2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984).djvu), страница 5

ж). Если известно, что Л(Т) =Л1, то для 1~Т !Л(1) имеет биномиальное распределение; Р(Л(а,1)=я)Л(а, Т) =Л')=Сй ( — ) ) ! — — ), я=О,Л~. з). Следующие утверждения эквивалентны: 1) поток событий — пуассоновский с параметром а; 2) поток событий — простейший, т. е. стационарный, ординарный, без последействия, и имеет интенсивность а; 3) начиная с произвольного момента времени Т следующее событие наступит в промежутке !Т, Т+й) с вероятностью ай+ +о(й), при й- О, не зависящей от траектории процесса Л(1) до момента Т; 4) начиная с произвольного момента времени Т следующее событие наступит через случайное время, распределенное по показательному закону ! — ехр ( — а1), независимо от того, как наступали события до момента Т.

Доказательство. а). Пусть (ам й) Ц вЂ” интервалы между наступлениями событий потока Л(а, 1), а (а,', и) !)— интервалы между последовательными моментами наступления помеченных событий. Убедимся, что поток помеченных событий — рекуррентный, а затем покажем, что а,' имеют показательное распределение с параметром га. Действительно, для каждого и существует такой номер й' и целочисленная случайная величина 1, что а = ~~ ам+и Ф=! 23 Здесь Е равно количеству наступлений событий основного потока, прежде чем событие будет помечено, считая и помеченное событие. Легко убедиться, что сл.в. 1. имеет геометрическое распределение: Р(Л=гп) =г(1 — г) -', т>1. Так как случайные величины (ам й> Ц и Ь независимы в совокупности, то последовательность (а„', и> Ц задает рекуррентный поток. Определим распределение а,'. Заметим, что ໠— а, й> 1, и Мехр( — за) =а/(а+з).

Поэтому, учитывая вид производящей функции геометрического распределения, имеем Мехр ( — з~ а» ч») =- Е ( ! — + »=! = аг/(аг+ з), а это — ПЛС показательного распределения с параметром аг. б). Найдем производящую функцию Мгч» о. Используя метод введения дополнительного события и лемму 2.3 находим, что она равна вероятности того, что за время ! не наступит синих событий. Г)о свойству а) поток синих событий — пуассоповский с параметром (1 — г)а.

Следовательно, Мгч' ч=Р(Л(а(! — г), Г) =О) =ехр( — а(! — г)!), что эквивалентно утверждению б) леммы. в). Пусть (а„', и> Ц и (а ", т> Ц вЂ” интервалы между событиями потоков Л(аь !) и Л(аь !) соответственно, а (а», й> > Ц вЂ” интервалы между последовательными моментами наступления событий объединенного потока. Тогда из леммы 2.! следует, что для каждого й>1 существуют и> 1 и т. 1 такие, что а»=ппп(а,', а "), т.

е. последовательность (а», й> Ц образует рекуррентный поток. Завершает доказательство цепочка равенств Р(а»>х) = Р(гпь П(„', а„") >х) = Р(а„'>х, а ' >х) = =ехр( — а~х)ехр( — а»х) =ехр( — (а,+а»)х). Утверждения г) и д) леммы следуют из основного свойст- ва показательного распределения. е). Пусть (а», й> Ц вЂ” интервалы между последовательными моментами наступлений событий потока Л(г). Из определения потока Л(1), следует, что Р(Л(й) >)) = Р(а~<й) =1 — ехр( — ай), Р(Л(й)>2) =Р(а~+а»<й) <Р(а~<й, а»<й) = = (1 — ехр( — ай) )', поэтому, при й.

О, Р(Л(й) >2!Л(й) )~ Ц = ( 1) ) <1 — ехр( — ай)-~0. Р (Л(») > 1) 24 ж). Это свойство проверяется простыми преобразованиями Р(1.(1) — й]) (т) — Л) — ( (1 ' ( ) в(х(т) =н) в (х (~1 ) (х (т г) У ю11 аО (ай — а(т — в и (х (т) = л) И Утверждение з) леммы составляет содержание задачи 1.

° 3. Рекуррентиый поток. Найдем распределение числа событий рекуррентного потока, поступивших за временной интервал [О, 1). 3.1. Сначала введем обозначения и сформулируем общее утверждение. Как и далее, последовательные моменты наступления событий потока т(1): Г, <1,<„, дополняем точкой (о=О. Поток событий задается последовательностью (1„, п>1), либо последовательностью интервалов между поступлениями событий (г„=гл — Гл ь п>1). Обозначим А„(1) =Р(1„<1), а„(з) =Мехр( — з1„).

Нас интересуют для каждого 1>0 вероятности Р„(1) =Р(т(1) =и), п>0, или преобразования Лапласа — Стилтьеса от производящей функции т(г): Теорема ! Для произвольного потока событий и (г, з) = $' гл ]а„(з) — ал ь, (з) ]. л~о Доказательство. Так как Мгою =~' РлЯг", достал~о точно показать, что для п> 0 з ] ехр( — зг) Р„(г)йг = а,(з) — ал ы(з). о Последнее равенство сразу следует нз соотношения Ал(Г) =Рл(1) +А„О1 (1), (2) которое вытекает из того, что А„(1) = Р(1„<Г) = Р(о(г) > п) Р(о(1) > и) = Р(о(1) =п) + Р(т(г) > и+1).

И 25 3.2. Для рекуррентного потока ъ(!), определяемого функцией распределения А(1), интервалы между событиямн стохастически эквивалентны, г -а, и независимы, т. е. поток полностью задается распределением А(1) =Р(а<!). Обозначим а(з) = М схр( — за). Следствие 1. Для рекуррентного потока событий \ з ~ехр ( з)) Мгцой) 1 — оа (о) о Доказательство. Так как 1„=г,+...+г„, и в нашем случае а. (з) = [а(з) ] ", и> 1, ао(з) = 1, то для доказательства достаточно подставить в (1) а„(з) — а„н(з) = [1 — а(з)] [а(з)]" и свернуть сумму геометрической прогрессии. ° З.З. В случае рекуррентного потока с запаздыванием, задаваемого функциями А1(!) =Р(г~<!) и А(!) =Р(а<1), г„а, и> > 2, (гм й> Ц вЂ” независимы в совокупности.

Обозначим а1(з)=Мехр( — зг~), а(з)=Мехр( — за). С л еде т в и е 2. Для рекуррентного потока с запаздыванием з ~ ехр ( — з1) Мг а1 ~й == 1 — а, (з) + га, (з) 1 — Еа (5) о Доказательство. В нашем случае а„(з) =а|(з) [а(з)]"-', и»1. Для доказательства достаточно подставить в (1) ао(з) — а| (з) =1 — а~(з), а„(з) — а„+1 (з) = а~ (з) [1 — а (з) ] [а (з) ] " ', пав!, и свернуть сумму геометрической прогрессии.

° ЗА. В случае квазирекуррентного потока событий р(1), задаваемого функциями (А(!), Ф(г)) и согласованного с рекуррентным потоком т(!) (т, е. рекуррентного потока, задаваемого ф. р, А(!)), справедливо С л е д с т в и е 3. Для квазирекуррентноео потока событий р(1), согласованного с рекуррентным потоком событий т(!), а) Мгно= М [Ф(г) ] ч'1; б) з '] ехр( — з!) Мг" шй! ==- ! — оп (г) а (о) о Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала убедимся в справедливости а) и затем воспользуемся следствием 1.

26 а). Воспользуемся вероятностной интерпретацией производящих функций. Каждое событие помечается в красный цвет с вероятностью г и синий — с вероятностью 1 — г. Поэтому Мг"<О= Р (за временной интервал [О, 1) не поступило синих событий). События поступают в вызывающие моменты, образующие рекуррентный поток т((). В каждый вызывающий момент поступает случайное число событий Е с производящей функцией Мг'=Ф(г). Заметим, что Ф(г) =Р (в вызывающий момент не поступило синих событий).

Теперь пометим вызывающие моменты. Вызывающему моменту припишем с вероятностью !в — г, метку «синий», если хотя бы одно событие из поступивших в этот вызывающий момент помечено в синий цвет. Заметим, что г,=Ф(г). Тогда Мг,п'1=Р (за временной интервал [О, 1) не поступало синих вызывающих моментов). Утверждение а) обосновывается очевидным соотношением: Р (за временной интервал [О, т) не поступило синих событий) =Р (за временной интервал [О, 1) не поступило синих вызывающих моментов).

б). Завершает доказательство простая цепочка равенств, следующая из а) и утверждения следствия 1: зехр( — з() Мгин1й( = з ~ехр( — з1) Мг',п1 = о о )1 — а («) 1 — «~а (5) 4. Просеивание потоков. 4.1. Введем для потоков событий т(!) операцию просеиеаиия. При вероятностной интерпретации производящих функций мы уже столкнулись с необходимостью рассматривать не весь поток, а лишь его часть — помеченные события. Пусть для потока ч(() (1„, л> Ц вЂ” последовательные моменты наступления событий, (г„, и> Ц вЂ” интервалы между событиями. Определение 6.

Лроееяннгяй поток р(1) для потока т(1) определяется последовательными моментами наступления событий просеянного потока (( ', т> Ц и соответствующими интервалами (г ', т> Ц, для которых выполнено условие: (1 ', т> Цс:(1„, и> Ц, т. е. для каждого т>1 су1цествует такой номер и, что 1. =1.,' и т "т-1 г« ,-~-1 и« = О.

! «=1 4.2. Заметим, что построение из основного потока просеянного — операция просеивания — полностью определяется последовательностью целочисленных сл.в. (Е , т> Ц, такой, что ) =п — п и т>1. 27 Таким образом, операция просеивания задается конечномернымн распределениями последовательности положительных целочисленных сл.

в. (Ь, т) 1). 4.3. Будем рассматривать только рекуррентную операцию просеивания, когда (з, т) 1) независимы в совокупности и стохастически эквивалентны, т, е, !. Ь, т) 1. Тогда операция просеивания определяется распределением сл.в. !' и будем задавать его производящей функцией Мг"=Е(г). Теор е м а 2.

Поток, полученный из рекуррентного потока, определяемого сл. в. а, при помощи рекуррентной операции просеивания, заданной сл. в, Е, есть рекуррентный поток, определяемый сл. в. р, преобразование Лапласа — Стилтьеса который имеет вид М ехр ( — зр) = (. (М ехр ( — за) ) .