Fletcher-2-rus (1185919), страница 16
Текст из файла (страница 16)
12.2. Сравните точность и скорость сходимости. Можно ли ожидать изменения результатов при аналитическом определении хй и т. д.? Глава 13 Построение сеггок В этой главе рассматривается задача о построении сеток Данный вопрос тесно связан с установлением связей между точками (х, у) произвольной физической области и точками Я,ч1) регулярной расчетной области.
Задача построения сетки содержит следующие два этапа. Сначала на физических границах определяются величины 1 и ч1. После этого определяются внутренние точки пересечением координатных линий противоположных семейств, проведенных между соответствующими граничными точками. Таким образом, построение сетки можно рассматривать как следующую краевую задачу: по заданным на границе д)ч значениЯм $ = $з(х, У) и Ч =ч1з(х, У) опРеделить 5 = $(х, У) и ч1 = х Рис.
!ЗЛ. Построение сетки как граничная задача а физической области. =т1(х, у) внутри области )г, ограниченной д)ч (рнс. 13.1). Физические координаты (х,у), как правило декартовы, являются независимыми переменными, а обобщенные координаты ($,т1)— зависимыми переменными. На практике построение сетки может быть осуществлено с меньшими вычислительными затратами, если работать в расчетной области.
В результате определения положения точек на Гл. 13. Построение сеток 95 границе можно определить х=хьй,т1) и у=уз($,ч1). Построение сетки внутри области может быть рассмотрено в виде следующей краевой задачи: по заданным на д)т х = хь (9, т1) и у = =уь(й,т1) (рис. 13.2) определить х=х(й,т1) и у=у(й,т1) внутри области ьс, ограниченной границей дтс. Поскольку внутренние точки в расчетной области образуют регулярную сетку и границы совпадают с координатными линиями, определение х(й,т1), у(й,т1) упрощается по сравнению с решением задачи в физической области. Это особенно важно, если 1йй)1 Рис. 13кп Построение сетки как граничная задача в расчетной области. решение х($,т1), уЯ,т1) находится в результате решения уравнения в частных производных (см. п.
13.2.6). В определенной выше краевой задаче граничные условия являются условиями Дирихле. Однако часто имеет смысл ввести в рассмотрение граничные условия Неймана. Например, они были бы пригодными, если бы требовалось, чтобы координатные линии пересекали физическую границу по нормали. Это означает, что на определенных сегментах границы угол пересечения (обычно 90') координатных линий с границей задан и положение точек пересечения координатных линий с границей определяется в результате решения краевой задачи.
Естественным обобщением является использование смешанных граничных условий там, где необходимо осуществлять контроль как положения точек на границе, так и ортогональности сетки на границе. При решении граничной задачи для определения положения внутренних точек сетки используются два широко развитых подхода. Один состоит в решении уравнений в частных производных Гл.
13. Построение сеток 96 (3 13.2), второй — в интерполяции внутренних точек по граничным (5 13.3). Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных методов, будут рассмотрены типичные топологические соответствия между физической и расчетной областями (3 13.1). При определении соответствия между точками физической и расчетной областей, т. е. х=х(9,Ч) и у=у(9,Ч), необходимо, чтобы это было взаимно однозначное соответствие. Недопустимо, чтобы одна и та же точка физической плоскости отображалась в две точки расчетной области и наоборот. Это эквивалентно требованию, чтобы координатные линии одного семейства не пересекались, а координатные линии различных семейств пересекались лишь один раз.
После установления соответствия х=х(9,Ч) и у=у(ь, Ч) его взаимная однозначность может быть определена из оценки детерминанта якобиана преобразования ~1~ из (12.3). Чтобы отображение было взаимно однозначным, (л( должен быть конечным и ненулевым. В зависимости от того, каким образом была построена сетка, для проверки взаимной однозначности величина 1Я ~ в каждой точке может быть определена либо аналитически, либо численно (3 12.2). Подобная проверка может быть легко оформлена в виде компьютерной программы, которая быстро определит точки, где отображение неоднозначно.
5 13.1. Физические аспекты В данном параграфе будут рассмотрены типичные отображения границ одно- и многосвязных областей. Конкретный выбор из массы возможных отображений границ может существенно повлиять на деформацию сетки внутри области.
13.1.1. Односвязные области Односвязная область характеризуется тем, что любой замкнутый контур, лежащий внутри нее, может быть стянут в точку, не лежащую на границе области. При наиболее простом отображении область, определенная четырьмя кривыми, преобразуется в расчетной области к прямоугольному виду. Подобное отображение изображено на рис. 12.2. Если физическая область имеет некоторую специальную форму, то иногда имеет смысл сохранить эту форму и в расчетной области. На рис. !3.3, например, показано, как криволинейная физическая область 1.-образной формы может быть преобразована к прямоугольной 1.-образной расчетной области.
Из рисунка видны основные преимущества такого преобразования. Прн при- $13.1. Физические аспекты ближенном сохранении формы области проще избежать сильной деформации (т. е. неортогональности (12.18)) сетки. Та же самая область 1.-образной формы в физической области может быть преобразована к прямоугольному виду в расчетной области (рис. 13.4). Теперь, однако, точки А и Р излома В Ч~ д Ю Рис. 13.3.
Преобразование ь-образной области с сохранением формы. образующей в физической области лежат на линии постоянного значения т1 (точки А' и 0') в расчетной области. Построение численного алгоритма в области, изображенной на рис. 13.4, оказывается проще, чем в области, приведенной на В Рис. 1ЗЛ. Преобразование Е-образной области в прямоугольник.
рис. 13.3. Однако более сильная деформация сетки в физической области вблизи точек А и 0 может привести к большей потере точности, чем для сетки на рис. 13.3. Обратная ситуация возникает, если угловые точки расчетной области лежат на гладких участках границы (рис. 13.5) в физической области. Очевидно, что в этом случае сетка вблизи точек А, В н т. д. в физической области сильно искривлена, и здесь можно ожидать локальной потери точности решения. Кроме 93 Гл. !3. Построение сеток того, при переходе по границе в точке А' расчетной области происходит переход с координатной линии т1 на координатную линию 4. Это может привести к необходимости введения специальной процедуры записи разностных уравнений в этой точке. В В С В Рис.
13.5. Фиктивные углы в физической плоскости. Как правило, чем сложнее форма границы физической области, тем больше число возможных отображений. Например, одна Г о Г А В 0 Е Рис. 13.6. Выравнивание отдельной выпуклости. и та же область, изображенная на рис. 13.6 — 13.8, может быть отображена различными способами.
Для выпуклости, изображенной на рис. 13.6, введение сгущающейся сетки при малых значениях т1 позволяет получить лучшее разрешение вблизи точек В и Р. При этом вблизи точек А н Е также получается мелкая сетка. Однако если контур ВСР помещен в вязкий поток и граница Аб является входной границей; то точки В и Р будут точками торможения. Если представляет интерес определение максимальной скорости или напряжений вблизи точки С, то допустимо вблизи точек В и Р иметь сравнительно грубую и деформированную сетку, как на рис.
13.6. 5 13.1. Физические аспекты На рис. 13.7 точки В и Р попадают в одну и ту же точку расчетной области. Такая сетка по сравнению с сеткой на рис. 13.6 позволяет при меньшем общем числе точек получить большее сгущение вблизи границы ВСР. Однако сетка на д в а е ч~ д Рис. 13.7. Преобразование выпуклости в плоскость. рис. 13.7 вблизи точки С получается сильно деформированной. Такая сетка приемлема для моделирования течения, при котором жидкость втекает через границу 6Р, а вытекает через АВ и ОЕ, Если точки 6 и Р расположены в свободном потоке достаточно далеко от препятствия ВСВ, то наиболее предпочтитель- Б Р А' 6 Г Е С 6.
Ж Рис. 13.8. Выравнивание выпуклости с хорошим локальным разрешением. ным отображением границ является отображение, изображенное на рис. !3.8. Это отображение до некоторой степени аналогично отображению на рис. 13.6, за исключением того, что 'наиболее искаженная часть сетки расположена вблизи точек 6 и' Р. Поскольку вблизи точек 6 и Р течение однородно, ошибки, связанные с локальной деформацией сетки, будут меньше, чем для конфигурации, изображенной на рис. !3.6. При отображении физических границ на расчетную область необходимо учитывать влияние возникающей при этом деформации сетки на ожидаемое поведение решения. Следует учесть, что Гл.
13. Построение сеток 100 локальные деформации сетки меньше влияют на глобальную точность решения, если деформация происходит в областях однородности потока; в областях, представляющих существенный интерес, ее следует избегать. 13.1.2. Многосвязные области Примером многосвязной области может служить внешнее течение около одного нлн более препятствий, например у лопаток турбины нлн аэродинамического профиля.
Другим примером Н Рис. 13.9. Отображение тела с углами. является течение около препятствия в канале, например в теплообменннке. Наиболее предпочтительное отображение границ, как правило, зависит от формы препятствия. Для тел с углами может оказаться приемлемым отображение границы на квадрат нлн прямоугольник в расчетной плоскости; прн этом многосвязность области сохраняется. Подобная ситуация изображена на рнс. 13.0.
Сетка в физической плоскости прн этом получается, как правило, сравнительно мало искривленной. Если тело тонкое, то его можно, как это показано на рнс. 13.10, отобразить на разрез в расчетной области. Основной трудностью прн этом является искривление сетки в физической области вблизи точки А. Эффективный путь преодоления этого затруднения состоит в введении разреза в физической области, что упрощает расчетную область (рнс. 13.11). В соответствии с картиной координатных линий в физической области, такой тнп сетки называется О-сеткой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
