2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984).djvu), страница 10

е. время, которое ждало бы до начала обслуживания требование, если бы его поместили в систему в момент 1 (при нахождении этой характеристики считаем, что обслуживание требований проис- ходит в том порядке, в котором они поступают в систему), И7 (х, 1) = р ( Чу (1) < х) . При определении Ро(1), ро(з) и )о(х, 1) будем считать, что в начальный момент времени 1=0 система свободна, т. е. Е(0) =0 с вероятностью 1. В данном случае уравнения для оп- ределения ро(з) из пункта б) теоремы 1 записываются в виде зро(з) — 1 = — аро(з) + Ьр, (з), (10) эра(з) = аро, (з) — (а+ Ь) ро(з) +Ьрьы (з), А>1. Положим р(г,з)= у' горо(з). Тогда из (10) получаем о=о р(г,з)= г — Ь ( 1 — г ) по ( 5 ) (1 1) аг — (1 — г) (Ь вЂ” аг) Функция р(г, з) ограничена при )г/ <1, Кез>0.

Но знаменатель в правой части (11) обращается в нуль при а — ';Ь+а — 7 (а+)Ь вЂ”; — аЯ вЂ” 4ао ~'~ г— уо (5), 2а причем )у~(з) ~<1 при Кез>0. Отсюда следует, что и числитель в (11) должен обращаться в нуль при г=у~(з). Следовательно, т~ (з) — Ь(1 — у~ (з) ) ро(з) =О, или У1 (4) Ь (1 — т, (4)) 50 Отсюда г — (1 — г) Уг(5) 1 — уг(5) 52 — ( 1 — 2) ( Ь вЂ” а2) Преобразуем выражение для р(г, 5): 2 — (1 — 2) [уг(5) р (г, 5) = гг — (1 — г) (Ь вЂ” аг) 2-Уг(5) 1 (1 — уг(5))[гг — (1 — 2)(Ь вЂ” аг)1 а(! — уг(5))(уг(5) — г) а+Ь+5+ 22~(а+о+5)5 — 4аЬ Уо (5)— 2а (у!(5) и уг(з) — корни квадратного трехчлена в знаменателе выражения в правой части (11)).

Разлагая 1/(уг(5) — г) по степеням г, имеем р(г, 5) = ]а(1' — уг((5)) у,(5)]-'~~ ~ 5=5 Отсюда Ро(5) = [а(1 у!(5)) (уг(5)) ~~] Так как у!(5) и уг(5) — корни уравнения зг — (1 — г) (Ь вЂ” аг) = =О, то у!(5)уг(з) =Ь/а. Следовательно, выражение для ро(з) можно переписать в виде (при этом учитываем, что ]у5(з) ] < <1): ° В 55 ,() =,,'„, Я]у,(и'= —.' ( —;)"' Я ]у,(и = г=о )=2+! = — „' ( —;)"' Я ( —.')'(у.()]-!. '=ы-! из последнего представления для ро(5) можно получить явные выражения для Рг(!). Так как 55+ тг55 — 4аь ~ ! 2а есть преобразование Лапласа функции 2-! 1! (2 )г аЫ) 51 (А(г) — функция Бесселя первого рода ыг(! а+!1 а=-о получаем в). Для нахождения функций П~(!) и па(з) будем считать состояние О поглощающим.

Тогда П» представляет собой время до попадания в поглощающее состояние исходя из состояния Й. В силу утверждения а) теоремы 3 и замечания к ней па(з) = =Ьр,(з) (отметим, что функции Р,(!) и ра(з), вводимые при изучении периода занятости, ие те, что были раньше). Сейчас мы рассматриваем другой процесс гибели и размножения, а именно определяемый значениями по=а, Р,=О, ав=а+Ь, ре= =а!(а+Ь), Ь) 1), где функции рв(з) определяются из системы линейных уравнений зр~ (з) = (и+ Ь) Р1(з) + Ьрз(з) (12) зр„(з) — б„, = ар„, (з) — (а+ Ь) р, (з) + Ьр„е, (з), и) 2. Положим Ю р(г, з) = ~ г"р„(з).

л =.з Тогда из (12) получаем г[зг — (1 — г) (Ь вЂ” аг)) р(г, з) =г" — ЬР1(з). (13) Уравнение (относительно г) зг — (! — г) (Ь вЂ” аг) =0 имеет корни г=У,(з) и г=Уз(з), где У1(з) и Тз(з) вводились пРи нахождении распределения сл. в. ь(!). Так как ~у~(з) [<1 при Вез)0, а функция р(г,з) ограничена при [г[<1, нз (13) находим Ьр~ (з): Ьр|(з) = [у1(з)!а = (Ь[а)а[уз(з)) Отсюда П;(!) = [ — [ е и+'и( !/ — 1 Ь(-'1„(2 ~lпЬ !) = а / ьу 1/ а е — ы-,' ьи т (2~/пЬ !) $' а В частности, при й=! и,'~ч =- т' — х,(2$ т~).

52 г) Для нахождения ф. р, виртуального времени ожидания заметим, что О, если С(() =- О, Я7 (() = ~ $(, если 1.(!) = л, 5=! где Я» ..., $д — длительности обслуживания й требований, нахо- дяшихся в системе в момент й Таким образом, %'(х,1) =Р,(1) +~' Рь(1)Р(~ $((х), (14) Ь=! 5=1 где Я(,..., $ь независимы и одинаково распределены по показательному закону 1 †е †"*, а функции Рь(1) соответствуют процессу гибели и размножения, введенному при изучении !.(1). Положим о)" (х, з) = ] е " Я7 (х, 5) Ш.

о Тогда из (14) ы' (х, з) = р, (з) + ~ рь (з) Р [~~ $,.( х), ~1 '(=! Но Ьк Р (~~~$((х) = ~ е-к((и, 5=! о р (з) = [а(1 — т,(з)) (у,(з))"+']-', и >О. Значит, о) к (х, з) = [а (1 — у! (з) ) уо (з) ] -' Х 5К Ьк Х [( 1 + ~~([ТО (З)]-Ь~ " Е55 5(и ~' = Ь=! о — (! 75 (5))К = [а(1 — у,(з)) уо(з)]-! (1+ У5(5) — ) Из (14) следует, что при а/()(1 сушествует 1пп Яу(х,() = Ягк(х), причем ЯГ" (х) = (1 — — )]1+ ~ ( — ) ) е55 (1и) 53 а — (1 — — ) к =1 — — е ь П р и м е р 2. Система М!М~ аа.

Обозначим; а — интенсивность входящего потока, В(х) =1 — е-'к — ф, р. времени обслуживания на любом приборе. Длительности обслуживания требований — независимые в совокупности случайные величины. В рассматриваемой системе обслуживания время ожидания любого требования равно нулю. Изучим случайный процесс Е(!) — число требований в системе в момент времени й Покажем сначала, что Е(1) является процессом гибели н размножения.

Если процесс ~(!) попал в состояние О, то изменение его состояния произойдет с поступлением очередного требования, т, е. через случайное время с показательным распределением ! — е ". Таким образом, время пребывания процесса в состоянии Π— показательно распределенная с параметром а сл.в., после чего процесс переходит в состояние 1. Если процесс Е(>) в момент ! попал в состояние Ь, то время до изменения его состояния ь> можно найти следующим образом.

Пусть ~> — время до поступления очередного требования, к»»>, т»>к>, ..., п>ич — времена дообслуживания й требований, находящихся в системе. В силу свойства отсутствия последействия у показательного распределения и предположений относительно входящего потока и длительностей обслуживания, $> тин>, ... ..., »>ы> независимы в совокупности и показательно распределены ($> с параметром а, т»>о с параметром Ь). Далее, =ппп(~ь т>>и>, ..., т)>ы>), причем если Ь<гп!п (т»»>, ..., »>>к>), то по истечении времени >.> процесс перейдет в состояние Й+1, а если з>)п>1п(т»и>, ..., т»га>), то — в состояние й — 1. Так как Р(~><х) =1 — Р(~>) х) = =! — РДсъх, т>б»>х....т»<к»х) = = 1 — Р ($, ) х) П Р (т>п> ) х) = 1 — е->а+аь>к Р(~><х, Ц><ппп(т»»>, ..., т»>к>) ) = — (! Š— (а+кмк) = а+ьь Р("„><х, ~>)п>!п(»б», ..., т»>к>)) = — ->а+аь>,к) = ьь+а то процесс Е(!) является процессом гибели и размножения, 54 определяемым параметрами Р»=1 ао=а, ЬЬ а а» =а+ еЬ, р„=- с+»Ь Ь)1, а»=а, А>0, Ь»=йЬ, А> 1.

3 а м е ч а н и е. Один и тот же процесс гибели и размножения может описывать процесс Ь(1) в различных системах обслуживания. Например, полученный процесс возникает н при анализе длины очереди в системе М)М) Цсо, в которой интенсивность обслуживания Ь„ зависит от числа требований в системе и следующим образом: Ь„=пЬ. Распределения ~.(1) в этих двух системах (М)М)оо иописаннойсистемеМ)М)1(оо), очевидно, совпадают, чего нельзя сказать о распределениях других характеристик.

Например, процессы виртуального времени ожидания существенно различны. , Используя теорему 1, находим, что стационарное распределение процесса (.(1) — и» вЂ” существует при а<оо, 5<со и является распределением Пуассона м Для нахождения Р»(1) изучим систему дифференциальных уравнений из пункта а) теоремы 1 в случае рассматриваемого процесса гибели и размножения, в котором она имеет вид Рс'Я = — аР»Я+ЬР1(1), Р»'Я =аР», (1) — (а+ЬЬ) Р»Я+ (й+1) ЬРьы(1), Й> 1.

Положим Тогда 55 дР(», ) (1 ) ) Р( 1)+1 се(», ~) ! (15) д» [ дг Для решения этого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка необходимо задать начальные и краевые условия, Будем считать, что в начальный момент времени система свободна, т. е. Р»(0) =1, Р»(0) =0 при й> 1. Тогда Р(г, О) =1. Далее, так как Р(г, 1) — производящая функция вероятностного распределения, то Р(1, 1) =1.