Fletcher-2-rus (Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей), страница 10

Условия совместности, связанные с характеристиками эквивалентных уравнений Эйлера, приводят к граничным условиям типа Дирихле. После этого накладываются граничные условия Ней- 5 11.7. Заключение мана, необходимость которых связана со сжимаемыми уравнениями Навье — Стокса. Для многих течений при больших числах Рейнольдса течение вдали от тела ведет себя так, будто оно подчиняется уравнениям Эйлера, а не уравнениям Навье — Стокса. Такое поведение наталкивает на мысль о соответствующем выборе граничных условий. И действительно, такой выбор себя часто оправдывает.

Строго говоря, если подобная постановка граничных условий приводит к недоопределенности задачи, то можно потерять единственность решения. Переопределенность же числа граничных условий, как правило, приводит к появлению в решении резких нефизичных пограничных слоев в окрестности рассматриваемых границ. Граничные условия на удаленных границах должны определяться таким образом, чтобы они были, «прозрачны» для решения, т.

е. удаление границ от тела не должно приводить к изменению решения. Более подробно граничные условия для вязких сжимаемых течений рассматриваются в работе [Реуге1, Тау!ог, 1983~. 5 11.7. Заключение Рассмотрены кратко свойства воздуха и воды. В инженерных приложениях динамики жидкости воздух и вода являются наиболее часто встречающимися жидкостями. Для них характерна малая вязкость.

Воздух легко сжимаем, вода же в жидкой фазе практически несжимаема. Основной целью данной главы был вывод уравнений и граничных условий, описывающих движение жидкости. При выводе уравнений рассматривался малый объем и налагались условия выполнения для этого объема законов сохранения массы и энергии; для импульса требовалось, чтобы скорость его изменения была равна сумме действующих сил. Обезразмеривание основных уравнений приводит к появлению ряда безразмерных параметров и введению понятия динамического подобия.

Наиболее важными безразмерными параметрами являются числа Маха и Рейнольдса. Для получения упрощенной формы уравнений была введена классификация течений на основе свойств вязкости и сжимаемости (табл. 11.4). Согласно этой классификации, особо полезной для инженерных приложений, течения подразделяются на невязкие, течения в пограничных слоях и отрывные как для сжимаемой, так н для несжимаемой жидкости.

В случае сложных областей расчета желательно представить уравнения в обобщенных криволинейных координатах; это Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения будет сделано в гл. 12. Вычислительные методы, описанные в .гл. 3 — 10, будут применены в гл. 14 — 18 к уравнениям и граничным условиям, выведенным в гл. 11. Щ 11.8. Задачи Физические свойства жидкостей (6 1!.1) 11.1. Нанесите на график зависимости от температуры т, «х и Рг для воздуха при р = !00 кПа и р = 500 кПа. Прокомментируйте поведение кривых. 11.2. Нанесите на график зависимости от температуры ч, а и Рг для воды при давлении насыщенных паров. Сравните их с кривыми для воздуха. 11.3.

Нанесите на график зависимость р, представленную в табл. 11Л, от температуры Т и сравните полученную кривую с зависимостями (а) р = рзоо(Т(300)олз (Ь) формулой Сазерленда 1.466 Х ГО 'Т«Д 110,4+ Т где Т(К) — абсолютная температура. Уравнения движения (6 11.2) 11.4. Покажите, что уравнение неразрывности в цилиндрических координатах имеет вид др 1 д 1 д д .( — (рго ) -1- — — (ро )+ — (ро ) О, дг г дг г г дв а дг где о, о, о — компоненты скорости в направлениях г, О и а. г' В' а 11.5. Покажите для несжимаемого ламинарного потока, что стационарные осесимметричные уравнения Навье — Стокса (имцульса) имеют вид до до, 1 др г 1 о г 1 т Рзо г дг *да р дг (, г га!' до до 1 др ч гзо дг 'дх р дг в предположении, что массовые силы отсутствуют и ов — — О. Компоненты скорости о, и о, направлены соответственно в радиальном (г) и осевом (з) направлениях.

11.6. Покажите, что стационарное уравнение энергии для несжимаемой жидкости с постоянной теплопроводностью в сферических координатах можно представить в виде р ~' = Ф + йузТ, 1И .где ()е де о де оа де — =— о — + — — + Ш дг г дв гз!пв де«' 9 11.8. Задачи 57 !1.7. Взяв уравнения (!1.116), (11.117), описывающие вязкие сжимаемые течения, проведите их обезразмериваиие, как это было сделано для уравнения (11.41), положив Р Р 2 р у е, й е'= —, й'=— (/2 пульса — = О.бсу — (/г'+ 2) 8 ( — „' )~и,, Покажите, что безразмерные уравнения имеют тот же вид, что и размерные,.

за исключением сдвиговых напряжений и скоростей переноса тепла, которые принимают, например, внд ° (2 ди*/дх' — (2/3) м!') ° „, дТ'/дх' 'гхх = р йе (у — 1)М Рг (те ' где йе р (/ )/р~, М (/ /уКТ „Рг=р ср/й . Прокомментируйте„ удобна ли безразмерная форма уравнений для описания (а) гиперзвуковых течений, М ) 5; (Ь) течений малой скорости с большими разницами температур, обусловленными граничными условиями. Несжимаемые невизкие течения (6 11.3) 11.8. Двумерные безвихревые невязкие несжимаемые течения описываются уравнениями ди до ди до — + — О, — — — =О.

дх ду ' ду дх После введения функции тока ф дф дф и= —, о ду ' дх эти уравнения сводятся к уравнению Лапласа тзф = О. Прокомментируйте преимущества подхода Иа основе функции тока по сравнению с потенциалом скоростей (11.51) применительно к (а) граничным условиям, (Ь) обобщению на трехмерный случай. 11.9.

Покажите, что при двумерном потенциальном обтекании цилиндра коэффициент поверхностного давления, Сг = (р — р )/'/эр(/~, равен Сг = 1 — 4з!па 8, где 8 отсчитывается от передней точки торможения. Укажите диапазон 8, в котором это выражение верно для: (а) ламинарного течения, (Ь) турбулентного течения. Несжимаемые течения в пограничном слое (6 11.4) 11.!О. Для ламинарного пограничного слоя у плоского клина (п. !5.1.2) скорость на внешней границе пограничного слоя задается выражснием и С)(б!!з-6! где 8 — угол раствора клина.

Покажите, что путем введения автомодельной переменной т) = у(и,/!(2 — ())хт!)ыз и зависимой переменной / = ф/1(2 — 6)и,хч)ыз, где ф — функция тока, уравнения (1!.60) и (11,61) сводятся к одному уравнению 11.11. Покажите, что в результате интегрирования уравнения (!!.61) поперек пограничного слоя можно получить уравнение для интегрального им- Гл. 11, Динамика жидкости: основные уравнения где 6 ~ (и/ие) (1 — и/ие) с(у и Н= 5 /6. о Как это соотношение изменится для уравнений (11.73) — (!1.75), описываю- ших двумерный турбулентный пограничный слой? Несжимаемые вязкие течения (6 11.5) 11Л2.

Покажите, что путем введения переменной Бернулли Н = р+ + р(и' + и')/2 в стационарном случае уравнения (11.83) и (11.84) сводятся к виду дН 1 д5 дН 1 дь п5+ — = — — — иь+ — = — — —, дк Ке ду ' ду Ке дх ' где завихренность В = ди/ду — до/дк. К какому виду сводятся приведенные выше уравнения нри внешнем обтекании изолированного тела в «невязкой» зоне вдали от тела? Может ли это быть использовано при разработке эффективных вычислительных алгоритмов? 11.13.

Выведите уравнение (11.91). Какой вид данное уравнение будет иметь в трехмерном случае, если правую часть выразить через компоненты скорости'. Сжимаемые течения (6 11.6) 11.14. Исходя из уравнений (11.10), (11.21) и (11.101) для невязкого сжимаемого потока, выведите двумерные уравнения, эквивалентные (11.103) и (11.104). 11.15. Применив предположение пограничного слоя (б С Е) к уравнению энергии (11.38), получите уравнение энергии в пограничном слое (11.113). 11Л6.

Для двумерного течения вязкого сжимаемого воздуха преобразуйте (11.116), (11.117) к пятикомпонентной (и, и, р, р, Т) системе путем включения уравнения состояния и замены Е, р сдвиговыми напряжениями и скоростью переноса тепла. Глава 12 Обобщенные криволинейные координаты При расчете течений в сложных областях, в том числе около тел реальной формы (канал, воздухозаборник, самолет, автомобиль и т. д.), приходится рассматривать расчетные границы, не совпадающие в физическом пространстве с координатными линиями. Для конечно-разностных методов зто приводит к тому, Фиэи»ыиа» се»асэ Об. аыа в обобщыэиы» э.сор»и»в»а» Рис.

12.1. Соответствие между физической областью и областью в обобщен- ных координатах. что при постановке граничных условий требуется применять сложную интерполяцию на линии локальной сетки, из-за чего, как правило, происходит локальная потеря точности численного решения. Подобные трудности служат поводом для введения отображения или преобразования физического пространства (х,у,г) к пространству ($, т1, Ь) обобщенных криволинейных координат. Область в обобщенных кородинатах строится таким образом, чтобы границы в физическом пространстве совпадали с координатными линиями в пространстве обобщенных координат. Использование обобщенных координат предполагает, что искривленная в физическом пространстве область преобразуется в обобщенных координатах в прямоугольную (рис.

12.1). Уравнения должны быть записаны с использованием в качестве бо Гл. 12. Обобщенные криволинейные координаты независимых переменных обобщенных координат, и дискретизация проводится в пространстве этих координат. Таким образом, расчет, проводимый в обобщенных координатах, становится весьма эффективным. Например, при расчете течения в двумерном искривленном канале имеет смысл сделать так, чтобы стенки канала совпадали с линиями постоянного значения (рис. 12.2). Перемещение вдоль стенки канала, например от А к В или от Р к С, соответствует в этом случае в расчетной области изменению координаты $. Для точек, лежащих на некоторой ли- К= КМАХ К=1 2мймдх Рис.

12.2. Двумерный искривленный канал. нии ть соединяющей соответствующие точки на АВ и СР, значения $; постоянны, а т1 меняется (от тп на А'В' до т1кмак на С'Р'). Для точки (/,л), лежащей на этой линии ч, $ = $; и т1 =т1а. В физической области ей соответствует точка с координатами х =х(йь т1е) и у =у(~в т1а). Использование криволинейных координат дает дополнительные возможности. Прежде всего расчетная сетка в пространстве обобщенных координат в физическом пространстве может соответствовать движущейся сетке, что имеет место в нестационарных течениях с подвижными границами.

Отображение физического пространства на пространство обобщенных координат позволяет произвести сгущение координатных линий в физическом пространстве в областях, где можно ожидать появления больших градиентов. Если области больших градиентов изменяются со временем, например при перемещении ударных волн, физическую сетку можно перестраивать так, что локальная сетка будет достаточно мелкой для получения решений требуемой точности. з 12.1. Преобразование координат 61 Для стационарных течений возможность перемещения сетки в процессе проведения итераций весьма полезна.