Fletcher-2-rus (1185919), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Томпсон и др. [ТЬогпрзоп е1 а1., 1977Ь1 !20 Гл. !3. Построение сеток применяли для решения метод последовательной верхней релаксации и получили, что параметр ускорения Х может быть больше единицы, если (а')е ) (0.55'Р)т и (у') ) (0.56'Я) Это не удивительно, поскольку оптимальный выбор !с и число итераций, необходимых для достижения сходимости, зависят от выбора Р и Я. В работе [Тпошрзоп е! а!., 1977а] рекомендуется следующий выбор параметров Р и Я: .Р(В, т!) = — ~ аез(цп(з — $с)ехр( — с~ [$ — Вс !)— С=1 — ~ Ь„з!дп(5 — $ )ехр[ — Н [$ — $„)т+(Ч вЂ” Ч )е[ит[, (13.39) Ч',!(К, П) = — ~. ас з(цп(П вЂ” т1~) ехр( — сс [т! — Чр !)— 8-1 м — ~: Ь„з!йп(П вЂ” П )ехр[ — Н [($ — $ )е+(Ч вЂ” Ч ) [пе[, (1 3.40) где коэффициенты аь Ь, сс и с! выбираются так, чтобы обеспечить требуемое сгущение сетки.
Функция и!пп определяется следующим образом: =1, если х больше нуля, з!оп(х) =О, если х= О, = — 1, если х меньше нуля. Первый член в (13.39) приводит к смещению линий $ = = сопи! к линии $ = ~ь а первый член в (13.40) приводит к смещению линий т! = сопи! к линии т! = т!о Таким образом, если выбрать тп = ти (рис. 13.18), а а~ достаточно большим, то линии будут сгущаться у поверхности АВС. Вторые члены в (13.39) и (13.40) приводят к сгущению линий сетки = сопя! и т! = сопи! к точке ($„, т1,,). Для тонких тел вторые члены могут быть использованы для концентрации точек вблизи передней и задней кромок, точки В и А(С) на рис.
13.18. Использование больших значений Р и Я для увеличения сгущения приводит к снижению скорости схадимости и ограничивает выбор качальных значений (х, у), от которых может быть достигнута сходимость. Следовательно, рекомендуется по.лучать сначала решение при малом сгущении сетки или когда его вообще нет, поскольку в этом случае радиус сходимости больше, Сходящееся решение используется в качестве исход- э 13.2. Построение сеток на основе решения уравнений 121 ного для Р и Я, соответствующих возрастающему сгу/цению. Эта процедура продолжается до тех пор, пока не будет достигнуто требуемое сгущение сетки.
В работах Томпсона и др. [ТЬотрзоп е1. а1., 1977а,Ь] приведено много примеров применения описанной выше методики. В работе [ТЬотрзоп е1. а1., 1977Ь] приведена распечатка программы ТОМСАТ. Расширение данного метода на случай трех переменных, а также обобщения системы (13.35) с целью достижения лучшего контроля сгущения приведены в работе Томпсона [ТЬотрзоп, 1982].
Более поздние результаты можно найт~ в работах [ТЬотрзоп, 1984; ТЬотпрзоп е1. а!., 1985]. Методику Томпсона можно модифицировать и получить согласно этой методике по заданным точкам на границе ортогональной сетки с некоторым контролем распределения внутренних точек. Это достигается путем введения цт йтя — = — =16, ч), / 1/2 вп где /Я, т)) следует определить. Если положить Р= —— 1 д/ ! д х1х (13.41) й~йе д$ ' й~йе дп систему (13.36) можно записать в виде (13.42) Уравнения (13.42) являются уравнениями для построения ортогональной сетки.
Функция /(й,т!) может быть определена иа границе. Внутри области значения ]($, т1), как правило [йузЫп, Ееа!, 1983], получаются путем трансфинитной интерполяции (п. 13.3.4) граничных величин. На практике сначала строится неортогональная сетка с определенными на границе х(й,т1) и у($,т1). Для аппроксимации ]($,т!) на границе используется определение / = = (дат/дп)[/я и соотношение (12.12). В результате трансфинитной интерполяции получаются внутренние значения /(й, т1). Для конечно-разностного представления уравнений (13.42) аналогично (13.37) проводится несколько итераций.
Модифицированные значения х($,т1), у(й,т1) позволяют определить новые значения /Я,т1) на границе. После этого весь процесс повторяется до тех пор, пока сетка ие перестает изменяться. Рискин и Лил представили типичные сетки, для построения которых потребовалось 50 †1 итераций. Контроль распределения Гл. 13. Построение сеток 122 внутренних точек осуществлялся в основном за счет располозкения точек на границе; трансфинитная интерполяция позво.ляет получить некоторое дополнительное сгущение. В 13.3.
Построение сеток алгебраическими отображениями Алгебраические отображения для построения внутренних точек сетки осуществляют интерпроляцию граничных данных. Явная интерполяция может быть осуществлена в одномерном (п. 13.3.2 и 13.3.3) и многомерном (п. 13.3А) случаях. Основное требование состоит в том, чтобы построенная сетка удовлетворяла некоторым необходимым условиям: она должна плавно изменяться, быть близка к ортогональной и локальные отношения сторон должны быть близки к единице.
В задачах динамики жидкости решения часто быстро изменяются вблизи некоторых поверхностей. Очень важно построить сетку так, чтобы она была ортогональной или близкой к ортогональной вблизи таких поверхностей. Все три метода, описанные в данном разделе, удовлетворяют этим условиям. Распределение точек сетки внутри области осуществляется в основном за счет функций растяжения на границах. Поэтому в случаях двух границ (п. 13.3.2) и большего числа поверхностей (п. 13.3.3) данными методами при помощи всего лишь явной одномерной интерполяции могут быть построены плавно изменяющиеся близкие к ортогональным сетки (см.
рис. 13.30). Распределение точек вдоль границы области эффективно осуществляется нормализованными одномерными функциями растяжения, определенными на отрезках границы, обычно на каждой стороне расчетного прямоугольника в плоскости ($,е1). Подходящие одномерные функции растяжения приведены в п. 13.3.1. Граничные функции растяжения применимы для построения внутренних точек сетки как путем решения уравнений в частных производных ($ 13.2), так и при использовании ал.гебраических отображений (настоящий параграф).
13.3.1. Одномерные функции растяжения Одномерные функции растяжения широко используютсядля распределения точек вдоль отдельных границ с целью точного разрешения отдельных участков области. При вязком обтекании изолированного симметричного тела (рис. 13.16) имеет смысл ввести одномерное растяжение на АЕ и СР, чтобы точки сетки сгущались вблизи АВС для разрешения больших градиентов, появления которых можно ожидать в этой области. $13.3. Построеиие сеток алгебраическими отобрамеииими 123 При построении внутренних точек сетки для сравнительно простых геометрий возможно совместное использование одномерных граничных функций растяжения с простым преобразованием сдвига, см., например, (13.27).
Желательно выразить зависимые и независимые переменные в функции растяжения в нормализованном виде. Для одномерной, функции растяжения, применяемой к ЕА на рис. 13.16„ соответствующей нормализованной независимой переменной будет величина Ч (Ч ЧА)/(Че ЧА) (13.43) т.
е. О(Ч <1 при ЧА(Ч(Ча. Эффективная функция растяжения, предложенная Робертсом [ЙоЬег!3, 1971] и модифицированная Эйземаном [Е!зетап, 1979], имеет вид з=РЧ'+ П вЂ” Р) [,1 — '" ~~,1„',, " '! ), (13.44) где Р и Я вЂ” параметры, обеспечивающие контроль распределения точек сетки; Р фактически определяет наклон распределения (з ж РЧ') вблизи Ч" = О. Величина Я, названная Эйземаном демлфирующим фактором, определяет отклонение от линейной зависимости з от Ч'.
Малые величины Я вызывают малое отклонение от линейной зависимости. Впрочем, если Р близко к единице, отклонение от линейной зависимости мало и существенно лишь при значениях Ч', близких к единице. После того как величина з получена, она используется для определения распределения х и у.
Например, если положить = ! (3) д (з), (13 45) РА Ре то можно непосредственно получить х(з) и у(з). Наиболее простой выбор ) (з) = д(з) = з, который, согласно (13.45), дает х = хл+ з(ха — хл), р = рл+ з(ци — ул). (13.46) Типичное распределение точек на отрезке ЕА (рис. 13.16), полученное из (13.46) при различных значениях Р и Я, представлено на рис. 13.19. При Р ) 1 можно получить сгущение точек вблизи точки Е. Такое сгущение лучше контролируется, если в (13.43) положить Ч* = (Ч вЂ” Чи)/(ЧА — Чи), а в (13.45) 1(з) = = д(з)=1 — з.
Другая двухпараметрическая функция растяжения предложена Винокуром [У!по)сцг, !983]. Два параметра — это наклоны с(з/с(Ч' на каждом конце интервала Ч' = 0 и Ч' = 1.0. Достоинство такого подхода состоит в том, что рассматривае- Гл. 13. Построение сеток 124 мая граница может быть разбита на несколько интервалов, на каждом интервале можно построить функцию растяжения так, что на границах интервалов величины з и Из/с(Ч' будут непрерывны. Однако функция растяжения Винокура не может быть р =1.8, а 2.00 Е р=о.й,а = г.оо Е р=0.1 а =2.00 Е ( в=1 А 1 3=0 Рис. 13.19.
Распределение точек в соответствии с (13.44). сведена к одному уравнению, подобному (13.44). Это несколько усложняет их программную реализацию. И.3.2. Применение методов в случае двух границ Применение метода будет продемонстрировано на примере построения сетки в двумерном искривленном канале (рис. 13.20). "1 а Рис. !3.20. Двумерный искривленный канал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
