Fletcher-2-rus (1185919), страница 13
Текст из файла (страница 13)
данная аппроксимация имеет ошибку 0(Лхе), если ге = = 1+ 0(бх). Однако, если это не выполняется, такая аппроксимация Тхх в расчетной области вообще неверна. Это указывает на то, что точность аппроксимации вторых производных (при использовании обобщенных координат с увеличением сетки) падает быстрее, чем первых. Если сетка неортогональна, использование обобщенных координат в многомерном случае приводит к появлению дополнительных членов в ошибке аппроксимации. Обычно эти ошибки пропорциональны сов О [Т!тошрзоп е! а!., 1985), значение которого определяется выражением (12.17). Однако общепринято, что допустимы отклонения от ортогональности до 45'. При расчете течений с ударными волнами или областями больших градиентов, как правило, желательно представить уравнения в консервативной форме (12.54) и дискретизацию их про- ние хй по тем же разностным формулам, что и Т, предпочтительней, поскольку при этом в ошибке аппроксимации пропадает член(х /х )Т„и ошибка в решении будет меньше.
Кроме того, использование формул более высокого порядка или точных выражений для хе и х может привести к невыполнению некоторых метрических тождеств (Тйотрзоп е! а1., 1985), что влечет за собой появление ложных источниковых членов, если производится дискретизация уравнений, записанных в консервативном виде (см. ниже). При любом способе аппроксимации хй и хй использование быстро растущих сеток приводит к большим значениям хй и х, что увеличивает ошибку аппроксимации дТ)дк. Таким образом, в общем случае ошибка аппроксимации определяется параметрами преобразования и, как в случае однородных сеток, размером шага сетки н производными более высокого порядка. Дискретизацию деТ/дка в одномерной расчетной области (рис.
12.7) можно осуществить следующим образом: $ !2.2. Аппроксимация параметров преобразования 75 водить так, чтобы она сохраняла консервативность. При использовании обобщенных координат возникают дополнительные трудности. Это может быть продемонстрировано на примере дискретизации первой производной Т . В двумерном случае 7 'Ти = (ТУт~4 — (ТУ4)ч — — Т,,ӄ— ТчУа. (12.43) Первое равенство является представлением Т, в расчетных координатах в консервативной форме; второе равенство — неконсервативное представление. При использовании центральных разностей первое равенство преобразуется к виду (предполагается, что Л$ = Лт1 = 1) (7-1Т„)- „= 0.5 1(ТУ„)+, и — (Туч)~, и — (Ту~)~ а+, +(ТУ1), и-Ь (12.44) Если параметры преобразования также определяются центральными разностями, то (12.44) можно выразить в виде (Г'Т,)~ и 0.25(Т~+, «(Угы „е, — у~+, а,)— — Т, и,',(У,, „, — У...,) — Т, „, (У„, „, — У,, „,)+ +Т~ а,,(У~+, а, — Уг, а 1)1.
(12.45) Если Т постоянна, то правая часть (12А5), как это и должно быть, обращается в нуль. Однако, если у„и уа в (12.44) определяются аналитически, то нет гарантии, что правая часть (12.43) будет равна нулю при постоянной Т. Из рассмотрения неконсервативной формы (12.43) следует, что Т, = 0 в случае постоянной Т при любом определении уч н уь Важность консервативного представления уравнений приводит к следующему правилу (ТЬогпрзоп е1 а!., 1984]. Параметры преобразования у„и т.
п. должны определяться численно, а не аналитически, причем по тем же дискретным формулам, что и производные зависимых переменных. Другой важный результат, следующий из анализа ошибок аппроксимации, состоит в том, что параметры роста шага сетки, например г на рис. 12.7, должны быть близки к единице. Данное обстоятельство особенно существенно, если в уравнения входят вторые производные от физических параметров. Строгая ортогональность сетки уменьшает число членов в преобразованных уравнениях и, таким образом, делает алгоритмы расчета более экономными. Однако точность расчетов на сетках, близких к ортогональным, сравнима с точностью, полученной на строго ортогональных сетках.
Гл. 12. Обобщенные крнволннейкые коордннаты 9 12.3. Структура типичных уравнений в обобщенных координатах 12.3.1. Уравнение в частных производных первого порядка В данном пункте уравнение в частных производных общего вида будет преобразовано к эквивалентному уравнению в обобщенных координатах.
Подобную не более сложную структуру имеют уравнения, описывающие движение невязкой жидкости, записанные в консервативном виде. Рассматривается следующее двумерное уравнение: + Рл + Оу О (12.46) где Р„= дР/дх и т. д. Предполагается, что сетка в физической области (рис. 12.1) не изменяется со временем, т. е. обобщенные координаты Д, Ч) являются функциями только (х,у).
Таким образом, 3=а(х, у), Ч=Ч(х, у). (12.47) Более общий случай, когда сетка изменяется со временем, т. е. ь=ь(х у 1). Ч =Ч(х у, 1), рассмотрен в работах [Яедег, 1978; ТЬогпрзоп е1 а1., 1985[. Введение обозначений д д д д д д — =$ — +Ч вЂ” — =$ — +Ч— дх " д$ л дч ' ду У дй У дч позволяет записать (12.46) в виде где 1 РаЧу $уЧ» Фч ч$ (12.49) Параметр 1, определяемый выражением (12.49), есть якобиан преобразования координат (12.3). Соотношения, выведенные в и. 12.1.1, будут использованы в данном параграфе для записи типичных уравнений в частных производных в обобщенных координатах. В и. 12.3.1 и 12.3.2 в общем виде рассмотрены двумерные уравнения в частных производных первого и второго порядков.
В п. 12.3.3 полученные формулы применяются к уравнениям, описывающим движение жидкости. $12.3. Структура типичных уравнений в обобщенных координатах 77 Члены типа й Ра/7 при помощи (12.7) можно записать в виде — — [ — ") — Р( 7") =( 7 ) — Р(уп)!. (12.50) После подстановки этих выражений в (12.48) члены типа (уп)е сокращаются и в результате получается уравнение 7,+Р,"+а'„=0, (!2.51) где ч.~+ и„~ т'' 7 ' 7 Очевидно, что после введения новых зависимых переменных д', Р' и 6' структуры уравнений (12.46) и (12.51) совпадают. Сравнивая (12.46) и (12.51), заметим, что прямое преобразование пространственных производных можно записать в виде Р„+ а„=7(Р;+ В„'), (! 2.53) где Р' и 6* определяются уравнениями (12.52).
41 + Р, + 6н = (аМх)х + ([)5н), + (бЫе+ (уТн)„, (12 55) где а, (), б и у могут быть функциями от (х, у). Для записи уравнения (12.54) в обобщенных координатах преобразование (12.53) используется в два этапа. На первом из них (12.54) записывается в виде д, + Р„+ а„= ахн8, (12.56) ЙН8 = [Я„+ вЗе[, + [(1 — в) 3„+ Ти[е, (12.57) где е — параметр, определяющий распределение смешанной производной Я,и между членами, заключенными в скобки. Используя (12.53), уравнение (12.57) можно записать в виде т~8!7 — Р, + (7ч, (12.58) 12.3.2. Уравнение в частных производных второго порядка В данном пункте уравнение (12.46) будет записано в виде уравнения второго порядка двумя способами. При первом имеем 7,+Р„+ Ц=Р,„,+3„„+Т„„.
(12.54) Чтобы получить уравнение, имеющее ту же структуру, что и уравнения, описывающие движение жидкости, свойства которого зависят от координат, будет рассмотрено также следующее уравнение: Гл. 12. Обобщенные криволинейные координаты 78 где Р = — Я„+ аЯу) + —" [(1 — е) 3„+ Ту1 Я = — (Ут', + еЗу) + — ((! — е) Я„+ Ту1 (12.59) или [й,к+(! — в)$уЗ)х+[[хвз+аут\у $хха+[хдо+$уут Используя (12.53) вторично, Р преобразуют к виду г..
!хай+ Ьх! Р +т.'„т 1 Г йхЧ Я+ Чхйув+ аУ3+ [упит 1 А У хх~ + ~хд + ~уу У где Ч =ЧIУ Р* Р* ххх +худ +[ну У ч к+ч до+явит У 4~г + Ы„8 + [й т К= У ° 2[хЧхй + (йхяу + ххуях) 3 + 2~упу (12.62) 8 У Т~ Чхй+ ЧхЧу'Ч+ Чут У Хотя для вывода уравнений (12.61) и (12.62) был введен параметр и, в окончательных выражениях он отсутствует. Строго консервативная форма (12.61), подобная (12.54), сохранена за счет введения более сложных зависимых переменных. Члены со вторыми производными !х и т.
д. делают вклад в члены с первыми производными по й и Ч. В п. !2.2.3 отмечено, что если члены, подобные хйм связанные с растяжением сетки, немалы, точность дискретизации и, Аналогичные преобразования позволяют преобразовать Я к виду Я = У[а+ Вч+ С. Подставляя данные выражения в (12.58) и используя (!2.53), дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка (12.54) можно записать в строго консервативной форме ~У~ + Р! + ~ч 'т!х + ~хч + Тчч' $12.3.
Структура типичных уравнений в обобщенных координатах 79 следовательно, решения может серьезно пострадать. Данный эффект проявляется через члены типа $ „входящие в Р'* и б"*. Члены, подобные $хх, могут быть непосредственно связаны с хае, примером такой связи служат формулы (12.81) и (12.82). Для более общего вида уравнений в частных производных второго порядка (12.55) осуществление двух этапов применения уравнения (12.53) снова дают (12.61) со следующей заменой (12.62): хо'" = Р' + [(аеэ )„хох + (Я„)„8 + (Я~)„8 + (Я~) Тат (у), б"=б'+[(аЧ„)„)т+(8Чх)иЯ+(бЧ„) 8+ (УЧа)иТ) (У) 1с' = [а$~)т+ (р+ б) 3„$„3+ уэхТ1 ( — ), 8' = [2а~„Ч„)~ -1- (~ -1- б) ($„Ч„+ $аЧ„) 3 + 2УйиЧиТ1 ( — ), Т =[ ~р+([1+6)Ч„Ч„8+уЧ'„Т1®.
(12.63) 12.3.8. Уравнения движения жидкости Полезно ввести в рассмотрение контравариантные компоненты скорости (1' и У' — компоненты вдоль координатных линий $ и Ч соответственно: б'=$„и+$ио, 1/'=Ч,и+Чав. (12.65) Уравнение неразрывности в обобщенных координатах тогда имеет вид 6),+( — ") +( — "') =' что весьма схоже со структурой уравнения в декартовой системе координат. Для несжимаемой вязкой жидкости уравнение х-компоненты импульса (11.88) в безразмерной консервативной форме имеет Уравнения неразрывности и Эйлера являются уравнениями в частных производных первого порядка. Уравнения для импульса и энергии в случае вязких течений имеют второй порядок.
Уравнение неразрывности (11.10) может быть непосредственно записано в виде (12.51), если положить д = р, г = ри, б=ро. В этом случае г' и б' равны Р (ах~+ аич) б Р (Чх + Чио) (12 6 1) 1 Гл. !2. Обобнтенные криволинейные каорлиивты вид и, + (и'+ р)х + (ио)и — — — (ихх+ и„„), что соответствует (12.54), если д=и, Р=и'+ р, О=ио, !с+Т=и(йе, В результате (12.6!) и (12.62) сводятся к виду 7;+ Р",'+ О„''= —,', (~;, + З„+ т„'), (12.67) (12.68) где Р'*= '(иУ'+( *' "")и+ $„р1Н О" =(и)г'+( "" "")и+т1хр~Я, (12.69) (й!+ й'„) У 5' = 2 ($хЧ„+ $иЧ„) и (»~+ чй) и У (12.70) Для двумерных ламинарных сжимаемых течений уравнение х-компоненты импульса в консервативной форме (!1.26) можно записать в виде дтхх дехи (Ри)т+(Ри + Р)х+(Рио)и= д„+ д (!2 71) где вязкие напряжения т, и т, равны тхх= з !хи~ и !ток тхд=рид+рох (1272) 4 2 На ортогональной сетке приведенное выше выражение для 5* равно нулю, что упрощает применение для его численного решения приближенно факторизованных схем ($8.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
