Fletcher-2-rus (1185919), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Предполагается, что функции растяжения зло(Ч") и звс(Ч'), контролирующие распределение точек на входной и выходной границах, уже определены. Нормализованный параметр Ч' = = (Ч вЂ” Ч1)/(Ча — Ч~) Лля зло(Ч ) и звс(т1") могут быть использованы формулы, аналогичные (13.44). $ !3.3. Построение сеток алгебраическими отображениями !25 Для получения значений 8 между поверхностями АР и ВС рекомендуется использовать простую линейную интерполяцию 8 = зло + еь (Ввс зво) (13.47) где в = ($ — $!)/($2 — $!) Аналогично распределение точек сетки вдоль границ АВ и СР определяется одномерными функциями растяжения ГАВ(с") и «ос($ ), Если под ГАв и Гос подразумеваются нормализованные координаты, измеряемые вдоль поверхности, величины хав(гдв) н Уав(гав) непосРедственно следУют из них; аналогично длЯ хос н Уос.
Применение метода алгебраического отображения состоит в проведении интерполяции между двумя границами АВ и РС. При проведении такой интерполяции полностью определяется сетка во внутренней области. Простейшая интерполяция может быть проведена по формулам «($, Ч) =(1 — 8) ХАв(ГАв) + 8«оз(гос) У(ь Ч) =(1 8)УАв('Ав)+ зуос(Гос)~ (13.48) где 8 определяется выражением (13.47). За счет функций растя- жениЯ зао, звс, Гав, Гос достигаетсЯ сУщественный контРоль сгУ- шения точек сетки внутри области.
Трудность использования интерполяции (13.48) состоит в том, что сетка может получиться сильно деформированной вблизи поверхности, если соответствующие граничные точки (хав. Уав) и (хос, уос) лежат на негладкой кривой. При использовании вместо (13.48) формул Г "увв Х(ь, 21) 121(8) ХАВ(ГАВ) +122(8)хос(гос) + Т!122(8) ~ — (ГАВ ) )+ 4~ГАВ +Т Рч(8) ( — (Г с)), (13.49) АВ у(З Ч) =И!(8)увв(твв)+ 142(8)уос('ос) — Т4122(8) ~ ('Ав)) 42ГАВ «ос Т2М (8) ( (Гос )) ос где 12! (8) =282 — 384+ 1, ра(8) = — 282+ 382, 1аа(8) 8 28 + 8~ 144(8) =8 получается сетка, локально ортогональная границам АВ и РС (рис. 13.20). Параметры Т4 и Т, используются для контроля за тем, насколько далеко внутрь области проводится ортогональность.
126 Гл. 13. Построение сеток Выбор слишком больший значений Та и Тт может привести к неоднозначности отображения внутренних точек ]Зш)1)т, 1982]. Типичные сетки, построенные рассмотренным методом, приведены на рис. 13.21 и 13.22. На рис. 13.21 показано, как функции 1, т о А о. о Рис. 13.21. Влияние граничных контрольных функций гаа и гас. гла(5) и гос($) влияют на распределение точек в направлении 5 Концентрация точек соответствует малому наклону; более грубая сетка получается в областях ббльших наклонов гла($) и т, т о л о, о Рис.
13.22. Влияние контрольной функции а(пь). гас(й). На рис. 13.22 представлена сетка с более равномерным распределением точек в направлении й, но с концентрацией линий сетки вблизи т1' = О, что обусловливается законом изменения з(т1"). Включение в метод алгебраического отображения с двумя границами интерполяции между двумя поверхностями с целью построения трехмерной сетки описано Смитом ]3п111(т, 1982].
$13.3. Построение сеток алгебраическими отображениями 127 73,3,3. Метод многих поверхностей Дополнительный контроль распределения внутренних точек сетки может быть получен путем введения между поверхностями АВ и СР на рис. 13.20 промежуточных поверхностей, на которых определены зависимости хя(г1) и у;(гс).
Если соединить соответствующие точки (точки с одинаковыми значениями г,) соседних поверхностей, то тем самым будет опре- (Г,асчч 31,1(г,а1+1) г,а1 о 1(йз1) Рис. 13.23. Промежуточные поверхности Е~ и касательные векторы Ча делена последовательность направлений. В методе многих поверхностей Зйземана (Е(зешап, 1979] интерполируется именно данная последовательность направлений, что приводит к двум явным преимуществам. Во-первых, устанавливая соответствие между точками сетки граничной поверхности, например АВ, и ближайшей промежуточной поверхности, можно добиться локальной ортогональности сетки на границе. Во-вторых, распределение сетки в направлении з получается в результате интегрирования интерполяции последовательности направлений.
Это обеспечивает очень гладкое распределение точек в направлении з. К тому же не требуется, чтобы сетка интерполировала промежуточные поверхности. Вообще говоря, число промежуточных поверхностей не ограничивается. На практике хороший контроль распределения внутренних точек может быть получен при помощи двух промежуточных поверхностей.
В двумерном случае распределение точек на 1-й поверхности представляется в виде одной векторной функции Х;(г) с компонентами х;(г) и у;(г). Последовательность поверхностей изображена на рис. 13.23. В общем случае рассматривается У вЂ” 2 промежуточных поверхностей. Параметр г определяет положение всех точек поверхности. Однако различные выборы Х;(г) позволяют для каждого Гл. 13. Построение сеток 128 конкретного значения г определить относительную ориентацию точек (хь йч) иа каждой поверхности.
Предполагается, что точки (койч) на различных поверхностях, соответствующие значению г = гь соединяются отрезками прямых (рис. 13.23). Касательные к отрезкам прямых, соединяющих поверхности, определяют семейство векторных функций Ч;(г) при 1=1, ... ..., Ч вЂ” 1. Касательные вектор-функции Ч; могут быть связаны с поверхностными вектор-функциями Х; соотношениями Ч,(г)=А,(Е,~,(г) — Е,(гЯ, 1=1, ..., 1Ч вЂ” 1.
(13.51) Параметры А; будут определены ниже так, чтобы окончательные интерполяцнонные формулы для сетки соответствовали интервалу 0 < з < 1. Интерполяция полудискретного семейства касательных вектор-фучкций Ч;(г) определяет касательную вектор-функцию Ч(г, з), непрерывную по г и з. Таким образом, М-~ Ч(,г, з) = ~ тР1 (з) Ч~ (г), т-! (13. 52) где тр;(з) — интерполяционные функции, которые следует определить так, чтобы тр;(зе) = 1, если 1= й, и ~;(зе) = О, если 1чь л. Однако из способа построения Ч;(г) следует, что У-! о (г, з)=)г(г, з) = ~ тР;( )Ч,(г), с-~ (1 3.53) где Х(г, з) — непрерывная функция, позволяющая по заданным значениям г и з (и, следовательно, ~ и т1) построить сетку в физической области; Е(г, з) получается в результате интегрирования (13.53) на интервале 0 < з < 1.
На рис. 13.20 этот интервал соответствует интервалу тн <т1 < т1е. Таким образом, с учетом (13.51) можно получить У вЂ” ! Х (г, г) = Х, (г) + ~ А,О, (з) (Х,+, (г) — Е, (г)), (13.54) где тг; (з) = ~ фг(з') т(з'. о (13.55) ~-! Параметры А; следует выбрать так, чтобы А;6;(1)= 1. Тогда из (13.54) следует У(г, з) = Хн(г) при з = 1, как и должно быть. Следовательно, (13.54) можно представить в виде Л вЂ” ! Х(г, з) = Х, (г) + ) — ' [Х~+~ (г) — Е1 (г)). (13.56) $ 13.3. Построение сетон алгебраическими отображениями 129 Данное выражение в общем виде представляет метод многих поверхностей. Интерполяционные функции тр,(з) должны быть непрерывно дифференцируемы до порядка на единицу меньше, чем требуемый порядок гладкости (непрерывности производных) сетки. Данные функции могут быть представлены, например, выражениями М вЂ” ! ф()=П(- ) 1=1 хчеа (13.57) В простейшем случае при Х = 2 (13.56) принимает вид Х(г, 3) = Х, (г)+ з [Е,(г) — Х,(г)).
(13.58) Типичная сетка, построенная при помощи этого отображения, приведена на рис. 13.24(Ь). Длины осей эллипса на рис. 13.24 равны 1.00 и 0.25. Стороны внешнего прямоугольника со скругленными углами равны 8 в направлении х и 4.8 в направлении у. Очевидно, что при У=2 внутренние точки сетки лежат в направлении з(т1) на прямых лучах. При М = 3 промежуточная поверхность (поверхность 2) расположена на расстоянии Лз =0.1 от поверхности эллипса (поверхность 1).
Точки на поверхности 2 расположены так, что линия, соединяющая точки, соответствующие на поверхностях 1 и 2 одинаковым значениям г, перпендикулярна поверхности эллипса. В результате получается сетка, локально ортогональная поверхности эллипса. Использование Лг поверхностей (считая граничные поверхности) дает Лг степеней свободы. Две из этих степеней свободы используются для требуемого в направлении т! отображения граничных поверхностей, определенных функциями Х~(г) и Хн(г). Остальные степени свободы могут быть использованы для контроля поведения внутренних точек сетки. Например, при М = 4 (две внутренние поверхности) можно построить сетку, ортогональную обеим граничным поверхностям при Ч = т11 и т! = т1а. На рис.
13.24(с) поверхность 3 расположена на расстоянии Лз = 0.1 внутрь от внешнего прямоугольника (поверхность 4). Точки иа поверхности 3 выбраны так, чтобы 9 К. Флетчер, т. Е В данном случае нет промежуточных поверхностей и отображение (13.58) эквивалентно линейной формуле (13.48) метода двух границ. Типичная сетка при М = 2 приведена на рис. 13.24(а). При Лг = 3 вводится одна промежуточная поверхность и (13.56) с использованием (13.57) представляется в виде Х(г, з)=(1 — з)еХ,(г)+2з(1 — з)Хт(г)+зт2а(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
