Fletcher-2-rus (1185919), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Подстановкой в (12.24) различных членов можно после некоторых преобразований получить консервативную форму этого уравнения (п. 12.3.2): — ( — ","), — ( — ","')„+ Н ('"+,© '1„~- ~-(1"" ""~ ) 1-т оттт1 У 4ч чч Здесь 7 — определитель матрицы ) (ранее обозначаемый через ~.1 ~), а 17а$ = — $„,+ $аа и т.
д. Можно заметить, что в (12.26) входят вторая смешанная производная и первые производные, которых нет при записи в декартовых координатах. Кроме того, члены та$, Рт1 содержат вторые производные от параметров преобразования, которые часто бывает трудно определить с требуемой точностью (п. 12.2.3). Если система координат ортогональная, то ум = 0 и уравнение (12.24) принимает вид (12.27) где ортогональные скалярные множители равны и =(д )иа=(ха+уа)ит и =(и )ив=(хи+уз)ит. Соответствующая консервативная форма уравнения (12.27) совпадает с (12.26), за исключением того, что в ней отсутствует смешанная вторая производная. Для конформной сетки )т1 = (та и сеточные параметры удовлетворяют условиям Коши — Римана х„уа, у„х .
(12.28) Поскольку 111 — — Ьа, уравнение (12.27) сводится к уравнению Лапласа т +Т =О, (! 2.29) т. е. структура уравнения не сложнее, чем в декартовых координатах. Выбор между конформными, ортогональными или обобщенными координатами обычно определяется природой расчетных границ. Если геометрия расчетной области достаточно проста и сетка может быть построена таким образом, что ее точки попадают в область больших градиентов, следует использовать конформные координаты, поскольку они вводят в уравнения Гл. 12.
Обобщенные криволинейные координаты наименьшее число дополнительных членов и, следовательно, позволяют разработать более экономный алгоритм расчета. В случае трех пространственных переменных построение полностью конформных или ортогональных стенок обычно невозможно. Поэтому уравнения должны быть записаны в обобщенных координатах, хотя и возможны некоторые упрощения по отдельным координатным направлениям или в локальных расчетных подобластях. 2 12.2. Аппроксимация параметров преобразования Если возможно аналитическое отображение физической области (х, у) в расчетную (й, т1), что имеет место при простых конформных преобразованиях, параметры преобразования хе н т.' д. могут быть определены точно.
Обычно отображение определяется лишь для точек сетки, и параметры преобразования приходится определять численно. Для простоты в данном параграфе это будет проиллюстрировано в двумерном случае. Обобщение на трехмерные сетки проводится очевидным образом. Дискретизация уравнений в обобщенных координатах проводится в области (й,т)) и отображение обычно производится таким образом, что в области ($, т1) определяется однородная прямоугольная сетка (рис.
12.2). Численное определение параметров преобразования может быть проведено обычными методами дискретизации (гл. 3 и 5). В п. 12.2.1 используются формулы с центральными разностями. Аппроксимация на основе метода конечных элементов описана в 'п. !2.2.2. Томпсон и др. [ТЬотпрзоп е1 а1., 1985) предложили аппроксимацию на основе метода конечного объема. Однако для аппроксимации параметров преобразования и производных в рассматриваемых уравнениях рекомендуется использовать одну и ту же дискретизацию. 12.2.1.
Формулы с центральными разностями Аппроксимацию параметров преобразования удобнее всего провести через переменные хй, хч и т. д. Для точки Р (рис. 12.4) можно записать формулы с центральными разностями х „, а — хэ , а х~ а„, — х~ а 1~+ ь а й~ — ь а " чь а+1 — чь а — ~ (12.30) Уг+ь а — У~ ь а Уь а+~ — Уь а — ~ уй е уч $„ь а — $, ь а ' чь а+~ — чь а ~ ' В общем случае при преобразовании к обобщенным координатам уравнений второго порядка (п. 12.3.2) необходимо опреде- $12.2. Аппроксимация параметров преобразования б9 лить некоторые вторые производные. Например, к~ ~ а — 2к «+к~ ХИ = дйз х ~ ' + ~ ' + ~ ' ~+', (12.31) хФч 4Д$Дч к1 а ~ — 2к- а + х~ а~1 хпп д 3 Здесь подразумевается, что сетка в плоскости ($,т1) равномерная, т.
е. Ай= Ь+~ — К = $4 — 5;, и т. д. Аналогично можно определить параметры уй и т, д. После определения основных параметров преобразования с помощью (12.30) и (12.31) обратные параметры $„и т. д. и+1 Н-1 Рис. !2.4. Расчетная сетка в физической области. можно получить из уравнений (12.7). Типичные уравнения движения жидкости (п. 12.3.3) можно записать более компактно с помощью членов типа $„, появляющихся в них явно. Вторые производные обратных параметров, например $,, можно выразить через соотношения (12.31).
Конкретный вид этих соотношений представлен выражением (12.81). После аппроксимации параметров хт и т. д. параметры сетки ди, а, АК и 0 могут быть получены соответственно из уравнений (12.12), (12.15) — (12.17). Аппроксимация параметров преобразования производится по формулам более высокого порядка, чем (12.30) и (12.31). Как правило, для дискретизации параметров преобразования Гл. 12. Обобщенные криволинейные координаты 70 используются те же разностные формулы, что и для аппроксимации производных в уравнениях. Данный аспект будет рассмотрен в и. 12.2.3. Если уравнения решаются на ортогональной сетке, члены, пропорциональные внедиагональным элементам уи метрического 1-1 Рис. 12.5.
Дискретная ортогональность. тензора, могут быть отброшены. В случае двумерной ортогональной сетки д,а — — хйхч+ уйун = О. Если параметры преобразования хе и т. д. аппроксимируются численно, чрезвычайно важно, чтобы дискретное представление соответствующих членов ии было равно нулю. Так, например, для двумерной ортогональной сетки аппроксимация у а может быть осуществлена следующим образом: дм — — (х~+, ь — х~, а)(х~ „+, — х~ а,)+ +(у1+, а — у1, а)(у1 а+, — ут а,)=О. (12.32) Геометрическая интерпретация выражения (12.32) представлена на рис. 12.5. Чтобы условие ортогональности выполнялось на дискретном уровне, необходимо чтобы линии АВ и С0 были перпендикулярны.
Следовательно, если параметры преобразования иа ортогональной сетке определяются численно, сетка должна быть построена так (п. 13.2.4), чтобы выполнялись дискретные условия ортогональности. 12.2.2. Аппроксимация методом конечных элементов При аппроксимации параметров преобразования методом конечных элементов также получаются уравнения (12.30) и (12.31). При изопараметрическом построении (п.
5.5.3) на четырех прилежащих элементах (А, В, С и 0 на рис. 12.4) с били- $12.2. Аппроксимация параметров преобразования 71 Н 1 2-1 3 1+1 Рис. 12.6. Неоднородная прямоугольная расчетная сетка. Д, т)) прямоугольную, но неравномерную сетку (рис. 12.6). Величины г1 и г„определяют увеличение шага сетки. В этом более общем случае для первых производных от параметров преобразования, подобных х1, по-прежнему верны соотношения (12.30); выражения (12.31), однако, заменяются следующими: к, а -(1+!/г1)к а + к)+, гь х11 — —— + $ "1-~- ь ат! "1 — ь а+ ! + "! — ь а - ! "1-~- ь а - ! (1 + г1) (1 + ги) А1ач (12.33) п а 1+ гч кь аа! а к , — (1 + 1/г„)к + к Аче 12.2,3. Дополнительные ошибки, связанные с использованиекс обобщенных координат Может показаться, что для определения влияния использования обобщенных координат на ошибку решения достаточно получить выражение для ошибки аппроксимации и ожидать, что нейной интерполяцией и осреднением величины хе и ей подобных в точке Р можно получить выражение (12.30).
Если изопараметрическое построение использовать на одном квадратичном элементе Лагранжа с точкой Р в качестве внутреннего узла, можно получить как (12.30), так н (12.31). Для лучшего контроля за распределением по пространству значения якобиана имеет смысл рассмотреть в пространстве Гл. !2. Обобщенные криволинейные координаты 72 факторы, вызывающие увеличение ошибки аппроксимации, аналогичным образом повлияют на ошибку решения. Однако, как следует из п. 10.1.5, соответствие не является вполне точным.
В качестве иллюстрации рассмотрим производную дТ/дх. В обобщенных координатах она может быть представлена в виде дТ~дх = $„Тй+ т1„Тн, (12.34) где Тй — дТ)дК и т. д. В дальнейшем будем считать, что использование обобщенных координат состоит лишь в растяжении вдоль оси х и, таким об- оамсы расчетв Фитичвекаа облаем Т Т.
Т„„т) ! Т т,, )-а,-+ — аа, .( ~ а!фа, ( Рис. !2.7. Одномерное отображение. разом, т! = у. Уравнение (12.34) приводится к виду ат т Т! ! — т,, о««1 «/+! «! ! (12.36) Разложение различных членов (12.36) в ряд Тейлора в окрест- ности узла 1 в расчетной области дает В предположении что Л$ мало, данное выражение может быть преобразовано к виду Очевидно, что (12.37) является аппроксимацией производной, и на первый взгляд порядок точности по й равен двум. Однако дальнейшие алгебраические преобразования (12.37) приводят дТ Г! (12.35) Аппроксимацию (12.35) центральными разностями можно осуществить следующим образом (рис. 12.7): Гл.
12. Обобщенные криволинейные координаты деТ ~ 2Д$ ~!и ~ (Тт, — 2ТГ+ Т~ 1) дхе (,хг+~ — х~ 1 ~ [ 2Д$е (х, — 2х + и~+1 (Т 1 — Т деев ~х;е, — х!, / (12.41) Разложением в ряд Тейлора в узле 1 конечно-разностное выражение в правой части приводится к виду КН5 Т (! 2(г 1)е) + (! 2.42) т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
