Fletcher-2-rus (1185919), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(13.59) (с) Рис. 13.24. Типичные сетки, построенные по методу многих поверхностей; (а) Лг = 2; (Ь) У = 3; (с) У = 4. $13.3. Построение сеток алгебраическами отображениями 131 генерируемая сетка была локально ортогональна поверхности прямоугольника. Более подробно случай Ж = 4 обсуждается в и. 13.4.1.
Необходимо подчеркнуть, что внутренние поверхности вводятся лишь для контроля распределения внутренних точек и формы координатных линий; данные поверхности не совпадают с построенной сеткой. Введение внутренних поверхностей приводит к появлению нового уровня контроля, являющегося дополнительным по отношению к контролю, получаемому из распределения при помощи функций гл,Я) и гвс($) точек в направлении $ на граничных поверхностях (и. 13.3.1), как на рис. 13.21 и 13.22. Возможность распределения точек в направлении з, как это делается при помощи (13.47), также имеется в методе многих поверхностей. Эйземан [ЕЬегпап, 1982а, Ь] расширил метод многих поверхностей, сделав более эффективным его применение в трехмерном случае.
В трехмерном случае лучший контроль распределения внутренних точек может быть достигнут, если интерполяционные функции ~р, в (13.57) рассматриваются не глобально, а локально. Эйземан [ЕЬегпап, 1982а] приводит примеры, в которых вдали от т1 = тп преобразование внутренних точек может быть сделано локально декартовым (в физической области), вместе с тем сохраняется свойство локальной ортогональности сетки поверхностям АВ и СВ. В трехмерном случае граничные поверхности, например 71 и Уя, будут зависеть от двух параметров г и 1 и необязательно будут плоскостями. Поверхность Хь например, может совпадать с поверхностью автомобиля. Это приводит к тому, что система координат должна по крайней мере принадлежать Са, т.
е. должны существовать непрерывные производные вплоть до второго порядка. Следовательно, интерполяционные функции фс в (13.57) должны быть функциями из С'. Примеры использования таких локальных функций в методе многих поверхностей можно найти в работе [ЕЬегпап, 1982Ь]. !З.З.4. Трансфинитная интерполяция Как в методе двух, так и в методе многих поверхностей проводится интерполяция лишь по одному направлению (з или а1). При этом предполагается, что по другому направлению (г или $) имеется непрерывное отображение граничных поверхностей Ч=т1 и т1=Ч.
При помощи трансфинитной интерполяции [богбоп, На!1, 1973] можно, однако, определить непрерывные отображения Хлв($, т1~) на АВ, Хвс(5, т1г) на 1)С и, кроме того, Хлр($ь т1) на 132 Гл. 13. Построение сеток АВ и Хвс($т, т1) на ВС (рис. 13.20). Внутри области вводится интерполяция как по $, так и по гь или, что эквивалентно, по г и поз.
Как в методе двух, так и в методе многих поверхностей в качестве промежуточного шага с целью получения преобразования Х(с,т1) для построения сетки в физической области вводятся параметрические координаты (г, в). Предполагается, что г и з — нормализованные координаты, т. е. 0 (~ г (~ 1 при В, (Ь ~ (Вт, 0 ~ (в ~( 1 при Ч, ~ (т! ~( т1,. (13.60) Вводятся следуюшие интерполяционные функции: ф1(г)=бди /=О, 1; фв(з)=Ь„, й=О, 1. (13.61) Здесь Ьг„— — 1, если /=г; Ьв,=1, если й=в; Ьт,—— О, если (Фг; Ье,=О, если ЬФв.
Таким образом, ф,=1, ф, =0 на АВл ф,=О, ф, =1 на ВС; тРо — — 1, ф, =0 на АВ; тРр — — О, т[т1 =1 на СВ. Интерполяция в направлении г определяется выражением Х,(г, з)=фе(г)Хлп(0, в)+ф,(г)Хвс(1, в), (13.62) где Хло, Хвс — непрерывные отображения между двумя плоскостями (к, т1) и (х, у) на двух границах $ = ~, и $ = $т, Х,(г, з)— непрерывное отображение, полученное в результате интерполяции между Хло и Хвс для промежуточных значений г.
Аналогично Х, (г, в) = тР~ (в) Хлв (», 0) + тР, (в) Хоп (г, 1). (13.63) Х, и Х,— отображения, эквивалентные использованным ранее в методе двух поверхностей и в простейшем случае (!Ч=2) метода многих поверхностей. Для получения двумерной интерполяции вводится произведение интерполяций Х„(г, в)=Х, Х,. (13.64) Произведение интерполяций согласуется с граничными функциями Хлв и др. только в четырех углах (0,0), (О, 1), (1,0) и (1, 1). Подобный тип интерполяции использовался в двумерном варианте метода конечных элементов (п. 5.3.3).
Чтобы получить функцию отображения, справедливую на всех границах двумерной области, необходимо ввести в рассмотрение интерполяционные булевы суммы Х(г, в)=Х,(г, в)+Х,(г, в) — Х„(г, и). (13.65) Данная конструкция является центральной в трансфинитной интерполяции [Стогдоп, На!1, 1973[. й 13.3. Построение сеток алгебраическими отображениями 133 На практике формула (13.65) осуществляется в два этапа. На первом этапе ! л.,(г, 3)= ~, ф1(г) Ха(1, з), (13.66) 1=о где Ь означает соответствующую границу, А0 или ВС.
На втором этапе 1 Х(г, з)=Е,(г, з)+ ~„яра(з)[Х~(г, й) — Х,(г, й)]. (13.67) а-а Интерполяционные функции ф, и яра могут быть выбраны аналогично тому, как это было сделано в методах двух или многих поверхностей. Выбор 3 о(г) = 1 — г, Ф, (г) =г, яра(з) = 1 — з, ф(г) =3 (13.68) дает билинейную трансфинитную интерполяцию, которая подвержена тем же недостаткам, что и (!3.48). Хотя преобразования (13.67), (13.68) могут осуществить сгущение точек через граничные функции лла и т. д., они не обеспечивают ортогональность сетки вблизи граничных поверхностей. Развитие метода трансфинитной интерполяции можно осуществить путем, аналогичным развитию методов двух и многих поверхностей.
Для лучшего контроля внутренних точек сетки 1богдоп, ТЫе!, 1982] рассмотрена возможность введения промежуточных поверхностей. Для получения гладко изменяющихся близких к ортогональным сеток Эриксон 1Ег!!сззоп, 1982] ввел параметрические производные, например д"л./дз". Он предпочел вместо формального выполнения условий ортогональности, как это сделано в (13.49), определить производные до порядка л=3. Эриксон утверждает, что это позволяет, особенно в трехмерном случае, получить лучший контроль распределения точек сетки.
Метод трансфинитной интерполяции естественным образом обобщается на случай трех переменных. К алгоритму (13.66), (13.67) в этом случае добавляется третий этап 1 л,(г, 3, 1)=Хе(г, 3, !)+ ~сос(()(Х~(г, 3, () — Х~(г, 3, !)], (13.69) с-о где 2я(г, 3, г) эквивалентно Х(г, з) в (13.67), а со,(!) — интерполяционные функции, свойства которых эквивалентны ф;(г) и ф,(з). Рицци и Эриксон !К!гг1, Ег!кззоп, 1981] описывают применение трехмерной трансфинитной интерполяции при отображении комбинации крыло — фюзеляж; они получили данные лишь на граничных поверхностях.
Для лучшего контроля внутренних точек ими было определено отображение Х и направленные от 134 Гл. 13. Построение сеток поверхности производные д"2/д5" и т. д. на поверхности крыла при и = 1,3. Вдоль крыла использовалась простая линейная интерполяция, эквивалентная (13.68). По координате, направленной вокруг крыла и эквивалентной ~ на рис. 13.12, не использовалось никакой интерполяции.
Распределение сетки в этом направлении контролировалось граничными распределениями точек Применение трансфинитной интерполяции позволяет использовать по разным параметрическим направлениям и, л и 1 интерполяции различного порядка. $ 13.4. Численная реализация алгебраического отображения В этом параграфе часть из рассмотренных выше методов будет представлена в виде компьютерной программы, предназначенной для построения сетки между двумя ограничивающими кривыми. Для области, изображенной на рис. 13.25, ограничивающими поверхностями являются продолженная вниз по потоку поверхность тонкого осесимметричного тела АВС и удаленная граница ЕЕР.
Между этими двумя границами необходимо построить Е В Н=1 Н=КМДХ Рис. 1325. Расчетная область при алгебраическом отображении. половину С-сетки (рис. 13.12). В силу симметрии полная С-сетка может быть получена в результате отражения относительно оси х. Как отмечалось в начале гл. 13, процесс построения сетки разделяется на два этапа. Сначала определяется положение точек на всех границах. Для контроля распределения точек на границах используются одномерные функции растяжения (13.44). Далее путем применения метода многих поверхностей строятся внутренние точки сетки.
Вводятся две промежуточные поверхности Уя и Еа, по одной вблизи каждой из граничных поверхностей АВС и ЕЕР. Параметрическое (зависящее от и) со- $13Л. Численная реализация алгебраического отображения 133 ответствие между точками поверхностей Хз и Хз и точками соседних граничных поверхностей устанавливается так, что линии сетки пересекают граничные поверхности под прямым углом. Механизм выбора х(Г), у(Г) на поверхностях Хз и Хз требует расчета ортогональных проекций.
Для этого применяются рассмотренные в п. 13.2.5 методы, аналогичные методам, используемым при построении сеток, близких к ортогональным. где а, = 1.4779155, ая = — 0,624424, аз —— 1.?27016, аа = 1.384087, аз = — 0.489769, 1 — толщина аэродинамического профиля. Предполагается, что 0 < я < 1 на физической поверхности АВС и увеличению 1 соответствует увеличение $ на Лв. Чтобы связать физические координаты (х, у) поверхности АВС с расчетной координатой $, необходимо ввести меру поверхности Г. На поверхности АВ мера поверхности ГА определяется уравнением «А ГА — — ~ ~1+ (+) ~ г1х, о (! 3.71) где г(у/г(х определяется из (13.70). Численное интегрирование уравнения (13.71) осуществляется подпрограммой ЕО! 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
