2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984).djvu), страница 4

4.3. Для анализа СМО необходимо знание вероятностного распределения исследуемых характеристик, причем достаточно определить распределение представителя класса стохастически эквивалентных объектов. Поэтому при изучении поведения системы в установившемся режиме, как правило, довольствуются слабой сходимостью $(1) ф~ ($(1) — » в) при 1 — со, которая характеризуется как раз сходимостью вероятностных распределений. 4.4. Распределения характеристик, зависящих от времени й во многих случаях удобно представлять в виде преобразований Лапласа или Лапласа — Стилтьеса.

Заметим, что преобразование Лапласа и преобразование Лапласа — Стилтьеса для одной и той же функции А(1), если они определены, связаны соотношением <Ю ~ехр( — з1) йА(1) = з ) ехр( — з1)А(1) Ю. о— ь— 5. Введение дополнительных событий. Как уже отмечалось, во многих случаях при изучении СМО достаточно найти представление искомых распределений в виде преобразований Лапласа †Стилтье или производящих функций. Использование этих преобразований часто облегчается, если иметь в виду их удобную вероятностную интерпретацию при искусственном введении в функционирование СМО дополнительных событий. 5.1.

Вероятностная интерпретация для действительных положительных з значения преобразования Лапласа †Стилтье а(з) функции распределения А (1) неотрицательной случайной величины а связана со следующим. Одновременно с рассмотрением реализации случайной величины а будем наблюдать за наступлением происходящего независимо от нее, дополнительного, искусственно введенного, случайного «события». При этом считаем, что нам известно, что это «событие» произойдет через случайный интервал времени Х, имеющий показательное распределение с параметром в>0, т.

е. Р(Х>г) =ехр( — з1), 1»0. Л е м м а 2. Значение преобразования Лапласа — Стилтьеса функции распределения неотрицательной случайной величины и при з>0 равно вероятности того, что до завершения реализа- 19 ции случайной величины а не наступит «событие», т. е. Мехр( — за) =Р(а<л). Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение леммы прозрачно, если записать его в виде 1 ехр( — в!)дА(!) =Р(а<Х) а и иметь в виду вероятностную интерпретацию интеграла Стилтьеса, согласно которой дА (!) = Р(па= [1, !+д!) ). Того же результата можно достичь формальными преобразованиями Р(и<к) =М!(а<л) =М(М(!(Х>!)(а=!)) = =М(Р(Х>!)а=!)) =М(ехр( — з!)!а=!) =Мехр( — за), И здесь !(В) — индикатор событий В.

3 а меч а н не 1. При исследовании СМО рассуждения облегчаются образной интерпретацией наступления «события» как наступления «катастрофы». Тогда Р(а<л) — вероятность того, что до завершения реализации а «катастрофа» не произошла. Замечание 2. Иногда удобно рассматривать последовательность, поток «катастроф», происходящих через независимые интервалы времени, эквивалентные 1.. В этом случае ввиду основного свойства показательного распределения, начиная с любого фиксированного момента времени, например с начала реализации сл.в. а, следующая «катастрофа» произойдет через случайный промежуток времени, стохастически эквивалентный ~.. 5.2. Вероятностная интерпретация для ге=(0, 1) производяшей функции Е(г) распределения вероятностей (Р(Е=п); п> > О) целочисленной сл.в.

Е, объясняется следующим. Значения случайной величины Е почти всегда можно рассматривать как количество некоторых объектов, учтенных за определенный временной интервал. Одновременно с учетом избранных объектов будем считать, что независимо от их числа при учете каждому объекту случайным образом с вероятностью г приписывается метка «К» и с дополнительной вероятностью 1 — г — метка «С».

Таким образом, одновременно с Е мы можем рассматривать сше две сл.в. ЕК и ЕС, которые при фиксированном значении Е имеют биномиальное распределение: ЕК-В!(Е, г) и ЕС— В1(Е, 1 — г) . Л е м м а 3. Значение производящей функции распределения вероятностей целочисленной случайной величины Е при е=(0, 1) равно вероятности того, что при реализации )- не было объектов с леткой «С», т. е. Мгс= Р(!.С=О). 20 Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение сразу становится понятным, если расписать подробно последнее равенство и воспользоваться формулой полной вероятности: Мг" =- ~' Р (Т.

=- л) г" = »>о = ~ Р (1. = и) Р (Т.К =- ЬЛ. =- п) = Р (Е = СК) = Р (ЛС = О). Я »>о 3 а и е ч а н и е. При анализе СМО принято приписывание меток «К» и «С» интерпретировать как окрашнвание объектов в красный и синий цвет соответственно. Тогда значение производящей функции распределения вероятностей случайной величины ( равно вероятности того, что среди реализаций Т. не было синих. Иногда применяют и другие трактовки этих меток. 6. Задачи. Задача 1. Пусть т, (и.; л>1) — независимые в совокупности случайные величины, а«-а, и> 1, т — целочисленная. Показать, что М ~~ а„=- МаМт.

л=о 3 а д а ч а 2. Пусть т(() — случайный процесс, Ед(1) =Р(т(1)~А). Дать вероятностную интерпретацию функции гол(з) = з ~ е — "Р,,(() Ж. о $ 3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА 1. Определение потока событий. 1.1. Рассматриваются однородные события, требования, вызовы, заявки, запросы, клиенты и т, д. Определение 1. Потоком (однородных) событий называется случайный процесс (т(1), 1>0), принимающий целые неотрицательные значения, траектории которого нс убывают и т(0) =О. Значение т(1) имеет смысл числа событий, наступивших за временной интервал [О, 1). Если 11 <1о<„, — последовательные моменты наступления одиночных событий и Ьо= — О, то (г»=1» — 1,,; й> 1) — интервалы времени между последовательными моментами наступления событий. Поток событий можно определять, задавая случайные последовательности (1,; й>1) или (гьл й> 1).

Определение 1'. Потоком событий называется последовательность неотрицательных случайных величин (го, й> 1). 21 Исходя из смысла случайного процесса т(1) и последовазельности (г», й>1) можно показать, что определения 1 н 1' приводят к одному и тому же классу объектов. О п р е д е л е н и е 2.

Говорят, что задан поток событий, если либо а) заданы конечномерные распределения последовательности (гм я>1), т. е. для любого целого и> 1 задано распределение случайного вектора (гь ..., г,), либо б) заданы конечно- мерные распределения процесса ч(1), т. е. для каждого целого и> 1 и любого набора неотрицательных чисел т„ ..., т задано распределение случайного вектора (ч(т,), ..., ч(т,)).

Определение 3. Два потока событий ч'(1)((г,', я>1)) н т" (1) ((г»", й> 1) ) будем называть эквивалентными, если у них совпадают соответствующие конечномерные распределения. !.2. Мы будем в основном иметь дело с потоками, у которых (г,, я> 1) — независимые в совокупности случайные величины. Такие потоки полностью определяются набором функций распределения (Р(г»<1), й> 1). О и р е д е л е и н е 4. Рекуррентным потоком с запаздыванием, определяемым функциями распределения А,(1) и А(1), называется поток событий, у которого 1) (г», й>1) — независимы в совокупности.

2) г, а, и > 2, А (1) = Р ( а < 1), 3) А1(1) =Р(г1<1). Если у рекуррентного потока с запаздыванием А,(1) =А(1), то задан рекуррентный поток, определяемый функцией распределения А(1). 1.3. В том случае, когда некоторые г» равны нулю, т. е. одновременно наступает несколько событий, мы имеем дело с неординарным потоком.

Различные моменты времени поступления групп событий или отдельных событий называют вызывающими моментами. Если вызывающие моменты образуют рекуррентный поток, задаваемый ф.р. А(1), а количества событий, поступающих в разные вызывающие моменты, — независимые в совокупности случайные величины, стохастическн эквивалентные случайной величине Ь, Т.(г) =Мг", то такой поток называют квазирекуррентным, задаваемым функциями' (А(1), Т.(г)). 2. Пуассоновский поток чаще других применяется при анализе СМО.

О п р е д е л е н н е 5. Пуассоновским потоком с параметром а называется рекуррентный поток, определяемый показательной функцией распределения, т. е. р(г <Г) ! е ы й>! Случайный процесс пуассоновского потока с параметром а будем обозначать 1.(а, 1) нли иногда Х(1). Широкие приложения пуассоновского потока обусловлены его замечательными свойствами. Лемма 1. а). Поток помеченных с вероятностью г собьы 22 тий пуассоновского потока с параметром а является пуассоновским с параметром га. б). Для каждого 1' 0 сл.

в. Л(а, 1) имеет пуассоновское распределение с параметром а1, т. е. Мехико = ехр( — а(! — г) 1); или Р(Л(а, 1) = й) = — ехр( — а1), (ы)" А! Так как МЛ(а, 1)=а1, то а имеет смысл интенсивности— среднего числа событий, поступающих за единицу времени. в). Объединение двух независимых пуассоновских потоков с параметрами а, и а2 дает пуассоновский поток с параметром а,+ам т. е.

Л(аь 1)+Л(аь 1) — Л(а,+а,, 1). г). Процесс Л(1) пуассоновского потока стационарен, т. е. для любого с>0 поток Л(1+с) — Л(с) эквивалентен потоку Л(1) д). Процесс Л(1) является процессом с независимыми приращениями, поэтому говорят, что пуассоновский поток обладает свойством отсутствия последействия. е). Пуассоновский поток — ординарный, т. е. Р (Л(Ь) ъ 2)Л(й) ) !) - 0 при й- О.