Fletcher-2-rus (1185919), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Прн введении разреза в физической области предполагается, что точки, лежащие на А'1' н С'0' в расчетной области, совпадают. Точки, прилежащие к разрезу, могут понадобиться прн аппроксимации производных вблизи А'1' н С'.0'. ю! 3 13.1. Физические аспекты Необходимо, однако, обеспечить, чтобы при пересечении границы АЧ' и обратно С'0' сохранялись направления координат Е Е Рис. 13.10.
Отображение тонкого тела. 6 Е Е Р Н Р С Рис. 13.1!. Введение разреза при отображении гладкого тела. О-сетка. $, Ч, действующие на А'У'. Концептуально имеет смысл расширить границы А'1' и С'сг' и ввести в рассмотрение пересекающиеся области. При программировании это можно сделать путем введения дополнительных рядов точек за пределами АЧ' Гл. 13. Построение сеток !02 и С'О'.
Значения в этих точках используются при аппроксимации производных и переопределяются после нахождения новых значений в соответствующих точках на противоположном краю расчетной области. Если обтекаемое тело тонкое и затуплено спереди, но заострено сзади (например, лопатка турбины или аэродинамический т) 1 1 А В С 0 Рис. 13.12. Гладкое тело с острой задней кромкой: С-сетка. профиль), то удобно ввести разрез, позволяющий построить С-сетку (рис. !3.12). Замечания по поводу разреза, изображенного на рис. 13.11, справедливы и для рис. 13.12. Решение должно быть продолжено при переходе с А'!' на С'0' и наоборот. Однако в отличие от О-сеток переход с А1 на С0 и с С0 на А1 происходит в отрицательном направлении т1 в расчетной области. Кроме того, переход вдоль разреза от С к О происходит в положительном направлении $, а от А к 1 — в отрицательном.
Поэтому при аппроксимации производных вблизи разреза должна соблюдаться некоторая осторожность. Рекомендуется использовать дополнительные ряды точек. $13.2. Построение сеток на основе решения уравнений 1ОЗ Прн рассмотрении многих изолированных тел обычно приходится либо вводить в расчетную область несколько прямоугольников, подобных приведенному на рис. 13.9, либо производить множество разрезов, как на рис.
13.12. Некоторые возможные выборы рассмотрены Томпсоном ]ТЬогпрзоп, 1982]. Описанный метод легко обобщается на трехмерный случай, хотя хранение дополнительной информации, связанной с граничными поверхностями и т. д., может оказаться весьма трудоемким. Типичные примеры приведены в работах ]КпЬЬег1, !.ее, 1982; ТЬотаз, 1982]. В рассмотренных случаях неявно предполагалось, что генерируемая сетка не зависит от времени. Однако для нестационарных задач или для лучшего разрешения первоначально неизвестных областей больших градиентов, связанных, например, с внутренними скачками, желательно позволить сетке меняться со временем или, иначе говоря, подстраиваться под получаемое решение.
Это приводит к дополнительным трудностям, кратко описанным Томпсоном [ТЬогпрзоп, 1984], а более подробно в работе ]ТЬотрзоп е! а!., 1985]. $13.2. Построение сеток на основе решения уравнений в частных производных При преобразовании уравнений динамики жидкости к обобщенным координатам было отмечено (п. 12.1.3), что уравнения имеют более простую структуру, если сетка конформная или ортогональная.
Для любых классов сеток преобразование от физической области к расчетной может быть получено в результате решения уравнений в частных производных (см. уравнения (!3.2) и (13.24) для конформных и ортогональных сеток соответственно). Без каких-либо ограничений на сетку преобразование может быть получено в результате решения уравнения Пуассона (13.35) . 13.2.1: Хонформное отображение: общие положения Для конформного преобразования связь между физической (х, у) и расчетной (й,т1) областями в двумерном случае может быть представлена в виде с(х й сов а — й ейп а и$ Скалярный множитель й связан с компонентами метрического тензора соотношением (12.20), т.
е.й=дп'=д',пе.Здесь а — угол Гл. 13. Построение сеток 104 между касательной к координатной линии 5 и осью х; значение направляющего косинуса вычисляется по формуле (12.15). Очевидно, что если для некоторого конформного преобразования значения й и а известны, величины хе(=й сон а) и т. д. можно определить непосредственно из (13.1). Если используется конформное преобразование, расчетная сетка (5,т1) связана с физической сеткой уравнениями Лапласа с(2 = Н сЦ или 2 = ~ Н с(~, (13.3) где Н = Ье'о = !т (соз а + ! з!п а). (!3.4» Таким образом, согласно (13.1), Н содержит параметры преобразования хе и др.
Традиционно [М11пе-Т)1ошзоп, 1968] конформные преобразования использовались для расчета потенциальных течений ($ 11.3) около тел сложной формы с использованием известных решений для обтекания тел простой формы, таких, как окружность единичного радиуса (единичная окружность). Здесь конформные преобразования используются для построения сеток без какого-либо ограничения на тип течения. На практике линии сетки могут быть выбраны так, чтобы они совпадали с линиями тока эквивалентной задачи потенциального обтекания.
Это обстоятельство часто улучшает устойчивость численного метода, используемого для расчета более общей задачи В качестве законченного метода построения сеток конформное отображение можно рассматривать состоящим из двух этапов: 1) построение одного или последовательности отображений, в результате чего получается соответствие между граничными точками в физической и расчетной областях; 2) построение внутренних точек в физической области, определяемое соответствием граничных точек, полученных на этапе (1). и УсловиЯми Коши — Римана: $, = т1е и $и — — — т! . ПосколькУ уравнения (13.2) имеют точные решения, можно построить решения $(х, у) и т1(х, у) путем суперпозиции и перехода к комплексным переменным [М!1пе-ТЬотзоп, 1968].
Используя комплексные переменные з = х+ !у и ь = 5+ а!. конформное преобразование можно записать в символьной форме к, = Р(Д, или более конкретно $ 13.2. Построение сеток на основе решения уравнений !05 Подразумевается, что, согласно общей философии построения сеток, расчетная область обычно является простым прямоугольником, внутренние точки в котором образуют равномерную сетку. Будет рассмотрено два подхода. Первый подход (п. 13.2.2) применим к хорошо обтекаемым телам, таким, как аэродинамические профили или лопатки турбин, которые путем последовательности отображений могут быть преобразованы в единичный квадрат.
Во втором подходе (п. 13.2.3) используется одношаговое отображение, основанное на преобразовании Шварца — Кристоффеля многоугольника с тт' сторонами в прямую линию. В настоящее время имеются различные модификации преобразования Шварца — Кристоффеля, делающие возможным отображение тел различной формы. И.2.2. Лоследовательные конфоряные отображения Последовательность преобразований часто строится на основе преобразований Кармана — Треффтца (М!1пе-Т)юшзоп, 19681: =(::.")'" (13.5) где а, Ь в плоскости Г и А, В в плоскости 2 выбираются в соответствии с рассматриваемой геометрией.
Преобразование Кармана — Треффтца отображает аэродинамический профиль в плоскости 2 в близкий к круговому профиль в плоскости Г. Отображение будет рассмотрено на примере профиля, изображенного на рис. 13.13. Параметры, входящие в (13.5), выбираются следующим образом: г„— г, А=У„В=У„, а= — Ь= " „', й=2 — т/и. (13.6) Положение точки 2~ соответствует задней кромке профиля, а Е„лежит в точке, равноотстоящей от носка профиля и центра кривизны. Преобразование сингулярно в этих двух точках. Значение параметра )с связано с задней кромкой, поскольку в соответствии с (13.6) в него входит угол т. При выборе параметров согласно (13.6) аэродинамический профиль в плоскости 2 отображается в близкий к круговому профиль в плоскости 2' (рис.
13.13), центр которого расположен вблизи точки С. Легко видеть, что угол т разворачивается до 180' в плоскости Г. Гл. 13 Построение сеток 106 Преобразование (13.5) удобно представить в виде следующей последовательности: Я вЂ” А 3 — В ' о>1 ы (13.7а) (13.7Ь) (13.7с) а — рр 2 =— ! — о Выражения (13.7а) и (13.7с) включают в себя только линейные преобразования. Однако в выражении (13.7Ь) имеется не- Плоскость Г 7.„ Зал кро а На апо коорринат а плос ыти ж' Начало коориина 'л плосксст» ж Ппыкос ижкл" Рис. 13.13. Последовательность отображений аэродинамического профиля. которое усложнение, поскольку для каждого значения оэ существуют много значений в. Если профиль имеет заостренную заднюю кромку, т = О, то для каждого значения от существуют два значения о.
В более общем случае, когда т не равно нулю, каждому значению от соответствуют бесконечно много значений о. Способы правильных с вычислительной точки зрения выборов о рассмотрены Ивесом 11ттез, 19821. Грубо говоря, преобразование проводится так, что в рассматриваемую точку отображается «безопасная» точка, лежащая, например, в бесконечности вверх по потоку в физической плоскости 2. Близкий к круговому профиль в плоскости 2' легко преобразуется в такой же профиль с центром в начале координат в пло- $ !3.2.
Построение сетон на основе решения уравнений 107 скости х Уи аТг (13.8) Точка С лежит примерно в центре тяжести профиля, близкого к круговому в плоскости Г. Последнее преобразование включено для улучшения сходимости преобразования Теодорсена— Гаррика [ТЬеос(огзеп, Оагг!с!с, 1933], которое сводит профиль, близкий к круговому в плоскости 2", к единичной окружности в плоскости ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
