Fletcher-2-rus (Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей), страница 4

Для воздуха, который может считаться идеальным газом, уравнение энергии (11.38) можно представить в виде (11.43) (11.44) Помимо указанных выше вводятся следующие безразмерные переменные: Т" =Т/Т, р*=р/р (/г р/р Ф Фг г/1„Цг й ь/й После подстановки их в (11.44) н некоторых преобразований можно получить + л " (/е а *)+ ля (я ля )1/(Рг. Ке). (11.45) Из уравнения (11.45) следует, что течение вязкого сжимаемого идеального газа определяется по крайней мере четырьмя без- размерными числами: Число Рейнольдса, Ке=(/ ~/т, Число Прандтля, Рг= и с /й, (11.46) Число Маха, М =(/„/а =(/ /(УКТ) Отношение удельных теплоемкостей, у = ср/с„.

Если учесть зависимость вязкости и теплопроводности от тем- пературы, то появится пятое безразмерное число. Однако четы- рех безразмерных параметров (11.46) и числа Фруда (11.43) достаточно для обеспечения динамического подобия широкого класса течений жидкости. Три из пяти безразмерных парамет- ров, приведенных в выражениях (11.43) и (11.46), а именно Ке, 22 Гл. 11. Дннамнка жидкости: основкые уравнения М и Ег, связаны с движением жидкости. Остальные два, Рг и Т, определяются свойствами жидкости (см. табл.

11.1 и табл. 11.2). Число Рейнольдса характеризует отношение сил инерции к силам вязкости. В различных задачах это число может варьироваться практически от нуля (когда силы инерции пренебрежимо малы) до 1О'о и выше (силы вязкости малы везде, кроме областей, примыкающих к телу). Некоторые типичные значения приведены в табл. 11.3. Таблнпа !!.3.

Типичные значения чисел Рейнольдса Вид движения 6Х!0 Сперматозоид (5 = 0.07 мм), движущийся с максимальной скоростью Водяная капля (() = 0.07 мм), падающая в воздухе Ветер (10 м/с), обдувающий телеграфные провода Мяч для крнкета ялн бейсбола, летящий со скоростью 35 м/с Акула (5 = 1.5 м), плывущая с максимальной скоростью Большой реактивный транспортный самолет (747) на крейсерской высоте Океанский лайнер (О.Е,П, 5 = 324 м) прн скорости (/ = 15 м(с Планетарный пограничный слой (5 = 1000 км, (/ = 20 м/с) 6.4Х10 1Х10' 2Х!0' 8Х10е 7Х10' 4.5Х! Ов 18ХЮ' Число Маха равно отношению скорости газа к скорости звука в нем (М = и/а) и является мерой сжимаемости или изменения плотности, связанного с движением.

При числах Маха (0.14 изменение плотности не превышает 1 %. Для боевых самолетов типичное число Маха порядка трех, для спускаемых космических аппаратов эта величина может быть гораздо больше. Поскольку вода практически несжимаема (в диапазоне температур и давлений, в которых ее движение представляет интерес), то задачи, характеризуемые большими числами Маха, обычно связаны с движением газов, например воздуха.

Для течений со свободной поверхностью важным параметром является число Фруда. Подобные течения могут возникать в гаванях или морских рукавах в результате действия приливов, а также прн движении кораблей. Число Фруда характеризует отношение сил инерции к гравитационным силам.

Если число Фруда мало, то под действием силы тяжести поверхность воды остается плоской и сопротивлением движению, связанным с образованием поверхностных волн, можно пренебречь. Число Прандтля является мерой отношения диссипации импульса к диссипации тепла, Рг = )тсд/я = ч/а. Для воздуха при $ ! 12. уравнения движения нормальных температуре и давлении Рг = 0.72 и слабо падает с увеличением температуры (табл. 11.1). Для воды Рг = 8.1 при 15'С и быстро убывает до 1.74 при 100'С (табл. 11.2). Отношение удельных теплоемкостей у для воздуха порядка 1.4, для воды у = 1.0. Поскольку динамическое подобие дает возможность более эффективно проводить расчеты, его свойства широко использовались и используются для корректной экстраполяции поведения экспериментального оборудования в нных рабочих условиях.

Более подробно динамическое подобие описано Лайтхиллом [1,!йЫЫ11, 1963] и Пэнтоном ]Рап1оп, 1984]. 11.2.6. Полезные упрощения Уравнения (11.10), (11.31), (11.38), дополненные соответствующим уравнением состояния и граничными условиями, описывают трехмерное нестационарное движение вязкой сжимаемой жидкости. Однако такая система уравнений чрезвычайно сложна и требует для решения слишком много времени даже на уникальных суперкомпьютерах. При историческом развитии динамики жидкости в рассмотрение был введен ряд классов течений, описываемых значительно более простыми, чем указанная выше, но менее точными системами уравнений.

Оставшаяся часть данной главы и гл. 14 — 18 будут посвяшены обсуждению этих более простых течений. Вообще говоря, эти различные классы возникают при пренебрежении или ограничении некоторых свойств течений. В свою очередь это часто приводит к тому, что различные безразмерные параметры (п. 11.2.5) в упрощенных уравнениях либо ограничены до некоторой величины, либо совсем отсутствуют. Для течений, представляющих практический интерес, соответствующая классификация приведена в табл. 11.4. Классификация проведена по двум параметрам — вязкости и плотности.

Несжимаемые течения, как правило, ассоциируются с течениями, скорость которых мала по сравнению со скоростью звука (М « 1). Наоборот, для сжимаемых течений (М ) 0.1, либо разница температур в потоке велика) требуется рассмотреть полное уравнение неразрывности (11.10), а не (11.13) и учитывать уравнение энергии, например, в виде (11.38). При рассмотрении влияния вязкости возникают три основных класса течений.

В случае течений у хорошо обтекаемых тел свойства большей части потока и, в частности, распределение давления по телу довольно точно могут быть получены в предположении, что вязкость жидкости равна нулю. Для сжимаемых невязких течений имеет смысл дальнейшее подразделение на 24 Гл, !1. Динамика жидкости: основные уравнения классы (не указанное в табл. 11.4), зависящее от того, больше или меньше единицы число Маха М.

При М ) 1 уравнения, описывающие движение жидкости, становятся гиперболическими (гл. 2) и в поле течения могут возникать ударные волны. Для течений у хорошо обтекаемых тел эффекты вязкости существенны лишь в тонких пограничных слоях, расположенных Таблица 11.4.

Классификация течений Плотность Несжимаемые )плотность постоянна) Вязкость Сжимаемые (плат- ность переменна) Газовая динамика (при й = О) Невязкие течения (р = О) Потенциальные течения (если завихренность равна нулю) Перенос (также ствен) Течения в пограничных слоях (вязкость существенна вблизи поверхности) Ламинарные течения (очень малые Ке) Турбулентные течения (большие Ке) тепла суще- Отрывные течения (вязкость существенна везде) Ламинарные течения (малые Ке) Турбулентные течения (умеренные и большие Ке) Перенос (также ствен) тепла суще- в непосредственной близости к поверхности тела. Сила трения (сопротивление поверхностного трения) на теле определяется лишь вязкостью в пограничном слое. При ненулевой теплопроводности перенос тепла также определяется лишь течением в (тепловом) пограничном слое.

Для течений с большими числами Рейнольдса вязкость не способна подавить возмущения, которые могут возникать внутри пограничного слоя. Следовательно, чтобы получить осредненные по времени параметры течения, необходимо ввести некоторые эмпирические параметры, учитывающие турбулентность потока (п. 11.4.2 и 11.5.2). У плохо обтекаемых тел (например, автомобиля) на подветренной стороне возникают области отрывных течений, в которых существенны эффекты вязкости. Если числа Рейнольдса не слишком малы, течения в таких зонах являются турбулентными и часто нестационарными. Обычно для описания отрывных течений необходимо решать полную систему уравнений Навье — Стокса для сжимаемой и несжимаемой жидкостей.

й 11,3. Несжимаемые невяэкие течения 25 На рис. 11.4 изображен аэродинамический профиль (или лопатка турбины), расположенный под углом атаки по отношению к набегающему потоку. Вдали от профиля течение ведет себя как невязкое. Вблизи наветренной стороны образуется тонкий пограничный слой, течение внутри которого довольно точно описывается уравнениями пограничного слоя. Поток отрывается с подветренной стороны, образуя большую область отрывного Невиеиае те ин е Отривнае те ение "Г--- тетение е лаврен тнаи слав Ф- — м. 1ва Нев е сете вине Рис. 11зк Течение у аэродинамического профиля или лопатки турбины.

течения, в которой необходимо решать полную систему уравнений Навье — Стокса. Внутри больших отрывных зон, подобных изображенной на рис. 11.4, течения, как правило, оказываются нестационарными. Этот пример указывает на возможность использования различных уравнений в различных областях течения с последующей сшивкой решений на разделяющих поверхностях. Данный подход может быть использован для расчета трехмерного трансзвукового течения у крыла, описанного в п. 1.2.2.