Fletcher-2-rus (1185919), страница 19
Текст из файла (страница 19)
13.2.6. Если ортогональная сетка требуется лишь вблизи некоторой границы (например, АВС на рис. 13.16), возможно построение локальной ортогональной сетки путем введения — помимо условия ортогональности д„= 0 — некоторого метрически связанного параметра, например 7. Это приводит к гиперболической системе уравнений, в результате решения которой маршевым методом от рассматриваемой границы может быть построена сетка. Такой метод описан Стегером и Соренсоном [Ыепег, Богепзоп, 1980[.
В данном разделе более детально будет рассмотрен метод ортогональных траекторий. Сначала необходимо определить семейство кривых, изображенных на рис. 13.16. Положение точек вдоль конкретной кривой (т = те) семейства может быть определено простым преобразованием сдвига. Например, х = (1 — р') ЕА" (те) + р' СР" (те), у = (1 — р') ЕАн (те) + р' СР" (те), р = (р — р~)/(рзмлх — р~). Заранее заданные функции ЕА" (т) и т. д. определяют распределение точек на ЕА и СР (рнс.
13.16) и сгущение линий сетки вблизи АВС. Если требуется, чтобы линии т = т, были ортогональны ЕА и СР, то для р' вместо (13.27) можно использовать кубические формулы, эквивалентные (13А9) [Е)зешап, 1982а[. Распределение точек на АВС (р = р!) задается. Для определения ортогональной сетки Я,т!) требуется построить траектории, начинающиеся из точек р = рь оканчивающиеся на границе ЕР и пересекающие все промежуточные координатные линии (т = те) под прямым углом. Очевидно, что при этом определяется положение не только внутренних точек, но и точек, лежащих на ЕР.
Построение ортогональной сетки (5, т!) завершается тем, что полагается т!е = ть При этом линии $ = 5! (константа),ортогональны линиям П = Пь Удобнее уравнение, определяющее траекторию линии 5 = ~ь может быть получено следующим образом. При заданных х = х(р,т) и у = у(р,т) наклон линии т = = т, может быть записан в виде Ф„ = '".~!." (13.28) Поскольку и = т, линия, ортогональная линии т = те, явчяется линией постоянного значения 5. Следовательно, наклон $13.2. Построение сеток на основе решения уравнений 1!5 (13.30) где й„и дп — компоненты метрического тензора, связанного с отображением физической плоскости (х,у) на неортогональную плоскость (р, т).
Очевидно, правую часть (13.31) можно вычислить, поскольку определена сетка (р,т) (рис. 13.16). Начальные значения для (13.31) задаются при р = р; на АВС. Обычно уравнение (13.31) интегрируется численно. При пересечении с каждой линией с = та физические координаты (х, у) получаются из уравнений, определяющих сетку (р, т), т. е. из (13.27). Уравнение (13.32) является характеристическим уравнением ($2.2) гиперболического уравнения дй уаа дее — — — — = О. дт щ~ др Следовательно, метод ортогональных траекторий по существу является методом характеристик. Более подробно метод рассмотрен Эйземаном !Е(зеп1ап, 1982). Как правило, применение строго ортогональных сеток ограничено двумерным случаем, поскольку при этом еще сохраняется достаточный контроль положения точек сетки на границе !Е(зегпап, 1982).
В трехмерном случае построение полностью ортогональной сетки невозможно. Однако могут быть построены сетки, ортогональные некоторым поверхностям, и трехмерные сетки из множества двумерных ортогональных (13. 33) линии постоянного значения (5 = $/), согласно (13.28), может быть записан в виде с(у ! дх/др дх ~1=11 ду/др ' (13. 29) С другой стороны, учитывая зависимости $= й()с,т) и т) =с, можно получить ,(у ( [(ду/др) (др/Ит)й„й + ду/дт[ с(х !1=1 [(дх/др) (др/Ит)1 1 + дх/дт) ' После приравнивания (13.29) и (13.30) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение, определяющее траекторию линии $ = $1 в плоскости ()а, с). Оно имеет вид / Сравнение этого уравнения с (12.12) показывает, что (13.31) может быть записано в общем виде (!3.32) дт 11-!/ уо 116 Гл.
13. Построение сеток сеток. Распределение точек сетки в направлении третьей пере- менной в этом случае может быть не слишком гладким 1ТЬощр- эоп, 1984]. 18.2.б. Сетки, близкие к ортогональньгм Строго ортогональные сетки позволяют избавиться от определенных членов в уравнениях движения (п. !2.1.3). Вместе с тем сетки, близкие к ортогональным, строить значительно (Р).из) " на Рис. 13.!7. Построение приближенно ортогональной сетки.
правления: — = 0.5( — — ~ — — „„~ ) (13.34) проще. Их применение позволяет избавиться от ошибок, связанных с деформацией сетки. Ниже описывается метод построения сетки, близкой к ортогональной. Предполагается, что семейство линий, изображенных на рис. 13.16, построено. Как и в п. 13.2.4, процедура начинается с определения точки 1ь = 1л1 на АВС. Данная процедура является схемой предиктор — корректор, позволяющей получить точку на линии т = тж приблизительно ортогональной линии, на которой лежит точка (1гь и,) (рис. 13.17). Проводится нормаль к линии т = т1 до пересечения с линией т = та.
В точке пересечения вычисляется нормаль — г1х1с(у(„„, и точка пересечения сдвигается до тех пор, пока эта нормаль не пройдет через начальную точку (1ьг,т~). Конечная точка (1гьта) на линии т„ «ортогонально соответствующая» точке (111, т~), берется посредине между двумя точками пересечения. Это эквивалентно использованию следующего характеристичесного на- э 13.2. Построение сеток на основе решения уравнений 11T После определения всех точек на линии и = те процесс повторяется для определения точек приближенно ортогональной сетки на линии ч = та. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута внешняя граница, т. е.
ЕО на рис. 13.16. Типичная программа расчета пересечения с линией и = от оформлена в виде подпрограммы ЯЗЙСН (см. рис. 13.29). Описанный метод построения сетки был предложен в работе [МсХа11у, 1972[. 18.2.б. Решение эллиптических уравнений в частных производных В данном разделе будут рассмотрены более общие способы. построения координат, не обязательно приводящие к ортогональным или конформным сеткам.
Однако эти способы позволяют лучше контролировать сгущение сетки во внутренних точках области. Как отмечено в начале гл. 13, задача построения внутренних точек сетки может быть поставлена как граничная задача„ причем постановка в расчетной области (й, Ч) предпочтительней. Поскольку нужно решать эллиптические уравнения в частных производных, в качестве граничных условий необходимо задавать либо положение точек, либо наклон координатных линий на границе.
Наиболее общим уравнением в частных производных, используемым для построения сеток, является уравнение Пуассона, записанное в виде системы где Р и Я вЂ” известные функции, используемые для контроля сгущения внутренних точек сетки. Использование эллиптических уравнений в частных производных для построения внутренних точек сетки имеет ряд преимуществ. Прежде всего в этом случае сетка изменяется гладко, даже если граница области имеет излом.
Если бы для построения внутренних точек сетки использовались гиперболические уравнения в частных производных, все изломы границы проявлялись бы и во внутренних точках. Эллиптические уравнения, подобные (13.35), при различных ограничениях на Р и Я удовлетворяют принципу максимума, т. е. максимальное и минимальное значения й и т1 достигаются на границе. Томпсон [ТЬотрэоп, 1982] отмечает, что это обычно гарантирует однозначность отображения. Однако при некото- пв Гл. 13. Построение сеток рых экстремальных выборах Р и Я возможно локальное само- пересечение сетки. Решение системы (13.35) ищется в расчетной области Д, «1).
В этой области (13.35) преобразуется к виду Здесь а = дт«, 5 = д «, у = «тп и 6 = д, где д — определитель метрического тензора (12.12). Для определения граничных условий, замыкающих систему (13.36), полезно рассмотреть частный пример, приведенный на рис. 13.18. На контуре АВС(А'В'С) т1 = т11 н х = хлнс($), р = = улнс(ь) при ь1 ( $ ( $«, где функциональные зависимости хл«с(в) и денс(в) известны и определяют распределение точек сетки на АВС. Аналогично на контуре ВР1(Р'РГ) т1 = т1«и х хою (ь) у цОР! При и1 ~ (ь ( ь«где хаю (и) и ною(ь) определяют распределение точек на Вгт'.
Задача распределения точек сетки по границе облегчается использованием одномерных функций растяжения, описанных в п. 13.3.1. Следует отметить, что граничные условия не определяются на АЧ' и С'Р', поскольку в физической плоскости соответствующие линии являются внутренними (и совпадают). Уравнение (13.36а), дискретизованное при помощи центральных разностей, принимает вид а'(х~ 1 « — 2х~ «+ х1+~ «) — 0.55'(х~+, «+~ — х~ ~ «+,— — х1+, «, + х«, «,)+ у'(х1 «, — 2х1 «+ х~ «+,) + +0.56 Р(х +~ « — х~ 1 «)+0.56 Я(х~ «+1 — х~ « ~)=0, (13.37) где а' = 0.25 [(х~ «+, — х1 «,)«+ (у~ «е, — у~ «1)«], ])'=0.25[(х~+, « — х,, «)(х1 «е, — хь «,)+ + (у~е~ « — у~ 1 «)(у «+~ — у~ «1)], (13.38) у'= 0.25 [(х~+, « — х1, «)'+(у;е, « — у~, «)'], 6'=[(х~+, « — хт, «)(ут «и, — ут «,)— — (х1 «+, — х««,) (у~„ь « — у1, «)]«/16.
Уравнение (13.36Ь) приводится к дискретному виду аналогичным образом. При записи (13.37) н (13.38) предполагалось, что Лс = Л«1 = 1. Такой выбор не влияет на сетку в физической области. $ 13.2. Построение сеток на основе решения уравнений 119' Появление разреза (А1/С0) на рнс. 13.18 приводит при программировании к некоторым сложностям в точках, лежащих Рис. 1838.
Типичное отображение при построении сетки на основе решения эллиптических уравнений в частных производных. на А'1' (1= 1) или С'0' (1=3 МАХ). Например, дтх/д$а на А'7' аппроксимируется следующим образом: дхх л а =хгмкх — и а 2хк-а+ ха, а. Кроме того, решения при 1'= 1 и 3 МАХ идентичны. Следовательно, итерации при 1' = 1 и 5 МАХ должны производиться одновременно. Уравнения (13.37) являются нелинейной алгебраической системой, для решения которой применимы итерационные мегоды, описанные в $6.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
