Fletcher-2-rus (1185919), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Чтобы воспользоваться преобразованием Теодорсена — Гаррика, необходимо определить положение точек, лежащих в плоскости Я" на почти круговой поверхности. Вводя полярные координаты о"=г(0)ехр(!О),!пг обычно выражают как функцию 0 при помощи кубических сплайнов [!чез, 1976]. Аппроксимация кубическими сплайнами рассматривается в работах [АЬ!ЬегЮ е! а!..
1976; Рогзу!Ье е! а1., 1977]. Преобразование Теодорсена — Гаррика можно записать в виде (13.9) Коэффициенты А; и В; в (13.9) выбираются так, что 2У равномерно расположенных на единичной окружности точек в плоскости Ь отображаются в соответствующие точки плоскости Е". Особо эффективный прием, основанный на быстром преобразо. ванин Фурье [Соо!еу, Тп1сеу, 1965], описан Ивесом [1чез, 1976]. Область вне единичной окружности в плоскости ь (промежуточная расчетная область) отображается внутрь прямоугольника (1 < )с <)т „, 0 < р < 2п), если положить Ь=ге'е, Я=ехр(!пг), 8= р.
(13.10) Таким образом, последовательность преобразований (13.7)— (13.10) отображает область вне хорошо обтекаемого тела в плоскости (х, у) на внутренность прямоугольника в плоскости ()с, р). В принципе в плоскости (!с,р) может быть построена однородная сетка и после проведения обратных преобразований можно получить соответствующую сетку в физической области. Однако, как отмечает Ивес [1уез, !982], несмотря на то что вышеописанная последовательность преобразований весьма эффективна при установке соответствия между границами физической и расчетной областей, обратные преобразования таковыми не являются.
Поэтому в общем случае последовательных отображений Инес рекомендует построение внутренних точек сетки осуществлять путем решения при помощи быстрой программы Гл. 13. Построение сеток 108 решения эллиптических уравнений [Тегпрег1оп, 1979) системы х11 + х„„= О, у11+ у„„= О (13.11) с граничными условиями, определенными на стадии (1). Описанная процедура последовательных отображений может быть обобщена на случай нескольких изолированных тел, например аэродинамических профилей [1чез, 1976[. 13.2.8. Одношаговое конфорл1ное отображение В данном разделе будет описано предложенное Дэвисом [11ач)з, 1979] весьма эффективное с вычислительной точки зрения применение преобразования Шварца — Кристоффеля.
Данный способ может быть распространен на тела с искривленными Плеекес~ь и Рис. 13.14. Преобрааоваиве Шварца — Кристоффеля. границами. Обычно преобразование Шварца — Кристоффеля позволяет область, ограниченную в физической плоскости Л простым замкнутым многоугольником, отобразить на верхнюю полуплоскость преобразованной плоскости со. Граница многоугольника при этом совпадает в данной плоскости с вещественной осью. После введения разреза (рис. 13.14) область между многоугольником и бесконечностью в плоскости У можно рассматривать как ограниченную.
Следовательно, преобразование Шварца — Кристоффеля можно использовать для построения внешних $13.2. Построение сеток на основе решении уравнений !09 поскость л Рис. 13.15. Преобразование двумерного канала. Обычно преобразование Шварца — Кристоффеля записывается в виде [М1!пе-ТЬоп1зоп, 19681 й= Мп( — Ь1) '1/" 1 1 (! 3.12) сеток. В данном разделе, однако, будет описано применение пре- образования Шварца — Кристоффеля для расчета внутренних течений в плоском канале (рис. 13.15).
Гл. 13. Построение сеток 110 Здесь М вЂ” комплексная константа, связанная обычно с геометрией физической области; ат — углы поворота при переходе каждой угловой точки (отсчитываются против часовой стрелки); Ь1 — неизвестные положения точек границы на вещественной оси в преобразованной плоскости; три значения Ь1 могут быть выбраны произвольным образом. Тело в физической области не обязательно должно быть замкнутым.
Поэтому, например, область внутри произвольного канала (рис. 13.15) преобразованием (13.12) может быть отображена на вврхнюю полуплоскость так, что верхняя точка ли входной границы отображается в плоскости се в точку, расположенную вниз по потоку. Вообще говоря, в плоскости ет можно построить однородную сетку и использовать обратное преобразование для построения соответствующей сетки в физической области.
Однако при рассмотрении течения в канале удобно сделать второе преобразование, переводящее верхнюю полуплоскость плоскости с» в прямой канал, параллельный вещественной оси в плоскости 1, (рис. 13.15). Преобразование Шварца — Кристоффеля для отображения канала в плоскости Е на плоскость с» имеет вид П (си — Ь )- а1/л се ае/л Ие м 1ХП ~1-е (13.13) Ь = — (1/п)!псе + 1. (13. 14) Если предположить, что канал распространяется далеко вверх по потоку как прямой канал (что эквивалентно ет-а.ее), то уравнение (13.13) принимает вид (13.15) Проинтегрировав (13.15) и сделав преобразование (13.!4), по- лучим (13.16) Здесь а,— угол разворота /-го сегмента в плоскости 2; Ь,— полюсы в плоскости се, соответствующие угловым точкам в физической плоскости.
Эти величины неизвестны и определяются путем повторного интегрирования уравнения (13.!3). Величина М связана с высотой канала и его ориентацией относительно оси х и может быть определена в явном виде из уравнения (13.17). В уравнении (13.!3) оставлены лишь углы и полюсы, действительно имеющиеся в канале. Отображение плоскости се на плоскость ь определяется со- отношением $ 13.2. Построение сеток на основе решения уравнений 111 Применяя (13.16) к верхней и нижней поверхностям' канала, можно получить выражение для М: к,„— 21 = !Не" = — пМ!. (13.17) Значения Н и 0 определены на рис.
13.15. В принципе, если положение полюсов Ь; известно, для построения сетки уравнение (13.3) можно проинтегрировать численно. При этом, однако, вблизи точек Ь! можно ожидать некоторых затруднений из-за сингулярности уравнения (13.13) при со =Ьь В качестве пути интегрирования можно выбрать о!+ !е в плоскости о1, что эквивалентно прохождению внутри канала. Лучше, однако, использовать смешанную маршевую схему второго порядка, в которой используется аналитическое интегрирование в каждом полюсе [йтау!з, 1979]. Эта схема может быть представлена в виде г Х И " (сей ! — Ь1)' 'Н" — (!ай — й1)' '!1" й+1 й Ц .
(13.18) (1еа 1и) Ц й+1 й+Ца 1=! )1-аНа й+1 й Соответствующее конечно-разностное представление выражения (13.14) может быть записано в следующем виде: шй+! — шй = — яши. ца (ьй+! — 1й). (13.19) Соотношения (13.18) и (13.19) дают прямую связь между физической плоскостью к, и расчетной плоскостью !"., справедливую для любого пути интегрирования в расчетной области. Поскольку положение полюсов Ь1 неизвестно, в результате интегрирования уравнения (13.18) получаются значения У!— — Я1~ ь где т — номер итерации.
Конечные величины У! и т. д. в физической плоскости известны. Поэтому новая оценка для 4~ определяется выражением а+1 1 1-! а новые значения Ь~+' получаются из (13.14): Ь1+1=ЕХр 1та (1 — Ц+1)~. (13.21) Весь процесс (13.18) — (13.21) повторяется до тех пор, пока для всех 1 величины У] не станут достаточно близкими кк,1. Обычно для получения точности в пять десятичных знаков достаточно 10 — 15 итераций. При этом оказывается, что число итераций не зависит от количества сегментов У. Подробности можно найти в книге Андерсона и др.
]Апдегзоп е1 а!., 1982]. 112 Гл. 13. Построение сеток (13.22) где ф — потенциал скорости, тр — функция тока, а модуль скорости равен единице. Таким образом, постоянные значения т1 и $ будут линиями тока и линиями постоянного значения потенциала скорости. Следовательно, соответствующие линии сетки в физической области будут соответствовать линиям тока и линиям постоянного потенциала при потенциальном течении в рассматриваемом канале. Для вязкого течения в канале линии сетки все еще будут хорошим приближением линий тока. В общем виде построение конформных отображений при помощи преобразования Шварца — Кристоффеля и приближенные методы численного интегрирования описаны в работе [Тге1е1)теп, 1980[.
Традиционно преобразование Шварца — Кристоффеля применялось для областей, ограниченных отрезками прямых с разрывным изменением наклона тела на угол ои в отдельных точках (рис. 13.14). Вудс [%пода, 1961[ обобщил преобразование Шварца — Кристоффеля на тела с искривленными поверхностями, заменив равенство (13.12) на следующее: — „„= М ехр ~ — ~ (п (ет — Ь) с(й~, (13.23) где Ь вЂ” отрезок вещественной оси в плоскости от, а д[) — соответствующее увеличение угла наклона в плоскости 2. Дэвис [Ран(з, 1979] осуществил численную реализацию преобразования (13.23) и получил соответствующее отображение области вне аэродинамического профиля в физической области в прямоугольник в расчетной плоскости от.
Хотя конформные отображения не существуют в трехмерном случае, трехмерные геометрии успешно исследовались при помощи последовательности двумерных преобразований при различных значениях третьей координаты [Моге(11, 1980[. Повторное интегрирование для определения точных значений Ь, проводится вдоль расчетных границ (т1 = 0 и т1,„на рис. 13.15), что позволяет установить соответствие между граничными точками в физической и расчетной областях (стадия (1), п. 13.2.1). После этого при известных значениях Ь; интегрирование (!3.18) вдоль линий постоянного значения ~ и т1 в расчетной области позволяет построить сетку в физической области.
Интересным свойством рассмотренного подхода является то, что потенциальные течения в канале определяются выра- жением $13.2. Построение сеток на основе решения уравнений 1!3 13.2.4. Построение ортогональных сеток Чтобы система координат была ортогональной, компоненты метрического тензора должны удовлетворять условию: ди = О при (Ф1. Из этого условия следует, это физическая (х,у) и расчетная ($, Ч) области в двумерном случае должны быть связаны соотношениями ($х — а' ) + ($у —,) = О, (Чх —,) + (Чу — „' ) = О (13 24) во внутренних точках, и )тих йаЧу й1ру йтЧх (13.25) на границе. Отношение )та/)т1 есть отношение сторон сетки (12.16), где Ь, =(х'+ у~)'", й, = (х'„+ у~)па.
(13.26) Ортогональные сетки могут быть получены из неортогональных путем построения ортогональных траекторий. При этом 0 ="к Е А В С У ,1 =ЯМАХ Рис. 13.18. Начальная конфигурация для построения ортогональных траек- торий. можно определить точки на трех сторонах области (например, ЕА, АВС и СП на рис. 13.16). На четвертой стороне (ЕП на рис. 13.16) точки определяются ортогональными траекториями. Если требуется построить ортогональную сетку с точками, определенными на всех сторонах области, можно [Т)тотрзоп, 1964) построить конформную сетку, а затем осуществить одномерное растяжение вдоль направлений й и Ч.
Эффективная функция растяжения определяется выражением (13.44) (см. ниже). Кроме того, систему (13.24) можно решать итера- 8 К. Флетчер, т. я !!4 Гл. !3. Построение сеток ционно, задавая пт/й! = !($,т)). Такой подход будет описан в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
