Fletcher-2-rus (1185919), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В частности, для многих геофизических течений изменение давления в вертикальном направлении приближенно описывается уравнением (11.2). Изменение температуры жидкости может происходить в результате процесса теплопроводности, если жидкость находится Гл. 1!. Ланамика жидкости: основные уравнения 10 в контакте с некоторым объектом, температура которого отлична от температуры жидкости, либо из-за некоторых процессов внутри самой жидкости, сопровождающихся выделением тепла. Изменение температуры может быть также связано со сжатием Таблица 11.1.
Свойства воздуха прн атмосферном давлении Диизмичссквя вязкость н х !оз )кг/м с) Отиоыеиие удельных теплоем«остей т Тепло- проводвость й )Вт)м К) Термо- диффузия ох)о' [м /с[ Плотность р [кг)м 1 Числа Првндтля Рг Температура г )к! 1.39 !.40 1.39 1.34 1.28 0.770 0.708 0.680 0.696 0.704 0.250! 2.216 5.564 ! 4.271 48.110 0.00925 0.02624 0.04038 0.06279 О,!! 700 0.6924 1.983 2.671 3.899 6.290 100 300 500 900 1000 3.6010 1.1774 0.7048 0.3925 0.1858 Таблица 11.2. Свойства воды прн давлении насышенных паров Динамическая вязкость н х !оз )кг/м с) Термадвффузия и х )о' [и /с[ Платность р [кг)м'1 Число Прзидтля Рг Теплопроводность а !вт/м К) Темпера- тура у ! С) Давление р )кПз) жидкости в течениях с большими скоростями или в атмосферных течениях с учетом силы тяжести.
Плотность — это масса единицы объема. Для газов изменение плотности связано с изменением давления и температуры в соответствии с уравнением состояния идеального газа (11.1). Однако для изменения плотности некоторых жидкостей нужны весьма существенные изменения давления. Поэтому вода (в жидкой фазе) часто рассматривается как несжимаемая (с постоянной плотностью) жидкость. Свойства воздуха и воды для различных значений давления, температуры и плотности приведены соответственно в табл.
11.1 и 11.2. Для жидкости, находящейся в движении, используется локальная интерпретация принципа термодннамического равнове- 5 11.!. Физические свойства жидкостей сия. Принимается, что справедливы уравнения, подобные уравнению (!1.1), однако термодинамические параметры являются функциями координат и времени, т. е. р = р(х, у, и, 1), р = =р(х,у, г,1), Т= Т(х, у, и,1). Кроме того, необходимо дать однозначное описание движения. В настоящей книге используется Плесика лоток Рис.
11.1. Плоский поток, параллельный неподвижной поверхности. эйлеров подход, в соответствии с которым скорость и термодинамические параметры рассматриваются в фиксированных точках (х, у, и, 1) пространственно-временнбго объема. В противоположность этому подходу прн лагранжевом описании исследуются отдельные частицы жидкости, положение и термодинамические свойства которых считаются зависимыми переменными. Связь между подходами Эйлера и Лагранжа обсуждается в работе фон Швинда [поп Ьс)зтн(пс(, 1980].
Наличие в движущейся жидкости сдвиговых сил приводит к понятию динамической вязкости. Рассмотрим плоскость, движущуюся со скоростью (/ параллельно другой неподвижной плоскости (рис. 11.1). Жидкость, прилегающая к верхней пластине, удерживается у ее поверхности (т. е. движется со скоростью (/) силой тА, где А — площадь пластины, т — сдвиговое напряжение. На элемент жидкости, расположенный между пластинами, действуют две сдвиговые силы (т.1.1). На верхней поверхности элемента эта сила направлена вправо, на нижней — влево. Жидкость, прилегающая к нижней пластине, удерживается у ее поверхности под действием силы тА. Экспериментально обнаружено, что сдвиговое напряжение прямо пропорционально градиенту скорости ди/ду, т.
е. (11.3) т = !з ди/ду.. Коэффициентпропорциональности1х называется вязкостью (динамической). Вязкость измеряется в кг/м с. Для рассмотренного пРимера сдвиговое напряжение т постоянно и, следовательно, 12 Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения распределение скорости описывается соотношением и!и = пай. (11.4) дТ Я;= — й —, дл, ' (11.5) где Я; — скорость переноса тепла на единицу площади в направлении хь а й — теплопроводность. Следует отметить аналогию между соотношениями (11.3) и (11.5). Если значения температуры пластин на рис. 11.1 различны, то в соответствии с законом (11.5) в жидкости будет иметь место перенос тепла, определяемый соотношением дТ Я = — й —.
и ду' Теплопроводность измеряется в Вт/м К. Подобно вязкости теплопроводность газов увеличивается с температурой. Для жидкостей, например для воды, теплопроводность слабо увеличивается в диапазоне температур от 0' до 100'С при давлении в одну атмосферу. Типичные величины теплопроводности воздуха и воды приведены в табл. 11.1 и 11.2. Вязкость и теплопроводность входят в рассматриваемые в дальнейшем уравнения импульса и энергии (см. (11.31) и (11.38)). Удобно ввести в рассмотрение кинематическую вязкость о и тепловую диффузию а, определяемые соотношениями л о= — и а= —, р рср ' (11.6) Уравнение (11.3) описывает поведение так называемых ньютоновских жидкостей. Течения воздуха или воды подчиняются закону (11.3).
Неньютоновские жидкости, т. е. жидкости, для которых не выполняется условие (11.3), описаны Тэннером [Таппег, 1985]. Вязкость газов, подобных воздуху, при нормальных температуре и давлении с высокой точностью зависит лишь от температуры. Для воздуха вязкость увеличивается с температурой по закону Т'" (Т вЂ” абсолютная температура). Типичные значения вязкости приведены в табл. 11.1. Для жидкостей, подобных воде, вязкость слабо зависит от давления, но сильно изменяется с температурой. В отличие от газов вязкость жидкостей, как правило, быстро падает с увеличением температуры.
Характерные величины вязкости приведены в табл. 11.2. Для течений, сопровождающихся изменениями температуры, справедлив закон Фурье, согласно которому локальная скорость переноса тепла прямо пропорциональна локальному градиенту температуры, т. е. $11.2. Уравнения движения $ 11.2. Уравнения движения Для вывода уравнений движения жидкости обычно рассматривается малый контрольный объем и требуется, чтобы для жидкости, протекающей через этот объем, выполнялись законы сохранения массы и энергии, а скорость изменения трех компонент импульса была бы равна соответствующим компонентам приложенных сил.
Это позволяет получить пять уравнений, которые в комбинации с уравнением состояния позволяют определить шесть величин: обычно это значения р, р, Т, и, о, гв. В потоках, связанных с процессами горения, а также в некоторых геофизических течениях фигурирует более одной компоненты жидкости. Для каждой новой компоненты необходимо дополнительное уравнение (сохранение компоненты). Наоборот, для некоторых течений достаточно рассматривать не все из шести переменных и для описания таких течений требуется меньшее число уравнений. 11.2.1. Уравнение неразрывности Согласно закону сохранения вещества, для произвольного неподвижного объема Р (рис.
11.2) скорость изменения массы внутри него равна потоку массы через поверхность 5, ограничивающей объем У, т. е. —, ~ р е(У = — ) рч и с(3, где и — единичный вектор нормали (внешней). По теореме Гаусса [бцз!а!зоп, 1980] поверхностный интеграл может быть заменен на объемный. Уравнение (11.7) принимает вид (11.7) ()++Ч (ри)1(У=0, (11.8) где с,— удельная теплоемкость при постоянном давлении. Значения т и а измеряются в ма/с и определяют диффузию соответственно количества движения и тепла.
Для газов, подобных воздуху, т и а увеличиваются с температурой (табл. 1!.1). В жидкостях кинематическая вязкость т быстро падает с увеличением температуры, а тепловая диффузия а увеличивается незначительно (табл. 11.2). Более подробно свойства жидкостей и связь этих свойств со свойствами молекул описаны Лайтхиллом [1.!дЫ!т!!1, 1963] и Бэтчелором [Ва!с(те!ог, 1967]. Свойства наиболее распространенных жидкостей приведены в работе [Ес!гег1, Огаке, 1972]. Гл. 1!. Динамика жидкости: основные уравнении где ч (рч) =т(!и рч.
Поскольку (11.8) справедливо для любого )т, подынтегральное выражение должно быть равно нулю: —,! +!у (рч)=0. (11.9) Данное уравнение называется уравнением сохранения массы или уравнением неразрывноч=(иФи91 сти. В декартовой системе координат (11.9) имеет внд др д д д! дх ду — + — (ри) + — (ро) + + — (рю) = О. (11.10) Рис. !1.2. Сохранение массы. или (11.12) Здесь РуР! называется полной нли конвективной производной по времени, а! — дилатацией. Для течений с постоянной плотностью (так называемых несжимаемых течений) уравнение (11.12) сводится к виду Ы Ч 'ч" = — + — + — =0 ди до дм дх ду дх (11.13) как для стационарных, так и для нестационарных течений. 11.2.2. Уравнение количества движения: невязкое течение В соответствии со вторым законом Ньютона скорость изме. пения количества движения равна сумме действующих сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
