2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984).djvu), страница 9

Здесь д=о ро= 1 оо ° .. о»„д Р»= ь, ... ь, при й>1. Ро'(1) = — аороЯ лгЬ!Ро(1), Рд'(1) =ад,Р, ~(1) — (а»+Ьд)Р»Я+Ьд»1Р»+1(1), я>1. б) Пусть начальное состояние процесса т!'1) задается рас- пределением вероятностей Р»(0) =Р(ч(0) =й) =~рд. Тогда при Вез>0 функции р»('з) удовлетворяют системе линей- ных уравнений зро(з) — ~ро= — аоро(з) + Ь|р~(з), зрд(з) — ~р»=ад,р, ~ (з) — (а»+Ь,) р,(з) +Ь»+,рд»1 (з), lг>1. в) Для любого й> 0 существуют пределы 1ппР»Я =пм о не зависящие от начального состояния процесса ч(1), причем если ряд Я р» раскодится, то п»=0 для всех й>0, в протав- Т е о р е и а 2.

Пусть множество состояний процесса чЯ | совпадает с множеством (О, 1, 2, ... и) и ро|=1, 0<р;<1 при,' 1 <1<а — 1, Р„=О. а) Функции Р»(1) удовлетворяют системе дифференциальнь|х уравнений Ро'(!) = — аоро(() + Ь!Р! ((), Р»'Я =а» |Р»,(1) — (а»+Ь|) Р»(1) +Ь»л,!Р»+1 (1) 1 <!2<п — 1, Р„'Я =а„|Р„|(1) — Ь Р„(1). б) Если начальное состояние процесса ч11) задается распре- делением |р»=Р(ч(0) =Ь), А=О, и, то при Вез>0 функции р»(5) определяются из системь| линейнь|х уравнений 5Ро(5) — ооо = — аоРо(5) + Ь|Р|(5), 5р,(5) †«р»= а» |р» !(5) — (а»+ Ь»)р»(5) + + Ь»»!р»;.! (5), 1 <А <и — 1, зр„(5) — |р„=а„|р„! (5) — Ь„р„(5).

в) Для любого О <!2<а существует 1)и1 Р» (1) = я» > О, причем » и! = поР| по = Д' Р11 1=0 где ао а|-! Ро=1 Р1 = ' 1<1<а. ь, ... ь; Те о р е и а 3. а) Пусть ро=О, 0<р;<1, 1) 1, тогда функции Р»(1) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений Ро'(1) =Ь!Р! (!), Р!'(1) = — (а,+Ь,) Р,(1),+Ь»Р2(1), Р;Я =а,,Р»,(1) — (а„+Ь») Р»(1) +Ь»»!Р».»1 (1), Ь) 2, а функции р»(5) при Ке 5>0 — системе линейных уравнений 5ро(5) — я!о= Ь!Р1(5), зр1 (5) — ч!1 = — (а1+ Ь!) Р1 (5) + Ь2Р2 (5), зр»(5) — |р»=а» |р» ! (5) — (а»+Ь») р»(5) +Ь»л.|р»»1 (5), Ь> 2, где ц|,=Р(» (0) =|).

б) Пусть множествол! состояний процесса чЯ является множество целых неотрицательных чисел (О, 1, 2, ..., и) и ро= 44 =О, 0<р;<! при ! <! <и — 1, р =О, тогда функции Р»(1) удов- летворяют системе дифференциальных уравнений Р»'(!) = Ь! Р! (!), Р!'(!) = — (а!+ Ь!) Р! (!) +Ь,Р,(!), Р»'(!) =а» !Р» !(!) — (а»+Ь»)Р»(!) +Ь»»!Р»»!(!), 2<у<а †, Р„'(!) =а„!Р„!(!) — Ь„Р„(!), а функции р»(з) при !хез>0 — системе линейных уравнений зре(з) — ц!о= Ь!р»(з), зр!(в) — <р! = — (а! + Ь!) р!(в) + Ь»рг(в), вр»(з) — ср» =а»,р» !(з) †(а»+ Ь»)р»(в) + +Ь»»!р»ч! (в), 2 <й <и — 1, зр, (з) — ср„= а„! р„! (е) — Ь р„(з), где ср!= Р(т(0) =!), !'=О, и.

3 а меча ние. В условиях теоремы 3 состояние 0 является поглощающим. При !ре=О функция Ь|Р!(!) представляет собой плотность распределения интервала времени до попадания в поглощающее состояние. При изучении систем обслуживания, описываемых процессами гибели и размножения, эта теорема дает возможность определить характеристики периода заня- тости. Доказательство теоремы !. а). Рассмотрим изменения состояний случайного процесса т(1) в интервале (1, !+Л), Л> >О, имеем при Л -0 Ре((+Л) =Ра(!) [! — аоЛ]+Р!(!)Ь!Л+о(Л), (!) Р»(Г+Л) =Р»(!) [1 — (а,+Ь»)Л]+ + Р», (!) а, !Л+ Р»„, (!) Ь»ч!Л+ о(Л), (2) где о(Л)/Л- 0 при Л- О. Докажем, например, соотношение (2).

Положим Ри(1, Л) =Р( (!+Л) =// (!) =!). Тогда по формуле полной вероятности Р»(!+Л) =Р»(!)Р»»(1, Л) +Р» !(!) Р» !»(1, Л)+ + Р»+ (!)Р»+!»(! Л) + ~ Р;(!)Р,»И,Л) !'Ф» — !, », »-(-! Найдем условные вероятности, входящие в правую часть пос- леднего соотношения. 1. Так как изменения состояний процесса гибели и размно- жения происходят единичными скачками, а время пребывания в каждом состоянии имеет показательное распределение, то при [й — ![>1 Р,»((, Л) =о(Л) при Л -О. 45 2.

Из свойств 2) и 3) процессов гибели н размножения и свойства отсутствия последействия показательного распределения Р»» (1, Л) = е~~ + о (Ь) = 1 — и»Л + о Я) = 1 — (а„+ Ь») А+ о (Л) Р, »» (1, Л) = р,, (1 — е ""-'о) + о (Л) = а»,Л + о (Л), Рьь,» (1, л) = а»ч., (1 — е "»+ о) + о (л) = ь»~. й + о (й) . Таким образом, соотношение (2) доказано. Из (2) имеем Р»1)+а) — Р»00 а = а»,Р» (1) — (а» + Ь») Р» (1) + + Ь+ Р.+,()) + —,.

о(а) Соотношение (3) справедливо для любых 1>0, Л>0. Полагая 1=т — Л, получаем Р»(т) — Р»(т — а) = а»,Р»,(т — Ь) — (а,+Ь») Р„(т — Л)+ + Ь»+»Р»+» ( Л) +— о(а) нлн, полагая Ь= — Й, Р»( о+а) — Р» ! т) = а»,Р», (т + Ь) — (а» + Ь») Р, (т + Ь) + Ь»+»Р»+ ( +й)+ о(о) (4у Последнее соотношение справедливо прн т>0, й(0, т+й>0. Так как Р»(1) ограничены прн любых й> О и (ъО (Р»(1) — вероятность), из (3) н (4) следуют непрерывность н дифференцнруемость функций Р»(1) прн 1>О и существование правосто'ронней производной Р)(1) в точке 1=0. Переходя к пределу прн Л-»-0, й- 0 в (3) н (4), имеем Р»к(1) = а» 1Р» ~ (1) — (а»+Ь») Р»(1) + Ь»+1Р»»1 (1) ° (5) Из (1) находим Ро'(1) = — аоро Я + Ь1Р1 (1) ° (6) б). Система линейных уравнений для определения р)(з) получается нз доказанной системы дифференциальных уравнений для Р;Я с помощью равенств ~ е-"Р' (1)'а1 = зр) (з) — Р) (0), о справедливых при Кез>0.

4б в). Цепь Маркова т(!) является сжимающей и неразложимой. Действительно, в силУ опРеделениЯ т(!) Роз)0 пРи всех ~', !' и Г)0 (Р'и= Р(т(!) =! /т(0) =1) ). В силу теоремы 4.5 Введения отсюда следует существование пределов Игп Р»(!) =лм причем в силу неразложимости цепи возможен только один из двух случаев 1) л»=0 для всех й) 0; 2) л») О, ~ л» = 1 и (л», Ф)~0) является единственным стационарным распределением. Из существования пределов !цп Р»(!) и из (5), (6) следуют о ю существование Игп Р»'(!) и равномерная ограниченность 8-+ Р»'(Г) по Г. Отсюда следует, что ИгпР»'(Г) =О. Переходя в (5) с о и (б) к пределу при 1-1-со, получаем — +Ь =О, а,,л, 1 — (а»+Ь,)л» +Ь» |л»,1 —— О, й)1.

Полагая х»=а» ~л», — Ь»лм й>1, имеем х~ =О, х» — х»+1=0, й) 1. Отсюда х,=О для всех й) 1. Следовательно, а» 1л» 1 — Ь»л»=0, т. е. о» 1 л»-» = Р»' ло. о» Отсюда следует, что если ~ л»= 1, то Я р»(оо. »=о »=о Для доказательства теоремы осталось показать, что из сходимости ряда ) р» следует '~ л» = 1. »=о »=о Процесс т(!) является регенерирующим, моментами регенерации служат моменты попадания в состояние О.

Пусть $ — длительность периода регенерации, ~», й)1,— длительность интервала времени до момента первого попадания процесса в состояние О, если в начале интервала он находился в состоянии /г; А(х) =Р(~<х), А»(х) =РЯ»<х). 47 Из определения процесса ъ(1) имеем А (х) = ) А, (х — и) а,е —" т(и, о (7) к А1 (х) — р1 ) Ао (х и) а е-и,иг(и -с о) (1 е — и,х) о х Ао (х) = ро ) Ао+, (х — и) а„е "«" г)и,',+ о к + до) Ао, (х — и) аое "о" о(и, а ) 2. о (8) (9) Так как о (и Ко) — неотрицательная случайная величина, то либо М~(оо, либо М~=+оо. Из (7) — (9) получаем М~=М~,+ М~~ = р1М$о+ а1 ', Мзо=РмМоо+,+г)ойдо 1+по ', й>2.

Отсюда М~ = а — ''1 р». о=! Поэтому из сходимости ряда ~~~ р„ следует конечность М$. о=о Таким образом, ~ — собственная сл.в. Из (7) следует, что А (х) — абсолютно непрерывная ф.р. (и, следовательно, не- арифметическая). Таким образом, из теоремы 4.4 Введения следует существование 1пп Р (т (1) = /г) = [М4]-' ) р„(х) о(х ) О, о где 48 ро(х) = Р(о(х) =й, 5)х)т (О) =О). Теорема доказана. Я Доказательство утверждений теорем 2 и 3 составляет содержание задачи 1.

3. Примеры систем обслуживания, описываемых процессами гибели и размножения. П р и м е р 1. Система М)М11( оо. Пусть а — интенсивность входящего потока, В(х) =1 — е-"' — ф.р. длительности обслу-, живания. Для рассматриваемой СМО мы а) покажем, что процесс 7 (Г) — число требований в системе в момент à — является процессом гибели и размножения, найдем его параметры и стационарное распределение; б) используя пункт б) теоремы 1, найдем распределение Ь(!) в произвольный момент времени 1; в) используя теорему 3, найдем распределение периода занятости; г) покажем, как, зная распределение 1.(!), можно найти распределение виртуального времени ожидания. а). Покажем, что 1.(!) является процессом гибели и размножения, и найдем значения параметров аь рь ()(.

Пусть в момент ! система стала свободной (т. е. Е(!) равным нулю). Изменение состояния процесса ~(!) в этом случае произойдет, когда поступит очередное требование. Так как интервалы времени между поступлениями требований имеют показательное распределение 1 в е '", то время пребывания процесса 1.(!) в состоянии 0 имеет показательное распределение ! — е '", после чего он переходит в состояние 1. Отсюда по=а, Ро=). Пусть теперь в момент ! процесс попал в состояние в, А) 1. В этом случае изменение состояния процесса произойдет когда или поступит еще одно требование, нли требование, находящееся на приборе, закончит обслуживание (одновременное осуществление этих событий имеет вероятность О). Пусть $( — время до поступления очередного требования, т!( — время до окончания обслуживания требования, находящегося на приборе.

Тогда $( и т!( независимы и имеют показательные распределения 1 — е-' и 1 — е-' соответственно. Время до изменения состояния процесса равно и(!п(5(, т!() и, следовательно, имеет показательное распределение 1 — е-('+ом. После истечения времени пт!пД(, т!() значение процесса будет равным )т+! или й — 1, в зависимости от того $(<т!(, или $(>т!( (как уже отмечалось Р(с(=т(() =О). Найдем Р(пппД(, т!() <х, в(<т(() и Р(ппп(в(, т(() <х, з(>т!(): Р(пт!п(В( т!() <х, з(<т)() =РЙ«х, з«т!() = а ~ Р((1 >ц)(((1 е — аа) о — Š— Ьи(1 (1 Š— аи) — (! Е (а+Ма) , а+Ь о Аналогично Р( Д „) < Х тз >(1) (1 Š— (а-(-ЬЫ) Ь Отсюда вытекает, что Ь(!) является процессом гибели и раз- множения, определяемым параметрами оо=п, Ро.= 1, а Ь с(а = а -'.— Ь, р, =-, (1„=-, й > 1, а+Ь а+Ь и, следовательно, аа=а, Ь> О, Ь,=Ь, Й) 1.

Используя теорему 1, находим, что стационарное распредеиие существует при а/Ь<1 и является геометрическим: п„=(1 — — )( — ), й>0. б). Найдем другие характеристики рассматриваемой системы обслуживания. Пусть Р, (1) = р (Т. (1) = Ь), р, ( ) = ~ -нР, Я (1. о По — длительность периода занятости системы, начавшегося с й требований, т. е. промежутка времени, начинающегося с обслуживания одного из А требований, имеющихся в системе, и заканчивающегося, как только система освободится от требований, П, (1) = Р(ПЬ < 1), л„(з) = Ме ' о, Яг(1) — виртуальное время ожидания в момент 1, т.