2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984).djvu), страница 12

< /, |1, < и| |и Я, Ч,)) = ". (1 — ехР ( — (а+ Ьд+Ьг) /)), а+ь,+,ь, то время пребывания процесса 1,(/) в состоянии (п|, пг) имеет показатегьное распределение 1 — ехр( — (а-1-Ьг+Ьг)1), после чего он переходит в состояния (и|+1, пг), (п| — 1, пг+1) и (пь и,— 1) с вероятностями а/(а+Ь|+Ьг), Ь|/(а+Ь!+Ьг), 6! Ьг/(а+Ьг+Ьг). Аналогично доказываются остальные свойства' процесса Е(1). Исходя из свойств 1 — 3 процесса !.(1) выводится система дифференциальных уравнений Р'(0,0, /) = — аР(0,0,1) +Ь,Р(0, 1,1), Р'(пь О, 1) = — (а+Ь,) Р(п„О, 1) + ЬОР(пь 1, 1) + +аР(п| — 1, О, 1), и|) 1, (б) Р'(О, пь/) = — (а+Ьг)Р(0, пг 1) +Ь~Р(1, пг — 1, т) + + ЬОР(0, пг+ 1, 1), пг) 1, Р'(и|, пь /) = — (а+ Ь, + Ьг) Р (п|, пм 1) + +Ь!Р(п|+1, пг — 1, 1) +ЬгР(п|, пг+1, 1) +аР(п| — 1, пг, 1), и|~1, пгъ 1. Процесс 1. (1) является регенерирующим (точки регенера- ции — момента освобождения системы).

Используя теорему 4.4 Введения, так же, как в $1, доказываем, что при гпах(а/Ьь а/Ьг] (1 существуют !пп Р(и„п„/) = п(и„п,) ) О, ~~~ ~ п(п„пг) = 1, л,=г л1=0 !1гпР'(пь и,, /) =0 при всех п,~О, пг>0. Переходя к пределу при /-лоо в (6), получаем — ал(0, 0) +Ьги(0,!) =О, — (а+Ь,)п(пь 0)+Ьги(пь 1)+аи(п,— 1, 0) =О, п,~!, — (а+Ьг)п(0, пг)+Ь,л(1, пг — 1)+Ьгп(0, пг+1) =О, пгъ!, — (а+ Ь | + Ьг) я (и|, пг) + Ьггг (и| + 1, пг — 1) + +Ьги(п|, пг+1)+аи(п,— 1, пг) =О, п|)1, пгъ1, л л '~' и(п„п,) = 1.

л,= — О л,=г Решение этой системы линейных уравнений имеет вид п(п„п ) = (1 — — ) (1 — — ) ( — ) ( — ) П р н м е р 3. Простейшая система обслуживания с абсо- лютным приоритетом. Пусть в однолинейную систему обслуживания поступают два пуассоновских потока требований с интенсивностями а, и аг соответственно. Время обслуживания требований первого по- тока — сл.в, с показательным распределением 1 — е-О ', второ- го — с показательным распределением 1 — е-О ".

Требования первого потока имеют преимущество перед требованиями вто- 62 рого. Это преимущество заключается, во-первых, в том, что требования перво~о потока становятся в очереди впереди треоований второго, и, во-вторых, в том, что если во время обслуживания требования второго потока в систему поступает требование первого, то происходит прерывание обслуживания, и прибор занимает поступившее требование. Требование второго потока, обслуживание которого было прервано, возвращается в очередь впереди всех требований второго потока, и при новом поступлении на прибор дообслуживается. Пусть Б(Г) = (/-|(Г), /г(Г)), Р(пь пь !) =Р(Е~(Г) =пь /г(!) =пг).

Процесс Б(Г) обладает следующими свойствами. 1. Множеством его состояний является множество пар неотрицательных целых чисел ((й, !г); !,> О, !г> 0). 2. Время пребывания процесса 1.(!) а) в состоянии (О, 0) — сл.в. с показательным распределением 1 — ехр( — (аг+аг)х); б) в состоянии (О, !г), !г>1, — сл.в. с показательным распределением 1 — ехр( — (аг+аг+Ьг)х)' в) в состоянии (!ь!г), !г> 1, !г>0 — сл.в. с показательным распределением 1 — ехр ( — (аг+ аг+Ьг) х). 3. Из состояния (О, 0) процесс переходит в состояния (1,0) н (О, 1) с вероятностями аг/(аг+аг) и аг/(аг+аг).

Из состояния (О,!г), !г>1 процесс переходит в состояния (О, !г — 1), (О,!г+1), (1, 1г) с вероятностями Ьг/(а, +аг+ Ь,), а,/(а|+ аг+ Ьг), а,/(а|+ а, + Ьг). Из состояния (О, !г), й> 1, !г>0 процесс переходит в состояния (!~+1, !г), (!1 — 1, !г), (гь !г+1) с вероятностями а1/(а1+аг+Ь1), Ь|/(а1+аг+Ь1), аг/(а,+аг+Ь,).

указанные свойства процесса Е(Г) доказываются так же, как в примере 2. Исходя нз свойств 1 — 3 легко выводится система дифференциальных уравнений для Р(пь пг, !): Р'(0,0,1) = — (а,+аг)Р(0, О, Г)+Ь,Р(1,0, Г)+ЬгР(0, 1,1), Р'(О, пг, Г) = — (а1+аг+ Ьг) Р(0, пъ Г) + Р (О, пг — 1, !) аг+ +Р(О,и,+1,/)Ьг+Р(1,пг,()Ьь пг>1, (7) Р'(пь пг, Г) = — (а ~ + аг+ Ь,) Р(пь пг, Г) + +Р(п,+1, пг, Г)Ь,+Р(п,— 1, п,, Г)а,+ +(1 — б„„о)Р(пь и,— 1, Г)аг, п,>1, пг>0. Для решения этой системы уравнений необходимо задать еще начальные условия.

Будем считать, что в момент !=О система свободна, т. е. Р(0,0, 0) =1. Положим р(гм ем з) = ~ е-"М!г,'- гоггьпо!. о 63 Тогда из (7) получаем [з+а1+йй+Ь1 — Ь1г,— ' — а1г~ — ййгй]р(г1, гй, з) + + [Ьй — Ьггй 1+ Ь1г1 1 — Ь1] р(0, гг, з) = =1+ (Ь, — Ь1г ) р(0, О, з). (8) Рассмотрим систему уравнений з+а1+ай+Ь1 — Ь1г1 ' — а1г, — айза=0, Ьй — Ь,га — '+Ь,г,— ' — Ь1=0. Покажем, что она имеет единственное решение г1=у1(з), гг= =уа(,), причем у1(з), у,(з) аналитичны в области Ке з>0, и в этой области [у1(з) [<1, [уа(з) [<1. Преобразуем систему к виду ь, г1 —— Ь1+х+й1 — й171 ай — й11 (9) ь, г,= ьг+1+й1 — а111+йх — а121 Умножая первое уравнение на а1, а второе — на а, и складывая их, получаем аь, а,ь, (10) + Ь1+х-~-а,+йй — х Ь,+и+а1+ай — х где положено х=а,г,+а,гв а,Ь а,Ь, Функции (от х) ' ' + и х анаЬ1+1-1 а,+а1 — х Ь1+х+а1+а1 — х литичны в некоторой области, содержащей круг [х[ <а1+аг, причем (если Кез>0) на границе круга (т.

е. при [х[ =а1+аг): ! Ь1+х+а1+ай — х Ьа+х+а1+ай — х В силу теоремы Руше функции х и х а,Ь! + аь Ь1+1+а1+а1 — х Ьа+1+а1+а — х внутри круга [х[<а1+аа имеют одинаковое число нулей, т. е. ровно по одному. Таким образом, уравнение (10) при каждом з, Кез>0, имеет единственное решение х=х(з), такое, что ]х(з) [<а1+а,, В силу теоремы о неявной функции х(з) — ана- литическая функция при Кез>0. Подставляя найденное значение х в правые части (9), на- ходим У1(З) = ь, Ь1+1+а1+а1 — х(х) у()= Ьа Ь1+Я+а1+а1 — х(5) Неравенства [у»(з) ] <1 и ]уг(5) [<1 вытекают из полученного представления у»(5) и уг(з) через х(5) и доказанного неравенства ]х(5) ] <а|+а».

Аналитичность у»(з) и уг(з) при Кез>0 является следствием аналитичности х(з). Функции р(гь г,, 5) и р(0, гг, 5) ограничены при [г|]~1, !гг] (1. Следовательно, из (8), подставляя г|=у»(а), гг=уг(з), получаем 1+Ь,(1 — [уг(5)]-')р(0,0,5) =О, пли р(0 0 ) Ув(5) Ьг(! — Уе(5)) Рассмотрим квадратный трехчлен от г,: (5+а|+6»+аг — аггг) г| — а»г»г — Ьп Один из его корней г 6| (гг, 5) 5+а,-|-ае — авг,+6,— тт (5+а,+а,— а,гв+Ь,)в — 4а»Ь» 2а, при [гг] <1, Кег>0 удовлетворяет неравенству [6»(гг, 5)]<1.

Подставляя в (8) г»=6,(гг, 5), получаем [Ь, — Ьгг;л — Ь! + Ь, (6| (гм 5) )-'] Р (О, г,, 5) =. =- 1+ (! — г,,— ') ™ ! — Уе (5) Отсюда находим Уе (5) р(0, г,, 5)-- 65 — Ьегг | — 6»+6»1б»(5„5)!» Теперь из соотношения (8) можно найти р(г», гг, з). Можно показать, что стационарное распределение процесса Г.(!) суще.твует при а»»Ь»+аг/Ьг<!.

Его производящую функцию Р(гп гг) можно найти из соотношения Р(г|, гг) =!пп 5Р(гп гь 5). »о Значительно более общие модели систем обслуживания с приоритетами будут изучены в главах 3 и 4. Другие примеры марковских систем обслуживания, не опн* сываемых процессами гибели и размножения, содержатся в задачах. 3. Задачи. 3 а д а ч а 1. Найти стационарное распределение Г.(!) в однолинейной СМО, в которую поступает пуассоновский поилок требований с интенсивностью а. Требования обслуживаются группами по й (или меньшего объема, если в системе 3 Ь ф.

Матвеев, В. Г, ушаков 65 нет я требований), Время обслуживания группы требований' имеет показательное распределение 1 — е-'"'. 3 а д а ч а 2. Рассмотрим однолинейиую систему обслуживания с неограниченным числом мест для ожидания, в которую поступают два пуассоновских потока требований с интенсивностями а, и а, соответственно. Время обслуживания требований 1-го потока имеет показательное распределение 1 — е Требования первого потока имеют преимущество перед требованиями второго потока, которое заключается в следуюшем: а) требования первого потока становятся в очереди впереди требований второго потока; б) требования первого потока прерывают обслуживание требований второго потока.

Требование второго потока, обслуживание которого было прервано, теряется. Пусть Гл(1) — число требований 1-го потока в системе в момент времени 1, Г.(1) = (Ь(1), Ег(1)). Найти 1) ~ е — и М !г'- ш г ~~о'!Ш; 1 2 о 2) условие существования стационарного распределения процесса 1. (1); 3) 1~п М !гь го г'-ап]; ! 2 4) 11гпМ~.,(1), 1=1,2. 3 а д а ч а 3 (продолжение), Г!усть в однолинейную систему с неограниченным числом мест для ожидания поступают г)1 пуассоновских потоков требований с интенсивностями аь ..., а„. Время обслуживания требований 1-го потока имеет показательное распределение 1 — е ~'. Прн 1(!' требования 1чго потока имеют преимушество перед требованиями !'-го потока, задаваемое условиями а) и б) задачи 2. Пусть (,(1) — число требований 1-го потока в системе в момент времени 1, Г. (1) = (4(1), ..., Г.„(1) ).

Найти: 1) условие существования стационарного распределения процесса Г. (1); 2) !йп Мг""', г =- (г,, ..., г,); с 3) 11п1М(,(1), 1=1, г. 3 а д а ч а 4. Рассмотрим систему обслуживания, состояшую из конечного числа приборов, занумерованных числами 1, ..., А. Каждое поступающее требование обслуживается последовательно на 1-м, 2-м, ..., к-м приборах. Время обслуживания требования на 1-м приборе — сл.в.с ф.р.