2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984).djvu), страница 11

Общее решение (15) записывается в виде Р(з, 1) =ехр ((а)Ь) г)д((1 — г) е-"'), где д(и) — произвольная функция. При 1=0 Р(з, О) =ехр ((а/Ь)г)д(1 — г) =1. Полагая 1 — г=у, имеем у(у) = ехр ~ — — (! — у) ~. Отсюд ь Р(г, !) = ехр ~ — г — — (1 — (1 — -г)е о')1 ь ь Это решение, очевидно, удовлетворяет и краевому условию', Р(1, !) =1.

Переписывая выражение для Р(г, !) в виде Р (г, !) = ехр ~ — — (! — е — и! ( ехр ! г — (1 — е — о')~ н разлагая Р(г, !) в ряд по степеням г, получаем <. Р(г !) =-ехр ~ ' (1 е-ы)1'Р Ь )ем' м Отсюда — (1 — е оо! ] Ро(!) = ехр ~ — — (1 — е-")1, й) О. ь а! Способ нахождения распределения периода занятости с помощью теоремы 3 показан в примере 1. Здесь мы укажем общий способ нахождения ПЛС ф.р. периода занятости в широком классе систем с пуассоновским входящим потоком.

Пусть Ро(!) — вероятность свободного состояния системы в момент времени ! при условии, что Ро(О) =1 и р,(з) = ~ е-"Р,(!) га, о П вЂ” длительность периода занятости, начавшегося с одного требования, л(з) =Ме-' . На параметры системы (длительности обслуживания, ограничения на время пребывания и время ожидания и т. п.) наложим единственное ограничение: их распределения не зависят от !. Из этого предположения вытекает, что длительность периода занятости, начинающегося в момент времени Т, не зависит от Т и что процесс Т.(!) является регенерирую!цим (точки регенерации — моменты освобождения системы).

Справедливо соотношение зро(з) = + и (з) зро (з) (16) «+а о+а где а — интенсивность входящего пуассоновского потока. Для доказательства (!6) воспользуемся методом введения дополнительного события. Будем считать, что в систему наряду с требованиями поступает пуассоновский поток «катастроф» с ин- 56 тенсивностью з>0. «Катастрофы» не нуждаются в обслуживании и не влияют на обслуживание требований. Тогда зРо(з) =~Ро(!) ((1 — е ) о можно интерпретировать как вероятность того, что первая «катастрофа» поступила в свободную систему, п(з) — как вероятность того, что за период занятости «катастрофы» в систему не поступали.

Соотношение (16) вытекает из следующих рассужлений. Для того чтобы первая «катастрофа» поступила в свободную систему, необходимо и достаточно, чтобы; 1) либо из суммарного потока требований и «катастроф» первой поступила «катастрофа» (напомним, что, по предположению, в начальный момент времени 1=0 система свободна); вероятность этого события равна з/(з+а); 2) либо первым поступило требование, в последовавшем периоде занятости «катастрофы» не поступали, и в дальнейшем первая «катастрофа» поступила в свободную систему; так как процесс 1.(!) регенерирую!ций, вероятность описанного собы- тиЯ Равна а(з+а)-!п(з)зро(з).

Таким образом, (16) доказано. Из него находим п(з): (о+а)Ро( ) — ! (17) аРо(е) ПЛС длительности периода занятости П<"), начавшегося с й требований (п<о!(з) =Ма-оп~~'), можно найти, если известная вероятность Ро<ь)(!) того, что в момент ! система свободна, при условии, что в момент 1=0 в системе а требований. Действительно, если обозначить <» р<о! (з)= ~е-о<Р"! (!)<(1, о зРо<~! (з) = п<~! (з) зро(з), то т, е Ро (е) я<о! (з) = Рорб Вернемся к нашему примеру. Для вероятности Ро(!) мы получили выражение — (1 — е <") ~ Р» (!) = ехр ~ — — (1 — е-о') 1, !е )~ О. ь ! м Следовательно, Р (!) = ехр ~ — — (1 — е-") а и о ь 57 ° О р (з) = "егм ехр ( — — (1 — е-")) е!!. о Отсюда и нз (17) можно найти п(з).

П р и м е р 3. Система М!М(п(0. Так же, как и в предыдущих примерах, показывается, что процесс 1.(1) является процессом гибели и размножения. Множеством состояний в данном случае является множество чисел (О, 1, 2, ..., п). Параметры процесса следующие: р,=1, а =а, а =а+Ь(, р О ' 1 ' ' 1 о+ь! и д, =, 1 < 1 < и — 1, а„= пЬ, р„= О.

а+Ы В силу теоремы 2 стационарное распределение процесса Е(1) существует при любых 0<а<оо и 0<Ь<оо и равно о пь=( — ) — ~ ~~( — )- — ~, /г)0. !=о Другие примеры систем обслуживания, в которых процесс 7.(г) является процессом гибели и размножения, содержатся в задачах. 4. Задачи. 3 а да ч а 1.

Доказать утверждения теорем 2 и 3. В задачах 2 — 5 нужно показать, что в указанной СМО процесс А(1) является процессом гибели и размножения, найти его параметры, стационарное распределение и условия его существования. 3 ад а ч а 2. Система М~М~п!оо. 3 ада ч а 3. Система М!М(п~!т, 0<т<оо. 3 а дача 4. Система М!М!1!оо, в которой интенсивность входящего потока определенным образом зависит от числа требований, находящихся в системе, а именно; если в течение некоторого промежутка времени (г, 1+Т) в системе находится й требований, то интенсивность входящего потока на этом промежутке равна ад=а/(1+1), й=О, 1, 2, .... 3 ада ч а 5.

Система М!М)11оо с дополнительным предположением: время пребывания требования в очереди ограничено сл.в. с ф.р. 1 — е-'", после чего оно теряется. В задачах 6 — 8 для указанной системы обслуживания найти ПЛС длительности периода занятости. 3 а д а ч а 6. Система М!М!2)оо. 3 а да ч а 7. Система М!М)2!О. 3 а д а ч а 8. Система М!М!1!2. 58 $2. ПРИМЕРЫ МАРКОВСКИХ СМО, НЕ ОПИСЫВАЕМЫХ ПРОЦЕССАМИ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ 1. Введение. Класс процессов гибели и размножения можно значительно расширить, если допустить возможность изменения состояний процесса на величины, отличные от +1 и — 1 (см. условие 3 в определении процесса гибели и размножения).

Другое обобщение заключается в расширении множества значений процесса, а именно в рассмотрения многомерных аналогов процессов гибели и размножения. К сожалению, условия, обеспечивающие существование стационарного распределения и вид этого распределения, не удается выразить в достаточно простой форме при произвольных обобщениях указанного выше типа. Мы поэтому ограничимся рассмотрением нескольких примеров.

2. Примеры. П р и м е р 1. Система обслуживания с групповыми поступлениями. Рассмотрим систему обслуживания, состоящую из одного прибора, в которую поступает пуассоновский поток групп требований с интенсивностью а. Число требований в одной группе является сл.в., стохастически эквивалентной сл.в, 6 с распределением л~= Р(0 =й), й= 1, со.

Количества требований в разных группах — независимые сл.в. Требования обслуживаются по одному; В(х) =1 — е — ь" — ф.р. длительности обслуживания. Число мест ожидания не ограничено. Пусть 1.(1) — число требований в системе в момент времени Е Используя рассуждения, аналогичные тем, которые проводились'при рассмотрении примеров в $1, легко показать, что случайный процесс Ь(1) обладает следующими свойствами: 1) множеством его значений является множество целых' неотрицательных чисел Г= (О, 1, 2, ...); 2) время пребывания процесса в состоянии !>! подчинено показательному распределению 1 — е-м+ь~", а в состоянии 1=0— показательному распределению 1 — е 3) из состояния !) 1 процесс переходит в состояния ! — 1, !+ 1, 1+2, ...

с вероятностью Ь(а+Ь)-', а(а+Ь) 'дь а(а+Ь)-'ам ..., из состояния 1=О процесс переходит в состояния 1, 2, 3, ... с вероятностями йь ям д„.... Положим д(г) =Мг~ Р,(Г) =Р(й(!) =А) Так же, как в $ 1, выводится система дифференциальных уравнений для РАЯ: Рд'(!) = — аР0(!) + Ь~ 1(1) Р,'(!) = — (а+Ь) Р,(1) +аа~Ре(!) +ЬР2(!), (1) л †! р' (1) = — (а+ Ь) Р„(1) -1- а~ Р,-;Р;(1) + ЬР+1(г) аЭ'2 г=в 59 Так же, как в $1, показывается, что при аМб/Ь(1 существуют 1пп Р,(() = л„) О, '), ль = 1, о ив о=о 1[гп Ри'Я =О, lг=О, 1,2, .... ! Будем считать неравенство аМ6/Ь(1 выполненным.

Тогда из (1) имеем — ало+ Ьл~ = О, и — ! — (а+ Ь) ли+а~~. д„,л,. + Ьл„+, =О, п ) 1, (2) Ю ~~ л,=1. Ю Положим л(г) = ~ гил„. Из (2) находим и=о [а — ад (г) + Ь вЂ” Ьг-'] л (г) = ( Ь вЂ” Ьг-') л (0) . Так как л(1) = ~ ли = 1 и д'(1) =- Мб, то л(0) = 1 — — М0. ь и=о Следовательно, (ь — ь.- ) (1 — — 'ма) л(г) = ь (3) а — ад(г)+Ь вЂ” Ьл' Явные формулы для ль получаются очень громоздкими.

Однако моменты числа требований в системе в стационарном режиме получаются из (3) просто. В частности, математическое ожидание равно 2амб+аг" (1) (4) 2[Ь вЂ” амб) П р и м е р 2. Двухфазная система обслуживания. Рассмотрим систему обслуживания, состоящую из двух приборов, в которую поступает пуассоповский поток требований с интенсивностью а. Каждое требование обслуживается сначала на первом прнборе, потом — на втором. Перед каждым прибором допускается неограниченная очередь, Время обслуживания на первом приборе имеет показательное распределение 1 — е — и" на втором — 1 — е-'".

Пусть /и(1) — число требований перед (-м прибором (включая и то, которое находится на обслуживании) в момент 1, Р(по пл 1) =- Р (/1(1) =- иь Ео (() = пг) . 60 Двумерный случайный процесс Е(1) = (/.,(/), Ег(1)) обла- дает следующими свойствами. 1. Множеством его состояний является множество пар неот- рицательных целых чисел УХ/= ((О, 0), (О, 1), (1, 0), ...). 2.

Время пребывания а) в состоянии (п|, пг), п,>1, п,>1 — сл.в, с показательным распределением 1 — ехр ( — (а+ Ь|+Ьг) х); б) в состоянии (пь 0), п|>1 — сл.в. с показательным распре- делением 1 — ехр( — (а+Ьг) х); в) в состоянии (О, пг), пгъ! — сл.в. с показательным распре- делением 1 — ехр ( — (а+ Ьг) х); г) в состоянии (О, 0) — сл. в, с показательным распределением 1 — ехр( — ах).

3. Из состояния (пь пг), п,> 1, пг> 1 процесс переходит в со- стояния (п,+1, пг), (п| — 1, и,+1), (пь пг — 1) с вероятностями а/(а+Ь, + Ь,), Ь,/(а+Ь, + Ь,), Ь,/(а+ Ь! +Ьг). Из состояния (п|, 0), п|>! процесс переходит в состояния (и|+1,0) и (и,— 1,1) с вероятностями а/(а+Ь~) и Ь~/(а+Ь|). Из состояния (О, п,), пг> 1 процесс переходит в состояния !1, п.) и (О, пг — 1) с вероятностями а/(а+Ьг) и Ьг/(а+Ьг). Из состояния (0,0) процесс переходит в состояние (1,0).

Свойство 1 очевидно. Пусть процесс !.(1) попал в состояние (п|, пг); п|> 1, пг> 1. Обозначим через ~ время до поступления очередного требова- ния, тп — время дообслуживания требования на первом прибо- ре и пг — на втором. В силу отсутствия последействия у пока- зательного распределения и предположений относительно вхо- дящего потока и длительностей обслуживания, ~, т1г и т1г неза- висимы и показательно распределены с параметрами а, Ь, и Ьг соответственно Время пребывания процесса !.(1) в состоянии (пь пг) равно Ь=гп(п(ч, т1|, т1г), причем если $<гп!п(т!ь т1г), то процесс перейдет в состояние (и|+1,пг), если |1|<пни($, т!г)— в состояние (п,— 1, пг+1) и если т1г<ппп($, т1|) — в состояние (пь п,— 1). Так как при (>О Р(",</) =Р(ппп($, |1|, г1г) </) =1 — ехР( — (а+Ь,+Ьг)/), Р (~ < /, $ < гп1п (т1„г)г)) = (1 — ехр( — (а+Ьг+ Ьг) /)), а + ь| т ьг (5) Р(" < /, |1, < п||п(с, Ч )) = — ' (1 — ехр( — (а+Ьг+Ьг) 1)), Р (|.