Fletcher-2-rus (1185919), страница 13

Файл №1185919 Fletcher-2-rus (Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей) 13 страницаFletcher-2-rus (1185919) страница 132020-08-25СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

данная аппроксимация имеет ошибку 0(Лхе), если ге = = 1+ 0(бх). Однако, если это не выполняется, такая аппроксимация Тхх в расчетной области вообще неверна. Это указывает на то, что точность аппроксимации вторых производных (при использовании обобщенных координат с увеличением сетки) падает быстрее, чем первых. Если сетка неортогональна, использование обобщенных координат в многомерном случае приводит к появлению дополнительных членов в ошибке аппроксимации. Обычно эти ошибки пропорциональны сов О [Т!тошрзоп е! а!., 1985), значение которого определяется выражением (12.17). Однако общепринято, что допустимы отклонения от ортогональности до 45'. При расчете течений с ударными волнами или областями больших градиентов, как правило, желательно представить уравнения в консервативной форме (12.54) и дискретизацию их про- ние хй по тем же разностным формулам, что и Т, предпочтительней, поскольку при этом в ошибке аппроксимации пропадает член(х /х )Т„и ошибка в решении будет меньше.

Кроме того, использование формул более высокого порядка или точных выражений для хе и х может привести к невыполнению некоторых метрических тождеств (Тйотрзоп е! а1., 1985), что влечет за собой появление ложных источниковых членов, если производится дискретизация уравнений, записанных в консервативном виде (см. ниже). При любом способе аппроксимации хй и хй использование быстро растущих сеток приводит к большим значениям хй и х, что увеличивает ошибку аппроксимации дТ)дк. Таким образом, в общем случае ошибка аппроксимации определяется параметрами преобразования и, как в случае однородных сеток, размером шага сетки н производными более высокого порядка. Дискретизацию деТ/дка в одномерной расчетной области (рис.

12.7) можно осуществить следующим образом: $ !2.2. Аппроксимация параметров преобразования 75 водить так, чтобы она сохраняла консервативность. При использовании обобщенных координат возникают дополнительные трудности. Это может быть продемонстрировано на примере дискретизации первой производной Т . В двумерном случае 7 'Ти = (ТУт~4 — (ТУ4)ч — — Т,,ӄ— ТчУа. (12.43) Первое равенство является представлением Т, в расчетных координатах в консервативной форме; второе равенство — неконсервативное представление. При использовании центральных разностей первое равенство преобразуется к виду (предполагается, что Л$ = Лт1 = 1) (7-1Т„)- „= 0.5 1(ТУ„)+, и — (Туч)~, и — (Ту~)~ а+, +(ТУ1), и-Ь (12.44) Если параметры преобразования также определяются центральными разностями, то (12.44) можно выразить в виде (Г'Т,)~ и 0.25(Т~+, «(Угы „е, — у~+, а,)— — Т, и,',(У,, „, — У...,) — Т, „, (У„, „, — У,, „,)+ +Т~ а,,(У~+, а, — Уг, а 1)1.

(12.45) Если Т постоянна, то правая часть (12А5), как это и должно быть, обращается в нуль. Однако, если у„и уа в (12.44) определяются аналитически, то нет гарантии, что правая часть (12.43) будет равна нулю при постоянной Т. Из рассмотрения неконсервативной формы (12.43) следует, что Т, = 0 в случае постоянной Т при любом определении уч н уь Важность консервативного представления уравнений приводит к следующему правилу (ТЬогпрзоп е1 а!., 1984]. Параметры преобразования у„и т.

п. должны определяться численно, а не аналитически, причем по тем же дискретным формулам, что и производные зависимых переменных. Другой важный результат, следующий из анализа ошибок аппроксимации, состоит в том, что параметры роста шага сетки, например г на рис. 12.7, должны быть близки к единице. Данное обстоятельство особенно существенно, если в уравнения входят вторые производные от физических параметров. Строгая ортогональность сетки уменьшает число членов в преобразованных уравнениях и, таким образом, делает алгоритмы расчета более экономными. Однако точность расчетов на сетках, близких к ортогональным, сравнима с точностью, полученной на строго ортогональных сетках.

Гл. 12. Обобщенные крнволннейкые коордннаты 9 12.3. Структура типичных уравнений в обобщенных координатах 12.3.1. Уравнение в частных производных первого порядка В данном пункте уравнение в частных производных общего вида будет преобразовано к эквивалентному уравнению в обобщенных координатах.

Подобную не более сложную структуру имеют уравнения, описывающие движение невязкой жидкости, записанные в консервативном виде. Рассматривается следующее двумерное уравнение: + Рл + Оу О (12.46) где Р„= дР/дх и т. д. Предполагается, что сетка в физической области (рис. 12.1) не изменяется со временем, т. е. обобщенные координаты Д, Ч) являются функциями только (х,у).

Таким образом, 3=а(х, у), Ч=Ч(х, у). (12.47) Более общий случай, когда сетка изменяется со временем, т. е. ь=ь(х у 1). Ч =Ч(х у, 1), рассмотрен в работах [Яедег, 1978; ТЬогпрзоп е1 а1., 1985[. Введение обозначений д д д д д д — =$ — +Ч вЂ” — =$ — +Ч— дх " д$ л дч ' ду У дй У дч позволяет записать (12.46) в виде где 1 РаЧу $уЧ» Фч ч$ (12.49) Параметр 1, определяемый выражением (12.49), есть якобиан преобразования координат (12.3). Соотношения, выведенные в и. 12.1.1, будут использованы в данном параграфе для записи типичных уравнений в частных производных в обобщенных координатах. В и. 12.3.1 и 12.3.2 в общем виде рассмотрены двумерные уравнения в частных производных первого и второго порядков.

В п. 12.3.3 полученные формулы применяются к уравнениям, описывающим движение жидкости. $12.3. Структура типичных уравнений в обобщенных координатах 77 Члены типа й Ра/7 при помощи (12.7) можно записать в виде — — [ — ") — Р( 7") =( 7 ) — Р(уп)!. (12.50) После подстановки этих выражений в (12.48) члены типа (уп)е сокращаются и в результате получается уравнение 7,+Р,"+а'„=0, (!2.51) где ч.~+ и„~ т'' 7 ' 7 Очевидно, что после введения новых зависимых переменных д', Р' и 6' структуры уравнений (12.46) и (12.51) совпадают. Сравнивая (12.46) и (12.51), заметим, что прямое преобразование пространственных производных можно записать в виде Р„+ а„=7(Р;+ В„'), (! 2.53) где Р' и 6* определяются уравнениями (12.52).

41 + Р, + 6н = (аМх)х + ([)5н), + (бЫе+ (уТн)„, (12 55) где а, (), б и у могут быть функциями от (х, у). Для записи уравнения (12.54) в обобщенных координатах преобразование (12.53) используется в два этапа. На первом из них (12.54) записывается в виде д, + Р„+ а„= ахн8, (12.56) ЙН8 = [Я„+ вЗе[, + [(1 — в) 3„+ Ти[е, (12.57) где е — параметр, определяющий распределение смешанной производной Я,и между членами, заключенными в скобки. Используя (12.53), уравнение (12.57) можно записать в виде т~8!7 — Р, + (7ч, (12.58) 12.3.2. Уравнение в частных производных второго порядка В данном пункте уравнение (12.46) будет записано в виде уравнения второго порядка двумя способами. При первом имеем 7,+Р„+ Ц=Р,„,+3„„+Т„„.

(12.54) Чтобы получить уравнение, имеющее ту же структуру, что и уравнения, описывающие движение жидкости, свойства которого зависят от координат, будет рассмотрено также следующее уравнение: Гл. 12. Обобщенные криволинейные координаты 78 где Р = — Я„+ аЯу) + —" [(1 — е) 3„+ Ту1 Я = — (Ут', + еЗу) + — ((! — е) Я„+ Ту1 (12.59) или [й,к+(! — в)$уЗ)х+[[хвз+аут\у $хха+[хдо+$уут Используя (12.53) вторично, Р преобразуют к виду г..

!хай+ Ьх! Р +т.'„т 1 Г йхЧ Я+ Чхйув+ аУ3+ [упит 1 А У хх~ + ~хд + ~уу У где Ч =ЧIУ Р* Р* ххх +худ +[ну У ч к+ч до+явит У 4~г + Ы„8 + [й т К= У ° 2[хЧхй + (йхяу + ххуях) 3 + 2~упу (12.62) 8 У Т~ Чхй+ ЧхЧу'Ч+ Чут У Хотя для вывода уравнений (12.61) и (12.62) был введен параметр и, в окончательных выражениях он отсутствует. Строго консервативная форма (12.61), подобная (12.54), сохранена за счет введения более сложных зависимых переменных. Члены со вторыми производными !х и т.

д. делают вклад в члены с первыми производными по й и Ч. В п. !2.2.3 отмечено, что если члены, подобные хйм связанные с растяжением сетки, немалы, точность дискретизации и, Аналогичные преобразования позволяют преобразовать Я к виду Я = У[а+ Вч+ С. Подставляя данные выражения в (12.58) и используя (!2.53), дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка (12.54) можно записать в строго консервативной форме ~У~ + Р! + ~ч 'т!х + ~хч + Тчч' $12.3.

Структура типичных уравнений в обобщенных координатах 79 следовательно, решения может серьезно пострадать. Данный эффект проявляется через члены типа $ „входящие в Р'* и б"*. Члены, подобные $хх, могут быть непосредственно связаны с хае, примером такой связи служат формулы (12.81) и (12.82). Для более общего вида уравнений в частных производных второго порядка (12.55) осуществление двух этапов применения уравнения (12.53) снова дают (12.61) со следующей заменой (12.62): хо'" = Р' + [(аеэ )„хох + (Я„)„8 + (Я~)„8 + (Я~) Тат (у), б"=б'+[(аЧ„)„)т+(8Чх)иЯ+(бЧ„) 8+ (УЧа)иТ) (У) 1с' = [а$~)т+ (р+ б) 3„$„3+ уэхТ1 ( — ), 8' = [2а~„Ч„)~ -1- (~ -1- б) ($„Ч„+ $аЧ„) 3 + 2УйиЧиТ1 ( — ), Т =[ ~р+([1+6)Ч„Ч„8+уЧ'„Т1®.

(12.63) 12.3.8. Уравнения движения жидкости Полезно ввести в рассмотрение контравариантные компоненты скорости (1' и У' — компоненты вдоль координатных линий $ и Ч соответственно: б'=$„и+$ио, 1/'=Ч,и+Чав. (12.65) Уравнение неразрывности в обобщенных координатах тогда имеет вид 6),+( — ") +( — "') =' что весьма схоже со структурой уравнения в декартовой системе координат. Для несжимаемой вязкой жидкости уравнение х-компоненты импульса (11.88) в безразмерной консервативной форме имеет Уравнения неразрывности и Эйлера являются уравнениями в частных производных первого порядка. Уравнения для импульса и энергии в случае вязких течений имеют второй порядок.

Уравнение неразрывности (11.10) может быть непосредственно записано в виде (12.51), если положить д = р, г = ри, б=ро. В этом случае г' и б' равны Р (ах~+ аич) б Р (Чх + Чио) (12 6 1) 1 Гл. !2. Обобнтенные криволинейные каорлиивты вид и, + (и'+ р)х + (ио)и — — — (ихх+ и„„), что соответствует (12.54), если д=и, Р=и'+ р, О=ио, !с+Т=и(йе, В результате (12.6!) и (12.62) сводятся к виду 7;+ Р",'+ О„''= —,', (~;, + З„+ т„'), (12.67) (12.68) где Р'*= '(иУ'+( *' "")и+ $„р1Н О" =(и)г'+( "" "")и+т1хр~Я, (12.69) (й!+ й'„) У 5' = 2 ($хЧ„+ $иЧ„) и (»~+ чй) и У (12.70) Для двумерных ламинарных сжимаемых течений уравнение х-компоненты импульса в консервативной форме (!1.26) можно записать в виде дтхх дехи (Ри)т+(Ри + Р)х+(Рио)и= д„+ д (!2 71) где вязкие напряжения т, и т, равны тхх= з !хи~ и !ток тхд=рид+рох (1272) 4 2 На ортогональной сетке приведенное выше выражение для 5* равно нулю, что упрощает применение для его численного решения приближенно факторизованных схем ($8.2).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,97 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее