Fletcher-2-rus (Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей), страница 8

Локальная (турбулентная) вихревая вязкость рг может быть выражена через локальные значения й и е следующим образом: С„раз (11.97) Эта вязкость используется для связи рейнольдсовых напряжений, например в уравнениях (11.93) и (11.94), со средними значениями: ! дйз ди13 2 — ри'и'.=!а [ — + .] З р зг. 1 г~дк1 дх 1 Эмпирические константы в уравнениях (11.95) — (11.97) равны С„= 0.09, С„= 1.45, С,з = 1.90, аа — — 1.О, ст, = 1.3.

(11.99) Уравнения (11.95) и (11.96) справедливы при рт » р. Очевидно, что это неверно вблизи твердой поверхности, где турбулентные флуктуации подавляются стенкой. Поэтому вблизи твердой поверхности вводятся специальные пристенные функции [(.аип- 1!ег, Зра16!пд, 1974; Ра!е! е! а!., 1985], при определении Гл. 11. динамика жилкоств: основные уравнения 44 которых обычно предполагают логарифмический закон измерения тангенциальной составляющей скорости в направлении нормали, а также то, что выделение турбулентной кинетической энергии в области действия логарифмического закона равно ее диссипации. В наиболее простой форме это эквивалентно введению вблизи стенки длины перемешивания при определении дополнительной вязкости (и.

11.4.2). Использование специальных пристенных функций позволяет определить граничные условия для й и и на некотором удалении от твердой поверхности. Другой подход состоит в введении дополнительных членов [Ра1е! е1 а1., 1985] в уравнения (11.95) и (11.96). На стенке тогда используются граничные условия )е = 0 и де[дп = О. Предложенная (л — в)-модель турбулентности пригодна для расчетов свободных сдвиговых и пограничных слоев и отрывных течений; однако расчет на основе этой модели незамкнутых отрывных течений в дальнем следе дает завышенную скорость выделения турбулентной энергии [Код(, 1982[. Наиболее слабым местом (А — в)-модели является предположение об нзотропности вихревой вязкости (11.98). Этого можно избежать путем введения отдельного уравнения в частных производных для каждого рейнольдсова напряжения.

Однако это увеличивает существенно вычислительную стоимость. Весьма эффективной является также промежуточная модель, в которой считается, что каждое отдельно взятое рейнольдсово напряжение пропорционально переносу й (11.95). Это сводит дифференциальные уравнения для рейнольдсовых напряжений к простым алгебраическим соотношениям. Подробности такой алгебраической модели напряжений, а также описание иных моделей турбулентности можно найти в работе Роди [Код!, 1980[.

9 11.8. Сжимаемые течения При рассмотрении данного класса течений возникают дополнительные сложности, связанные с изменениями плотности и температуры. Данные течения можно разделить также на невязкие, течения в пограничных слоях и отрывные течения (табл. 11.4).

Сжимаемые течения здесь рассматриваются применительно к типичным инженерным задачам, например течение около лопаток турбины. В сжимаемых течениях изменения плотности, как правило, связаны либо с высокой скоростью потока (большие числа Маха), либо с большими разницами температур. С вычислительной точки зрения наличие в потоке больших температурных изменений подразумевает включение в рассмотрение при отыскании решения уравнения энергии. $11.6, Сжимаемые течения 11.б.1. Невязкие сжимаемые течения Невязкие сжимаемые течения (газовая динамика согласно табл. 11 4) описываются уравнением неразрывности (11.9), уравнениями Эйлера (11.21) и уравнением энергии (11.35), правую часть в котором следует положить равной нулю (!а = О, я = 0).

Граничным условием на твердой поверхности будет обращение в нуль нормальной к ней компоненты вектора скорости. Для задачи обтекания тела в табл, 11.5 приведено число граничных условий, которые необходимо поставить на удаленной от тела поверхности. Для сверхзвуковых течений граничные условия должны быть определены для каждой характеристики, приходящей в расчетную область. Условия совместности (п. 2.5.1) задают форму граничных условий.

Конкретный выбор приведен в 9 14.2, где рассматриваются соответствующие вычислительные алгоритмы. С математической точки зрения корректная постановка граничных условий рассматривается в работе [01!дег, Зцпбз!гоги, 1978]. Для стационарного течения иевязкой (!а = 0), нетеплопроводной (й = 0) жидкости уравнение энергии может быть проинтегрировано вдоль линии тока, в результате чего получится Н= [0.5дя+е+ — '+ф) =сопз1, (11.100) Р где д — модуль вектора скорости, е — удельная внутренняя энергия, тР— потенциал массовых сил, т. е. 1 = †Ч. Легко видеть, что уравнение (11.100) эквивалентно уравнению (11.48), если к нему добавить внутреннюю энергию е.

По теореме Крокко [!.!ертпапп, КозЫо, 1957], если стационарный поток везде безвихревой (завихренность равна нулю) и изэнтропичен, величина Н имеет одно и то же значение на всех линиях тока. Для течений, в которых существует изэнтропическая связь между р и р, возможно иное представление (11.100), в котором отсутствует внутренняя энергия: Н = О.бра + ~ — др+ ф = сопя!. (1! .101) Р Для изэнтропических безвихревых течений целесообразноопре- делить потенциал скорости Ф (11.50): и= —, и= —, Ф= —. дФ дФ дФ (11.102) дх ' ду ' да В результате этого для стационарных течений в отсутствие массовых сил из уравнений неразрывности (11.10) и Эйлера Ги.

!К динамики жидкости: основные уравнения (11.21) можно получить 2 l дтФ двФ деФ + —,!хио — + пи — +ипт ) =О, а' х дхду ду дх дхде ) (11.103) где а= (др/др)вв — скорость звука. Это — скорость, с которой в сжимаемой среде распространяются акустические волны (волны сжатия малой амплитуды). Для идеального газа, например воздуха, а = (ур/р)'в. Для несжимаемой жидкости а = оо и уравнение (11.103) сводится к уравнению Лапласа (11.51). Из уравнения (11.101) можно получить связь между а и д.

В случае идеального газа, для которого влиянием массовых сил можно пренебречь, (1!.101) приводит к равенству ав+О 5(у — !)д'=а' + 05(у — 1)д', (11.104) где у — отношение удельных теплоемкостей, а индекс оо относится к некоторому известному состоянию. Система уравнений (11,102) — (1!.104) описывает рассматриваемый класс течений.

После подстановки (11.102) и (11.104) в (11.103) ее можно свести к одному дифференциальному уравнению, которое оказывается, однако, существенно нелинейным. На твердой поверхности граничное условие непротекаиия имеет вид: дФ/дп = О. Для трансзвуковых течений уравнение (11.103) вдали от обтекаемого тела эллиптическое. Следовательно, на удаленных границах для него следует поставить граничное условие Дирихле. Если ударные волны в потоке отсутствуют или слабы, что имеет место, например, в траисзвуковых течениях, физически точные численные решения на основе уравнений (11.102)— (11.104) можно получить гораздо более экономно, чем из решения уравнений неразрывности, Эйлера и невязкого уравнения энергии в терминах исходных переменных (и, о, ю, р, р, Т).

Соответствующие численные методы решения (11.102) — (11.104) рассматриваются в $ 14.3. Уравнения (11.102) — (11.104) применяются главным образом для расчета течений около хорошо обтекаемых тел, таких, как крылья самолетов или лопатки турбин под малыми углами атаки, для которых поток является безотрывным. Для тонких тел, помещенных в однородный поток, движущийся со скоростью (/ в направлении оси х (рис. 11.13), весьма полезно ввести в рассмотрение малые возмущения и', и' и и' скорости набегающего потока 1/, которые вносит по- 47 $11.б.

Сжимаемые течения мещенное в поток тело. Определяя и=(7 +и', о=о', и=и', (11.105) где и', о', ы' « (7, уравнение (11.104) можно привести к виду ( —;)'=! — (у — 1)М' и (1! .106) где М = (7 /а . До тех пор пока М (3, согласно (11.106), а — а . Используя (11.!05) и (11.106), вместо уравнения Рис.

11.13. Невяакое течение у хорошо обтекаемого тела. (11.103) можно получить следующее приближенное уравнение: За счет учета ограничений в геометрии (1«с) уравнение (11.107) получилось гораздо проще уравнения (11.103). Многие применяемые на практике аэродинамические профили и лопатки турбин так или иначе соответствуют этим ограничениям. Численные методы решения (11.107) приведены в п.

14.3.2. Для дозвуковых (М (1) и сверхзвуковых (М ) 1) течений уравнение (11.107) может быть упрощено н приведено к виду даФ даФ даФ (1 — М ) — + — + — =О. дха дуа ди' (11. 109) Уравнение (11.109) линейно и весьма напоминает уравнение Лапласа (11.5!), которое описывает несжимаемый потенциальный поток. Для М ( 1 уравнение (11.109) является эллиптическим, для М ) 1 — гиперболическим; следовательно, на его характеристиках возможно образование разрывов нормальных производных от компонент скорости. где (и — возмущение потенциала, связанное с возмущениями скорости, т.

е. ф=(7 к+Р, и'= — и т. д. (11.108) 48 Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения Для локально сверхзвукового потока, т. е. М ) 1, уравнение (11.103) также гиперболическое. Характеристики в сверхзвуковом невязком потоке называются линиями Маха. Угол р между поверхностью конуса Маха (образованного линиями Маха) и локальным направлением потока (рис. 11.14) связан с местным числом Маха соотношением»х= агс 81п(1/М), т. е. при увеличении М конус Маха располагается ближе к локальному направлению потока.

Любые возмущения в точке А могут влиять Рис. 1.14. Линии Маха в сверхзвуковом потоке. лишь на часть области течения, ограниченной вниз по потоку конусом Маха. При локальном увеличении М линии Маха, исходящие из двух последовательных точек, при движении от А будут расходиться. При локальном уменьшении М в направлении потока две последовательные линии Маха, казалось бы, могут пересечься. В действительности этого не происходит, а образуется ударная волна, что эвристически может трактоваться как слияние линий Маха. Типичное распределение чисел Маха у крыла самолета (плоское сечение) приведено на рис.

11.15. Условия на ударной волне, при которых в направлении нормали выполняются законы сохранения массы, импульса и энергии, называются условиями Ренкина — Гюгонио (1.!ергпапп, коз)т»со, 1957]. Однако при переходе через ударную волну энтропия увеличивается. Соотношения Ренкина — Гюгонио можно представить в виде Ре / 2У х з з 1+0,8(т — 1) м1 — =1+ ! — у!(М, — !), М,= ~у+»л уМ', — 0.8(у — !» ' где индексы 1 и 2 относятся соответственно к потоку перед ударной волной и за ней, а и~ и из — нормальные к ударной волне компоненты скорости. 3 1!.6.