2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984).djvu), страница 6

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рекуррентность просеянного потока следует нз представления ст «» гп !м т)~1, п,=О, г, .1 ь=! независимости в совокупности сл.в. (1., г„; т> 1, п) 1) и стохастнческой эквивалентности Š— Е, т) 1, г„-а, п) 1. Из пункта 3.5 5 2 следует, что ПЛС случайной величины г,' определяется формулой, указанной в формулировке теоремы. ф 4.4. Рассмотрим некоторые примеры применения последней теоремы.

П р и м е р 1. Основной поток — пуассоновский с параметром а, рекуррентная операция просеивания простейшая, определяемая сл. в. !'., имеющей геометрическое распределение Р(Е=т) =ру ', !'.(г) =рг!(1 — дг). Тогда ПЛС функции распределения интервала между наступлением событий просеянного потока определяется соотношением 1 (з) =- (.

(а (з))— ! — даДа +») ра +» т. е, есть ПЛС показательного распределения с параметром ра. 3 а м е ч а н и е. Простейшая операция просеивания задает введенное ранее «окрашнвание» событий, а просеянный поток в этом случае — поток помеченных событий. Наш пример совпадает с утверждением а) леммы 1. П р и м е р 2. Основной поток — рекуррентный, задаваемый сл.в. а, рекуррентная операция просеивания задается константой, т. е. имеет производящую функцию (.(г) =г . Тогда просеянный поток — рекуррентный, задаваемый сл.в.

р, имеющий ПЛС ('(з) = [а(з)]', где а(з) =Мехр( — за). В частности, если а имеет показательное распределение с параметром а, то р имеет распределение Эрланга порядка й. 28 5. Наложение потоков. Поток Бернулли. 5.1. ((ругой важной операцией иад потоками является наложение потоков. Пусть заданы два потока т'(!) и я" (!), (4', п» 1) и (! ", пт.- » 1) — соответствующие упорядоченные последовательности моментов поступления событий.

Объединенным потоком, получеииым в результате наложения (суммироваиия, суперпозиции), будем называть поток т(!), для которого верно представление т (1) = '(!) + " (!). Этот поток определяется упорядоченной последовательностью (!м й» 1), элементы которой получеиы в результате объедииеиия (с повтором для совпадающих значений) двух последовательиостей (1,', и» !) и (! ", гп» 1). 5.2. Утверждение в) леммы 1 показывает, что наложение двух независимых пуассоиовских потоков вновь дает пуассоновский поток с параметром, равным сумме параметров составляющих потоков. 5.3.

Рассмотрим объединение У независимых потоков т1(!), ..., тн(1), каждый из которых является потоком от источника с одним требованием, причем момент поступления требоваиия является сл. в., равномерно распределенной в [О, Т]. Поп ток ч(!) = Х ть(!) называют потоком Бернулли. ь=1 Поток Бернулли обладает следующими легко проверяемыми свойствами: а) для каждого 1~[0, Т] т(!) имеет бииомиальиое распределение: Р (т (!) = /г) == Сй [ — ] [ 1 — — 1, /г = О, Ж; т, т! б) если интервалы Ль ..., Л ие пересекаются, [О, Т] = =Л~+ ...Л„за времеииой интервал [О, Т] поступает У требоваиий от независимых одиночных источников, в моменты времени, равномерно распределенные иа [О, Т], и т(Л;) — число требоваиий, поступивших в интервале Ль 1=1, и, то случайный вектор (т(Л~), ..., т(Л,)) имеет полииомиальиое распределение. 6.

Обозначения потоков при задании СМО. 6.1. Поток обслуживания. Обслуживание требований в СМО также описывается потоком событий. Как правило, обслуживание однородных требований отдельным прибором иа одном периоде занятости системы — рекурреитиый поток. Моменты окончания обслуживания соответствуют моментам наступления событий в потоке обслуживания. Но даже для простейших классов СМО число обслужеииых требований за временной интервал [О, !) ие будет рекурреитиым потоком. 6.2. При задании основных типов СМО символами А [В[п[гп, описанными в ф 1, символы А и В характеризуют потоки требований и обслуживания соответственно. Если иа мес- 29 те символа А стоит буква 6, то входящий поток — произвольный, если стоит набор символов, отличный от 6, то — рекуррентный, причем 6( означает произвольное распределение интервалов между поступлениями требований, М вЂ” показательное распределение (пуассоновский поток), Е» — распределение Эрланга порядка й (эрланговский поток), )тМ~ — гнперэкспоненциальное распределение порядка й, 0 — постоянные (неслучайные) интервалы между поступлениями (регулярный поток), 1/ — равномерное распределение.

Символ В характеризует поток обслуживания. В настоящей книге во всех рассматриваемых системах предполагается, что длительности обслуживания однородных требований — независимые в совокупности одинаково распределенные случайные величины. Поэтому буква 6 означает произвольное распределение длительности обслуживания (часто при таких предположениях используется обозначение И, а символ 6 оставляется для произвольным образом зависимых длительностей обслуживания).

Для конкретных типов распределений длительности обслуживания используются те же символы, что и для входящего потока. Для систем обслуживания с несколькими типами требований используются обозначения вида: А,1В,1п ) т, где А,(= (Ап~, ..., Аьч)) означает, что имеется г типов требований, поток требований 1-го типа характеризуется символом АЮ; В,(= (В('>, ..., В<'))) означает, что ф.р. длительности обслуживания требования зависит от его типа. В частности, символы М, на месте А означают, что в систему поступают г пуассоновских потоков требований.

6.3. Примеры. Набор символов М1611 означает однолинейную СМО с пуассоновским входящим потоком и произвольным распределением длительности обслуживания, а Ез1.0з'13~ 5в трехканальную СМО с рекуррентным эрланговским входящим потоком порядка 2, постоянным временем обслуживания на каждом из имеющихся трех приборах и пятью местами для ожидания. 7.

Задачи. 3 ада ч а 1. Доказать утверждение з) леммы 1. Задача 2. Пусть случайные величины а и б независимы и имеют показательное распределение с параметрами а и Ь соответственно. Показать, что Р(а( р)= а+э 3 а д а ч а 3. Пусть Х(г) — пуассоновскнй поток а параметром а, а — неотрицательная сл. в., не зависящая от Х(!), а(з) =Мехр( — за). Показать, что Мгч >=а(а — аг). 3 а д а ч а 4. Пусть т(!) — квазипуассоновский поток с параметрами (а, Ф(г)); а и т(!) независимы, а(з) =Мехр( — за). Показать, что Мг"-'=а(а — аФ(г) ).

3 а д а ч а 5. Пусть т(!) — квазирекуррентный поток, определяемый функциями (А(!), Ф(г)), А(!) = Р(а<!), Ф(г) =Мг'-, сл. в, р имеет показательное распределение с параметром Ь; р и и(!) независимы. Показать, что Мгии — 1 — а (ь) 1 — Ф (г) а (Ь) й 4. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ТЕОРИИ СЛ УЧА И НЫХ ПРОЦЕССОВ Ниже приводятся, в основном без доказательства, факты ~сории случайных процессов наиболее широко применяемые при исследовании СМО.

Выделены процессы восстановления, регенерирующие процессы, марковские процессы и цепи Маркова. 1. Процессы восстановления. 1.1. Рассмотрим систему с отказами, в которой (г„, и) Ц— последовательность времен безотказной работы системы. Вышедший из строя элемент заменяется мгновенно. Случайная последовательность (г„, и) Ц задает поток отказов (или поток восстановлений) системы. Случайный процесс ч(!), задающий этот ноток, называют процессом восстановления.

Как всегда, т(!) — число восстановлений элементов до момента времени !. Обычно и всюду ниже рассматриваются рекуррентные процессы (потоки) восстановления с запаздыванием, задаваемые функциями А~(1) =Р(г~<1), А(!) =Р(а<!), г„а, и)2, (г„, и) Ц независимы в совокупности. Кроме того, считаем, что для всех йъ 1 Р(гь=0) <1. Легко показать, что для рекуррентного процесса восстановления с запаздыванием существует такое число Вь)0, что для каждого 1~0 Мехр(ВУ(!) ) <оо.

Отсюда следует, в частности, существование конечных моментов всех порядков. 1.2. Функцию Н~(!) =Мт(!) называют функцией восстановления. С рекуррентным процессом восстановления с запаздыванием т(1), задаваемым функциями А~(!) и А(!), естественным образом связан рассматриваемый параллельно рекуррентный процесс восстановления р(!), задаваемый функцией А (1). Соот- 3! ветствующую функцию восстановления обозначим Н(1) = =М)с(1).

Если обозначить через 1, =О, )ь =~. г„, Ь ) 1, мол=! менты восстановления, Аь(х) = Р(1,<х), Ьг»1, то функция вос- становления обладает свойствами 1 . Н, (1) = ~[" А, (1). ь~! 2 (уравиения восстановления). а) Нс(1) =Ас(1)+Н! *А(1), б) НЯ =А(1)+Н вА(1), в ) Н ! (1) = А ! (1) + Н * А ! (1) . Для ПЛС функции восстановления нз них следуют соотно- шения Ь! (5) = — И Ь (5) = ! — а (5) 1 — а (5) 1,3.

Элементарная теорема восстановления. Т е о р е м а 1. Для рекуррентного процесса восстановления с запаздьсванием !пп =а, О! (1) вв где а '=Ма, гс а, Ь)2, причем если Ма=+во, полагаем а=О. 1А. Теорема Блекуэлла. О п р е дел е н и е 1. Точка х называется точкой роста ф.р. А(1), если для любых а и Ь, таких, что а<х<Ь, справедливо неравенство А(Ь))А(а). О п р е д е л е н и е 2. Пусть Х вЂ” множество точек роста 1 ф.р. А(1). Функцию распределения А(1) называют арифметической, если сушествует такое число у)О, что для любой точки х~Х найдется такое целое и, что х=пу. Теоре ма 2. Если А — неарифметическая ф.р., то для любого Ь при с'- со Н (1+ Ь) — Н (1) -с- аЬ, а ' = Ма. 1.5. Узловая теорема восстановления. Теорема 3.

Пусть Я('!) — непосредственно интегрируемая по Риману функция на [О, оь). а). Если А(с) — неарифметическая ф.р., то !пп Я * Н! (1) = а )г Я (и) ди. !» е б). Если А(Ц вЂ” арифметическая ф.р., то 1пп ~(,с* Н, (1) — аЬ 5~! с,с [спЬ+ ~ — ~ Ь) ~ =- О. саь 3 а м е ч а н и е. Определение непосредственно интегрируемой по Риману функции на [О, оо) см, в Приложении 5 2. 2. Регенерирующне процессы. 2.1. При исследовании СМО многие характеристики можно представить через регенерирующие процессы.