Fletcher-2-rus (1185919), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Если положение областей больших градиентов заранее неизвестно, использование обобщенных координат позволяет реализовать итерационный процесс с адаптивным построением сетки так, что поле течения во всех частях расчетной области будет получено с одинаковой точностью. В результате получится более эффективное расположение узлов сетки.
Использование обобщенных координат приводит к определенным трудностям. Во-первых, необходимо определить вид уравнений в обобщенных координатах. Данный аспект будет рассмотрен в 9 12.3. Численное решение типичного уравнения в частных производных будет рассмотрено в $ !2.4.
В уравнениях, записанных в криволинейных координатах, появляются дополнительные члены, определяющие отображение физической области на пространство обобщенных координат. Эти дополнительные члены (параметры преобразования) имеют форму производных, например дх/дв, и обычно для них также приходится проводить дискретизацию (9 12.2). Это является дополнительным источником ошибок в решении (п. !2.2.3). Вывод параметров преобразования приведен в $ 12.1. й 12.1. Преобразование координат В данном параграфе будет установлена связь между физическими (х,у, г) и расчетными Я,т1, ~) координатами. Обобщение на преобразования, зависящие от времени (х, у, г, 1-з-~, т1, ~, т), приведено в работах (8!едег, 1978; ТМтпрзоп е! а1., 1985] .
12.1.1. Обобщенные координаты Предполагается, что между физическими и обобщенными координатами существует взаимно однозначное соответствие, которое может быть записано в виде $ = $ (х, у, г), т! = т! (х, у, г), ~ = ~ (х, у, г) (12.1) и соответственно х=х(к, т1, ~) и т. д. Конкретные соотношения определяются при построении сетки в физической области (гл. 13). При заданных функциональных зависимостях $ = $(х, у, г) уравнения могут быть преобразованы к виду, содержащему частные производные по $, т1, ь.
62 Гл. !2. Обобщенные криволинейные коорлинаты В качестве примера можно привести первые производные от компонент скорости и, о и в по х, у и г. Они имеют вид ди дл д$ дк ди ди дЧ дь до до дп дь дв дв дп дь (12.2) дл дв да Здесь фигурирует матрица Якоби преобразования 3, которая равна да да дч дл (12.3) В принципе, если известны аналитические зависимости = й(х,у, г), элементы матрицы ) могут быть определены непосредственно. На практике явные аналитические связи не всегда известны, и более удобно работать с обратной матрнцей Якоби, определяемой выражением дк дк д$ дт! ду ду дй дт! дл дл дй дт! (!2.4) Элементы матрицы )-! можно выразить через элементы мат- рицы 1, если заметить, что -! Транспонироаанная к алгебраяческоиу пополнению Л (у '! Определитель обратного якобиана 13-! ( равен ) 3 ' ) = хй (учгс — уегч) — хч(утгт — усгй) + хс (уагч — учгт), (12.6) где хй — дх/д$ и т. д.
В случае двух переменных Д,т1) выражение (12.6) упрощается (гс —— 1, ус — — хс — — 0) и принимает вид ~ 3 ' ~ = хауч — хчуа. ди ди дх ду до до дк ду дв дв дл ду ди дй до дй дв д$ да дк дч дк д$ ду дч ду дь ду дт! дк дй дк дк дС ду дС дг дь д$ да ду дл дт! дч ду дл дС дь ду дл 63 6 12.1. Преобразование координат Используя (12.5) и (12.6), элементы матрицы ! в (12.3) можно выразить в форме кпуе — к уп $,= !з ! кгкп — кп'1 $у= Упкс — Уек, !з ! кСУ1 "1УС к1Уп — кпУФ !з ! каке — к1кп ~и )1 — 1! Уекп Упк1 !з '! где !1-'! задается выражением (12.6). После построения сетки в физической области (гл.
!3) можно определить дискретную форму элементов, например кь обратной матрицы Якоби (9 12.2). После этого для определения элементов, например $,, матрицы Якоби (12.3) используются уравнения (12.7). Это облегчает дискретизацию уравнений в обобщенных координатах, где они имеют более компактную структуру при записи их с использованием $„ и т. д., а не хе и т.
д. (12.8) Изменения физических координат Лка могут быть связаны с соответствующими изменениями обобщенных координат Л$': ЬХ~ = — Лв~ доз (12.9) (подразумевается суммирование по 1). Следовательно, малое расстояние Лз связано с обобщенными координатами соотноше- 12.1.2. Метрический тензор и физические свойства преобразования Для установления связи между обобщенными, ортогональными и конформными координатами удобно ввести в рассмотрение метрический тензор а», который связан с матрицей Якоби Л (12.3).
При этом будут использоваться тензорные обозначения (Аг(з, 1962!. Предполагается, что физическая область рассматривается в декартовых координатах х'(=х, у, з), з = 1,3, а расчетная— в обобщенных координатах кз(= — $, ть ь), 1= 1, 3. Малое расстояние Лз между двумя точками физического пространства может быть выражено через приращения координат з Ьзз = ~, Ах~Ах». а-1 64 Гл. 12. Обобшенные криволинейные координаты нием з Лаз=~~ ( —, Л5')( — ЬВ1)=узы|'Я1 (12.10) а-1 (подразумевается суммирование по 1 и /), где з г~ даа дла а» доз д$1. а-1 (12.11) Метрический тензор д» устанавливает связь малых изменений обобщенных координат Л~' с расстоянием Лз.
Более подробно метрический тензор рассматривается Арисом (Аг(з, 1962]. ззар =(жр+у, ) Ьт) 2 2122 ь лзч = (ха+ У 2 )т~дй Рис. 12.3. Физические свойства расчетной сетки. (х'+ у') (х х + у у„) $= (х х„ + у у„) (х'„ + »2) , Г (и'. + )!) — (В. . + В, ,) ( = 1 ~ - Р,ч, + ~ипа) 6„ + ~и) где, как и ранее, х =дх/д$, а 13 ( — детерминант матрицы Якоби (12.3) . В двумерном случае длины отрезков, связанные с малыми изменениями $ и т1 соответственно, равны Лз =й»2Я и Ьзч= и = д'12~Л21 (рис.
12.3). В случае двух координат соотношение (12.11) удобно представить в виде матрицы 5 12.1. Преобразование координат к1 сова= )и2 ' Отношение сторон сетки АК определяется отношением длины касательных векторов (при Ь$ = Ь21) Локальная деформация сетки определяется углом О между координатными линиями $ и 21: е= (12.11) (гнала) В трехмерном случае связь физических сеточных параметров с компонентами метрического тензора определена в работе ]Кег((ск, К1ор(ег, 1982].
(12.16) 12.1.3. Ограничения на ортогоналоные и конформные координатор Использование обобщенных координат позволяет рассматривать произвольные геометрии. Однако хорошо известно, что точность решения уменьшается при деформации сетки. Для получения высокой точности сетка должна быть ортогональной или почти ортогональной. Для ортогональных систем координат некоторые члены преобразования пропадают и уравнения упрощаются. Если, кроме того, система координат конформная, происходит дальнейшее упрощение уравнений. Использование 5 К. Флетчер. т.
2 В матричном виде метрический тензор может быть выражен через обратный якобиан (12.6): д = (Л-')тЯ-'. Определяя детерминант, можно получить ]й]и'=~3-'!. (12.13) Это легко получить, особенно в двумерном случае, прямой подстановкой. Метрический тензор у~1 и различные параметры преобразования х и т. д. могут быть связаны с физическими свойствами расчетной сетки (рис. 12.3). Здесь будет приведен ряд формул для случая двух координат.
Площадь ячейки сетки (рис. 12.3) определяется соотношением Площадь = ] д ] ~ а|Ать (12. 14) которое, согласно (12.13), дает физическую интерпретацию обратного якобиана. Физическая ориентация расчетной сетки (касательная к координатной линии $) относительно оси х задается косинусом угла наклона Гл. !2. Обобитениые криволинейные координаты полностью ортогональных или конформных систем координат возможно лишь при сравнительно простой форме границ расчетной области. При этом возникают некоторые ограничения на положение сеточных узлов. Для двумерной ортогональной сетки должно выполняться условие О = 90' (рис.
12.3). Тогда, согласно (12.17), дм —— хах„+ уаун = О. (! 2.18) В трехмерном случае условие ортогональности имеет вид ум=О, 1чь!. (12.19) Если система координат ортогональная, т. е. метрический тензор содержит только диагональные члены дн, удобно ввести обозначения Иа=(йп), 1=1, 2, 3 (нет суммирования). (12.20) Члены Ь< могут рассматриваться как скалярные множители, поскольку на ортогональных сетках при малых изменениях координаты й' в физической области имеет место соотношение Ьз = ЬтЛ4' (нет суммирования).
(12.2 1) В обобщенных координатах ($,т1) уравнение (12.23) можно записать в следующем виде: где дат и т. д. определяются из (12.12), а дца — из соотношения це ца !д! д =х уч — хчуа. (12.25) В двумерном случае из условия ортогональности, согласно (! 2.! 2), следует х„= — уй Ай, уч = хаАК, (12. 22) где Ац — отношение сторон сетки (12.16). Прн АК=! условия (12.22) сводятся к условиям Коши— Римана и сетка получается конформная. Если АК постоянно, но ие равно единице, простое изменение масштаба по $ и Ч приведет к соответствующей конформной системе координат. Уровень сложности уравнений в различных системах координат может быть оценен из рассмотрения уравнения Лапласа. В двумерном случае в декартовых координатах оно имеет вид д'Т д'Т (12.23) $12.1. Преобразование коордииат 67 Другими словами, у — детерминант матрицы д. Такое обозначение, а не (й(, как в (12.4), использовано здесь для компактности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
