х»п 1> ) 0), которые принимают для данного состояния некоторое фиксированное значение, либо линейно изменяются с течением времени. У активных состояний имеются активные характеристики, которые с течением времени линейно изменяют свои значения до некоторой фиксированной величины — границы, достижение которой может вызвать изменение состояния элемента и системы в целом. Каждая активная характеристика определяет момент времени, когда она может достичь границы.

Оставшееся время до ближайшего достижения границы одной из активных характеристик состояния е» задает остаточное время активного состояния и приписывается характеристике х»». У пассивных состояний значение х», полагается равным бесконечности (при ма- 39 шинном представлении — наибольшим представимым в машине числом), Л=ш1п(х„,; йъ1) определяет остаточное время эволюции системы, по истечении которого возможны изменения состояний элементов, изменения скачком их характеристик и сам набор характеристик. 3.

Моделирующий алгоритм. 3.1. Моделирующий алгоритм СМО представляется программой ЭВМ, и его схему можно представить в виде выполнения следующих этапов. Э т а п 1. Фиксация начального состояния системы. Э т а п 2. Определение шага моделирования. Иногда шаг моделирования фиксирован, как один из параметров системы. Более эффективно за шаг моделирования брать остаточное время эволюпии системы.

Эт а п 3. Определение нового состояния СМО по истечении времени ее эволюции. Изменения состояний элементов определяются исходя из свойств конкретной СМО. При этом для некоторых элементов бывает необходимо генерировать значение активной характеристики, как значение случайной величины с заданным законом распределения, при помощи датчика псевдослучайных чисел. Э т а и 4.

Промежуточная обработка данных. На каждом шагу моделирования мы определяем значения характеристик (траекторий) СМО. Сохранение всех этих значений до конца моделирования нецелесообразно. Поэтому с учетом предстоящей статистической обработки данных моделирования выполняются промежуточные вычисления. Э т а п 5.

Проверка условий окончания имитации. В качестве критериев принимают либо достижение заданного времени моделирования, либо обслуживание определенного числа требований, либо достижение фиксированной точности. Если моделирование не закончено, следует перейти к этапу 2. Э т а п 6. Статистическая обработка данных. Представление результатов моделирования. 3.2. Составление программы моделирующего алгоритма трудоемко н суцгественно влияет на эффективность моделирования задачей. Помогают ее решать специальные языки моделирования 5!МсП.А, 6('55 и др., накапливаемое проверенное программное обеспечение, современные диалоговые системы программирования. 4.

Адекватность, точность, эффективность. 4.1. При моделировании всегда стоит проблема проверки адекватности модели реальной системе. В нашем случае следует принимать во пнимап; с с.це следующие факторы: моделирующий алгоритм строится часто по математической модели, а не по реальной системе; параметры СМО, как правило, либо оцениваются, либо выбираются произвольным образом из возможного множества значений; 40 датчики псевдослучайных чисел не обеспечивают независимости значений серий, строгого соответствия заданным законам распределения.

4.2. Стандартные методы статистической обработки данных, как правило, предполагают их независимость и во многих случаях специальный вид распределения (гауссовский). При имитации СМО значения характеристик, получаемые на каждом шаге моделирования, этим свойством не обладают. Это может приводить к значительным ошибкам получаемых оценок. В связи с этим необходимо предпринимать специальные меры.

Один нз подходов — интервальное моделирование на интервалах регенерации или достаточно больших временных отрезках, что позволяет принимать получаемые данные как независимые. При сравнении значений характеристик при разных параметрах рекомендуют брать совпадающие серии псевдослучайных чисел, чтобы на разность не накладывались ошибки генерируемых чисел. Следует отметить, что обоснование этой рекомендации имеет умозрительный, эвристический характер.

4.3. Эффективность имитационного моделирования зависит от взвешенного обоснованного выполнения всех этапов моделирования, начиная с определения набора оцениваемых характеристик и выбора модели н кончая интерпретацией результатов моделирования. Повышению эффективности исследования реальных систем, в том числе сложных СМО, должно способствовать сочетание аналитических методов исследования их математических моделей с оценкой отдельных характеристик имитационным моделированием и обоснованием их точности на основе результатов, полученных аналитическими методами.

Литература: 11, 7, 8, 9, 11, 12, 17, 211. Глава 1. Марковские СМО Марковские системы массового обслуживания — наиболее простой и полно изученный класс СМО. Методы анализа таких систем основаны на марковском свойстве основных случайных процессов, характеризующих СМО. Это позволяет использовать хорошо развитый математический аппарат исследования марковских процессов с дискретным фазовым пространством. Несмотря на то что в настоящее время разработаны методы и довольно полно изучены классы СМО, значительно более общие, чем класс марковских СМО, отдельное изучение последних имеет важное значение. Это объясняется, с одной стороны, тем, что некоторые методы и приемы исследования марковских систем оказываются применимыми (в модифицированном виде) к более общим системам и, с другой стороны — простотой и наглядностью формул, выражающих характеристики системы через ее параметры.

Это позволяет глубже понять качественное поведение процессов обслуживания, оценить влияние изменения параметров системы на интересующие нас характеристики. Обычно класс марковских СМО выделяется указанием тех случайных процессов, характеризующих функционирование системы, которые должны быть марковскими. Мы будем называть марковскими те СМО, в которых процесс Е(1) — число требований в системе в момент 1 (или в случае неоднородных требований В(1) = (Е1(1), ..., 7 „(1)), Е;(1) — число требований 1-го типа в системе в момент 1) — является марковским процессом.

В первом параграфе данной главы изучается класс марковских процессов гибели и размножения, с помощью которого можно изучить многие марковские СМО. Во втором параграфе рассматриваются марковские СМО, в которых процесс Е(1) представляет собой некоторое обобщение процессов гибели и размножения.

Третий параграф посвящен изложению метода этапов Эрланга в применении к системам М(Е,)1)оо и Е~~М(1(оо. й П ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ 1. Определения и обозначения. Процесс Ь(1) — число требований в системе в момент времени 1 — во многих марковских СМО является частным случаем изучаемого ниже так называемого процесса гибели и размножения.

В литературе даются различные определения этого процесса. Мы будем использовать следующее Определение. Случайный процесс (т(1), 1)0) называется процессом гибели и размножения, если: 42 1) множество его значений содержится в множестве целых неотрицательных чисел Т=(0, 1, 2, ...; 2) время пребывания в состоянии 1~1 подчинено показательному распределению 1 — е о» с параметром а;>О, не зависящим от траектории процесса до попадания в это состояние; 3) из состояния 1ен1, 1> 1, процесс переходит в состояния 1+ 1 и 1 — 1 с вероятностями р; и д;= 1 — рь В состоянии 0 процесс остается с вероятностью до и с вероятностью ро перехоант в состояние 1 (мы будем рассматривать в дальнейшем два крайних случая ро= 1, до=О и ро=О, до= 1).

Очевидно, т(() является однородным марковским процессом со счетным множеством состояний (однородной цепью Маркова с непрерывным временем). Положим Р» (1) = Р ( (() = й), р» (з) = ~) е- иР» Я й(, о ас = аорь Ьо = и;уь 1> О. 2. Основные свойства процессов гибели и размножения. Теорема 1. Пусть ро — — 1, 0<р;<1 для всех 1>1. а) Функции Р»(1) удовлетворяют системе дифференциальнык уравнений ном случае пд>0 для всех й>0, ~» и» = 1, я»=роно.